高中数学苏教版1第2章圆锥曲线与方程2．6曲线与方程 第2章

曲线与方程2.6.1曲线与方程1．了解曲线与方程的对应关系，理解“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念．(重点、难点)2．理解数形结合思想，会处理一些简单的曲线与方程问题．(难点)3．曲线与方程的对应关系．(易错点)[基础·初探]教材整理曲线的方程方程的曲线阅读教材P60例1以上的部分，完成下列问题．1．方程与曲线的定义在直角坐标系中，如果曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解满足以下关系：如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．2．方程与曲线的关系1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线上，那么方程f(x，y)＝0就是曲线的方程．()(2)如果f(x，y)＝0是某曲线C的方程，则曲线上的点的坐标都适合方程．()(3)若曲线C上的点满足方程f(x，y)＝0，则坐标不满足方程f(x，y)＝0的点不在曲线C上．()(4)方程x＋y－2＝0是以A(2,0)，B(0,2)为端点的线段的方程．()(5)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy＝1.()【答案】(1)×(2)√(3)√(4)×(5)×2．点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，－m))在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，则m＝________.【解析】据题意，有eq\f(1,4)m2＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或－eq\f(18,5).【答案】2或－eq\f(18,5)3．方程|y|＝|2x|表示的曲线是________．【解析】∵|y|＝|2x|，∴y＝±2x，表示两条直线．【答案】两条直线4．已知曲线C的方程为x2－xy＋2y－7＝0，则下列四点中，在曲线C上的点有________(填序号)．①(－1,2)；②(1，－2)；③(2，－3)；④(3,6)．【解析】把各点的坐标代入检验知，只有(－1,2)满足方程．【答案】①[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]曲线与方程概念的理解(1)判断点A(－4,3)，B(－3eq\r(2)，－4)，C(eq\r(5)，2eq\r(5))是否在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；(2)方程x2(x2－1)＝y2(y2－1)所表示的曲线是C，若点M(m，eq\r(2))与点Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，n))在曲线C上，求m，n的值．【精彩点拨】由曲线与方程的关系知，只要点M的坐标适合曲线的方程，则点M就在方程所表示的曲线上；而若点M为曲线上的点，则点M的坐标(x0，y0)一定适合曲线的方程．【自主解答】(1)把点A(－4,3)的坐标代入方程x2＋y2＝25中，满足方程，且点A的横坐标满足x≤0，则点A在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；把点B(－3eq\r(2)，－4)的坐标代入x2＋y2＝25，因为(－3eq\r(2))2＋(－4)2＝34≠25，所以点B不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．把点C(eq\r(5)，2eq\r(5))的坐标代入x2＋y2＝25，得(eq\r(5))2＋(2eq\r(5))2＝25，满足方程，但因为横坐标eq\r(5)不满足x≤0的条件，所以点C不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．(2)因为点M(m，eq\r(2))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，n))在曲线C上，所以它们的坐标都是方程的解，所以m2(m2－1)＝2×1，eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝n2(n2－1)，解得m＝±eq\r(2)，n＝±eq\f(1,2)或±eq\f(\r(3),2).1．判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手．(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可；(2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，由此可求点或方程中的参数．2．判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．[再练一题]1．若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题正确的是________(填序号)．①方程f(x，y)＝0的曲线是C；②方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C；③f(x，y)＝0是曲线C的方程；④以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．【解析】只有正确地理解曲线与方程的定义，才能准确作答．易知①③④错误．【答案】②由方程确定曲线方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示什么曲线？【精彩点拨】由曲线的方程研究曲线的特点，类似于用函数的解析式研究函数的图象，可由方程的特点入手分析．【自主解答】方程的左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0，而2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，∴2(x－1)2＝0，(y＋1)2＝0，∴x－1＝0且y＋1＝0，即x＝1，y＝－1.∴方程表示点(1，－1)．曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变形时，应保证变形过程的等价性.[再练一题]2．方程(x＋y－1)eq\r(x－1)＝0表示什么曲线？【解】方程(x＋y－1)eq\r(x－1)＝0等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x＋y－1＝0))或x－1＝0，即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1.故方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1).点与曲线的关系及应用(1)点P(a＋1，a＋4)在曲线y＝x2＋5x＋3上，则a的值是________．(2)若曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)，a∈R，则实数k的取值范围是________．【精彩点拨】(1)利用点在曲线上，则点的坐标满足方程，代入解方程可得；(2)点(a，－a)在曲线上，则点(a，－a)适合方程，把k用a表示出来，利用求值域的方法得k的范围．【自主解答】(1)因为点P(a＋1，a＋4)在曲线y＝x2＋5x＋3上，所以a＋4＝(a＋1)2＋5(a＋1)＋3，即a2＋6a＋5＝0，解得a＝－1或－5.(2)∵曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)，∴a2＝－a2＋2a＋k，∴k＝2a2－2a＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2－eq\f(1,2)，∴k≥－eq\f(1,2)，∴k的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).【答案】(1)－1或－5(2)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))判断点与曲线位置关系的方法如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，点P的坐标为(x0，y0)．(1)点P(x0，y0)在曲线C：f(x，y)＝0上⇔f(x0，y0)＝0.(2)点P(x0，y0)不在曲线C：f(x，y)＝0上⇔f(x0，y0)≠0.[再练一题]3．若点M(m，m)在曲线x－y2＝0上，则m的值为________.【导学号：09390055】【解析】∵点M(m，m)在曲线x－y2＝0上，∴m－m2＝0，解得m＝0或m＝1.【答案】0或1[探究共研型]曲线与方程的关系探究1怎样理解曲线与方程的概念？【提示】定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏．曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形．探究2理解曲线的方程与方程的曲线的概念时应注意什么？【提示】(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，二者缺一不可．方程(x－4y－12)[(－3)＋log2(x＋2y)]＝0的曲线经过点A(0，－3)，B(0,4)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，－\f(7,4)))，D(8,0)中的________个点．【精彩点拨】方程表示两条直线x－4y－12＝0和x＋2y－8＝0，但应注意对数的真数大于0，即x＋2y>0.【自主解答】由对数的真数大于0，得x＋2y>0.∴A(0，－3)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，－\f(7,4)))不符合要求；将B(0,4)代入方程检验，符合要求；将D(8,0)代入方程检验，符合要求．【答案】2点与实数解建立了如下关系：C上的点x0，y0fx，y＝0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可.[再练一题]4．已知直线l：x＋y＋3＝0，曲线C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4，若P(1，－1)，则点P与l，C的关系是________．【解析】由1－1＋3≠0，∴P不在l上，即P∉l；又(1－1)2＋(－1＋3)2＝4，∴点P在曲线C上，即P∈C.【答案】P∉l，P∈C[构建·体系]1．设方程F(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下面命题中正确的是________(填序号)．①坐标满足f(x，y)＝0的点都不在曲线C上；②曲线C上的点的坐标不满足f(x，y)＝0；③坐标满足f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上；④一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0.【解析】因为命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，所以其否定：存在不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0，是正确的，即④正确．【答案】④2．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的________条件.【导学号：09390056】【解析】∵f(x0，y0)＝0，可知点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上，又P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上时，有f(x0，y0)＝0，∴f(x0，y0)＝0是P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．【答案】充要3．若P(2，－3)在曲线x2－ay2＝1上，则a的值为_______________________．【解析】∵P(2，－3)在曲线x2－ay2＝1上，∴4－9a＝1，解得a＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)4．如图2­6­1中，方程表示图中曲线的是________．图2­6­1【解析】∵x2＋y2＝1表示单位圆，故①错；x2－y2＝0表示两条直线y＝x和y＝－x，故②