高中数学北师大版第三章三角恒等变形 第三章章末测试

第三章章末测试时间：90分钟分值：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知sinα＝eq\f(3,5)且α∈(eq\f(π,2)，π)，则tanα的值为()A．－eq\f(4,5)\f(3,4)C．－eq\f(3,4)\f(4,3)答案：C解析：∵α∈(eq\f(π,2)，π)，由同角基本关系易知cosα＝－eq\f(4,5).tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4).2．若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，则sin(α＋eq\f(π,4))的值为()A．－eq\f(7\r(2),10)\f(7\r(2),10)C．－eq\f(\r(2),10)\f(\r(2),10)答案：A解析：由题知，cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，所以sinα＝－eq\f(3,5)，由两角和的正弦公式可得sin(α＋eq\f(π,4))＝sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)＝(－eq\f(3,5))×eq\f(\r(2),2)＋(－eq\f(4,5))×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(7\r(2),10)，故选A.3．若cosθ＝－eq\f(4,5)，θ是第三象限的角，则eq\f(1－tan\f(θ,2),1＋tan\f(θ,2))＝()\f(1,2)B．－eq\f(1,2)\f(3,5)D．－2答案：D解析：由已知得eq\f(1－tan\f(θ,2),1＋tan\f(θ,2))＝eq\f(cos\f(θ,2)－sin\f(θ,2),cos\f(θ,2)＋sin\f(θ,2))＝eq\f(cos\f(θ,2)－sin\f(θ,2)cos\f(θ,2)＋sin\f(θ,2),cos\f(θ,2)＋sin\f(θ,2)2)＝eq\f(cosθ,1＋sinθ)，因为cosθ＝－eq\f(4,5)，且θ是第三象限的角，故sinθ＝－eq\f(3,5)，故eq\f(1－tan\f(θ,2),1＋tan\f(θ,2))＝eq\f(－\f(4,5),1－\f(3,5))＝－2.4．已知cosθ＝eq\f(1,3)，θ∈(0，π)，则cos(eq\f(3,2)π＋2θ)的值为()A．－eq\f(4\r(2),9)B．－eq\f(7,9)\f(4\r(2),9)\f(7,9)答案：C解析：∵cosθ＝eq\f(1,3)，θ∈(0，π)∴sinθ＝eq\f(2\r(2),3)cos(eq\f(3π,2)＋2θ)＝sin2θ＝2sinθcosθ＝2×eq\f(2\r(2),3)×eq\f(1,3)＝eq\f(4\r(2),9).5．设α，β∈(0，eq\f(π,2))，tanα＝eq\f(4,3)，tanβ＝eq\f(1,7)，则α－β等于()\f(π,3)\f(π,4)\f(π,6)\f(π,8)答案：B解析：∵tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(\f(4,3)－\f(1,7),1＋\f(4,3)×\f(1,7))＝1，α，β∈(0，eq\f(π,2))，∴－eq\f(π,2)＜α－β＜eq\f(π,2)，∴α－β＝eq\f(π,4).6．当x∈[－eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]时，y＝eq\f(tan\f(x,2),1－tan2\f(x,2))的最小值为()A．－eq\f(\r(3),3)B．－eq\f(\r(3),6)C．－eq\f(2\r(3),3)D．－eq\f(\r(3),2)答案：B解析：∵y＝eq\f(tan\f(x,2),1－tan2\f(x,2))＝eq\f(1,2)tanx，∴当x＝－eq\f(π,6)时，ymin＝－eq\f(\r(3),6).7．若sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，且β为第三象限角，则cosβ的值为()\r(1－m2)B．－eq\r(1－m2)\r(m2－1)D．－eq\r(m2－1)答案：B解析：∵sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，∴sin(－β)＝m，sinβ＝－m，又∵β为第三象限角，∴cosβ＝－eq\r(1－m2).8．已知tan(α＋β)＝eq\f(2,5)，tan(β－eq\f(π,4))＝eq\f(1,4)，则tan(α＋eq\f(π,4))等于()\f(1,6)\f(13,22)\f(3,22)\f(13,18)答案：C解析：tan(α＋eq\f(π,4))＝tan[(α＋β)－(β－eq\f(π,4))]＝eq\f(tanα＋β－tanβ－\f(π,4),1＋tanα＋βtanβ－\f(π,4))＝eq\f(3,22).9．要得到y＝2sin2x的图像，只需将函数y＝sin2x＋eq\r(3)cos2x的图像()A．向左平移eq\f(π,3)个单位B．向右平移eq\f(π,3)个单位C．向左平移eq\f(π,6)个单位D．向右平移eq\f(π,6)个单位答案：D解析：y＝sin2x＋eq\r(3)cos2x＝2(eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(\r(3),2)cos2x)＝2sin(2x＋eq\f(π,3))而y＝2sin2x＝2sin[2(x－eq\f(π,6))＋eq\f(π,3)]∴只需将图像向右平移eq\f(π,6)，故选D.10．如图，在5个并排的正方形图案中作出一个∠AOnB＝135°(n＝1,2,3,4,5,6)，则n＝()A．1,6B．2,5C．3,4D．2,3,4,5答案：C解析：若n＝1或n＝6，显然∠AOnB<90°，若n＝2，则有∠AO2O1＝45°，∠BO2O6<45°，∴∠AOnB>135°，根据对称性可知，若n＝5，∠AOnB>135°，若n＝3，则有tan(∠AO3O1＋∠BO3O6)＝eq\f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)·\f(1,3))＝1，又∵∠AO3O1，∠BO3O6∈(0,45°)，∴∠AO3O1＋∠BO3O6＝45°，∴∠AO3B＝135°，同理根据对称性有∠AO4B＝135°.二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填入题中横线上．11．已知cosα＝eq\f(3,5)，且α∈(eq\f(3π,2)，2π)，则cos(α－eq\f(π,3))＝________.答案：eq\f(3－4\r(3),10)解析：∵cosα＝eq\f(3,5)，α∈(eq\f(3,2)π，2π)，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\f(3,5)2)＝－eq\f(4,5)，∴cos(α－eq\f(π,3))＝cosαcoseq\f(π,3)＋sinαsineq\f(π,3)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,2)－eq\f(4,5)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3－4\r(3),10).12．函数f(x)＝sineq\f(2,3)x＋coseq\f(2,3)x的图像相邻两条对称轴之间的距离是________．答案：eq\f(3π,2)解析：∵f(x)＝sineq\f(2,3)x＋coseq\f(2,3)x＝eq\r(2)sin(eq\f(2,3)x＋eq\f(π,4))，∴其相邻两条对称轴之间的距离是eq\f(T,2)＝eq\f(3π,2).13．如图，四边形ABCD为矩形，且AB＝2，AD＝1，延长BA至E，使AE＝2，连接EC、ED，则tan∠CED＝________.答案：eq\f(2,9)解析：由题意可知，tan∠DEB＝eq\f(1,2)，tan∠CEB＝eq\f(1,4)，∴tan∠CED＝tan(∠DEB－∠CEB)＝eq\f(tan∠DEB－tan∠CEB,1＋tan∠DEB·tan∠CEB)＝eq\f(2,9).三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．化简求值：eq\f(sin47°－sin17°cos30°,sin73°).解：原式＝eq\f(sin30°＋17°－sin17°cos30°,cos17°)＝eq\f(sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°,cos17°)＝eq\f(sin30°cos17°,cos17°)＝sin30°＝eq\f(1,2).15．已知α∈(0，eq\f(π,4))，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，求2α－β.解：∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,7),1－\f(1,2)×－\f(1,7))＝eq\f(1,3)，∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝eq\f(\f(1,3)＋\f(1,2),1－\f(1,3)×\f(1,2))＝1.又∵β∈(0，π)，tanβ＝－eq\f(1,7)，∴eq\f(π,2)＜β＜π，又α∈(0，eq\f(π,4))，∴－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－eq\f(3π,4).16．如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P、Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，∠AOP＝eq\f(π,6)，∠AOQ＝α，α∈[0，π)．(1)若Q(eq\f(3,5)，eq\f(4,5))，求cos(α－eq\f(π,6))的值；(2)设函数f(α)＝eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))，求f(α)的值域．解：(1)由已知可得cosα＝eq\f(3,5)，sinα＝eq\f(4,5).∴cos(α－eq\f(π,6))＝cosαcoseq\f(π,6)＋sinαsineq\f(π,6)＝eq\f(3,5)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(4,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(3\r(3)＋4,10).(2)f(α)＝eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(coseq\f(π,6)，sineq\f(π,6))·(cosα，sinα)＝eq\f(\r(3),2)cosα＋eq\f(1,2)sinα＝sin(α＋eq\f(π,3))．∵α∈[0，π)，∴α＋eq\f(π,3)∈[eq\f(π,3)，eq\f(4π,3))，－eq\f(\r(3),2)<sin(α＋eq\f(π,3))≤1.∴f(α)的值域是(－eq\f(\r(3),2)，1]．17．已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．(1)若a∥b，求tanθ的值；(2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值．解：(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝eq\f(1,4).(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋eq\f(π,4))＝－eq\f(\r(2),2).又由0＜θ＜π知，eq\f(π,4)＜2θ＋eq\f(π,4)＜eq\f(9π,4)，所以2θ＋eq\f(π,4)＝eq\f(5π,4)或2θ＋eq\f(π,4)＝eq\f(7π,4).因此θ＝eq\f(π,2)或θ＝eq\f(3π,4).18．已知函数f(x)＝cos2(x＋eq\f(π,12))，g(x)＝1＋eq\f(1,2)sin2x.(1)设x＝x0是函数y＝f(x)图像的一条对称轴，求g(x0)的值；(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．解：(1)由题设知f(x)＝eq\f(1,2)[1＋cos(2x＋eq\f(π,6))]．因为x＝x0是函数y＝f(x)图像的一条对称轴，所以2x0＋eq\f(π,6)＝kπ(k∈Z)，即2x0＝kπ－eq\f(π,6)(k∈Z)．所以g(x0)＝1＋eq\f(1,2)sin2x0＝1＋eq\f(1,2)sin(kπ－eq\f(π,6))．当k为偶数时，g(x0)＝1＋eq\f(1,2)sin(－eq\f(π,6))＝eq\f(3,4)；当k为奇数时，g(x0)＝1＋eq\f(1,2)sineq\f(π,6)＝eq\f(5,4).(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝eq\f(1,2)[1＋cos(2x＋eq\f(π,6))]＋1＋eq\f(1,2)sin2x＝eq\f(1,2)[cos(2x＋eq\f(π,6))＋sin2x]＋eq\f(3