高中数学苏教版第2章函数函数的简单性质 市一等奖

一、填空题1.函数f(x)＝eq\f(1,x)－x的图象关于点__________成中心对称．2.下列结论中正确的是________．(填序号)①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④有的函数可能既是奇函数又是偶函数．3.若函数f(x)＝eq\f(k,x－1)在(－∞，m)(m∈R)上是减函数，则函数g(x)＝kx2－2kx＋1的单调递增区间是__________．4.若f(x)＝ax9＋bx5－cx－3，且f(－6)＝8，则f(6)＝________．5.已知函数f(x)在区间(－∞，0]上是增函数，函数y＝f(x＋1)是偶函数，则f(－4)，f(2)，f(4)之间的大小关系是________________．6.已知函数y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax(a∈R)，且f(2)＝6，则a＝__________．7.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，x≤1，,x＋\f(6,x)－6，x>1，))则f[f(－2)]＝________，f(x)的最小值是________．8.已知偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(3)＝0，则关于x的不等式f(x－1)<0的解集是____________．9.若函数f(x)＝eq\f(|x－2|＋a,\r(4－x2))的图象关于原点对称，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝__________．10.下列命题正确的是__________．(填序号)①函数y＝ln(3－x)的定义域为(－∞，3]；②定义在[a，b]上的偶函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b的最小值为5；③若命题p：对任意x∈R，都有x2－x＋m≥0，则m≥eq\f(1,4)；④若a＞0，b＞0，a＋b＝4，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为1.二、解答题11.已知奇函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x＞0，,0，x＝0，,x2＋mx，x＜0.))(1)求实数m的值，并画出函数y＝f(x)的简图；(2)若函数f(x)在区间[－1，|a|－2]上单调递增，求实数a的取值范围．已知函数f(x)＝eq\f(x＋b,ax2＋c)(a>1)是奇函数，f(1)＝eq\f(1,5)，且关于x的方程f(x)＝eq\f(1,4)有等根．(1)求a，b，c的值；(2)判断并证明函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上的单调性．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋6(a∈R)．(1)若f(x)在区间(－∞，1]上是减函数，求f(1)的取值范围；(2)若f(x)在实数集R上的值域是[0，＋∞)，求a的值；(3)求f(x)在区间[－1，2]上的最小值．

1.(0，0)解析：易知函数f(x)是奇函数，其图象关于原点对称．2.③④解析：函数y＝eq\f(1,x2)是偶函数，但不与y轴相交，故①错误；函数y＝eq\f(1,x)是奇函数，但不过原点，故②错误；由偶函数的性质，知③正确；函数f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，故④正确．3.[1，＋∞)解析：∵f(x)＝eq\f(k,x－1)在(－∞，m)上是减函数，∴反比例函数y＝eq\f(k,x)在(－∞，0)上是减函数，∴k>0，∴二次函数g(x)＝kx2－2kx＋1的单调递增区间是[1，＋∞)．4.－14解析：令g(x)＝f(x)＋3，则g(x)＝ax9＋bx5－cx，g(x)为奇函数，g(－6)＝－g(6)，即f(－6)＋3＝－[f(6)＋3]，8＋3＝－f(6)－3，f(6)＝－14.5.f(－4)＜f(4)＜f(2)解析：∵y＝f(x＋1)是偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，∴f(2)＝f(1＋1)＝f(－1＋1)＝f(0)，f(4)＝f(3＋1)＝f(－3＋1)＝f(－2)．又－4＜－2＜0，且f(x)在区间(－∞，0]上是增函数，∴f(－4)＜f(－2)＜f(0)，即f(－4)＜f(4)＜f(2)．6.5解析：∵f(x)是奇函数，∴f(2)＝－f(－2)＝－4＋2a＝6，解得a＝5.7.－eq\f(1,2)2eq\r(6)－6解析：∵f(－2)＝(－2)2＝4，∴f[f(－2)]＝f(4)＝－eq\f(1,2)；当x≤1时，f(x)＝x2≥0；当x>1时，f(x)＝x＋eq\f(6,x)－6，容易证明f(x)在(1，eq\r(6)]上是减函数，在[eq\r(6)，＋∞)上是增函数，∴当x>1时，f(eq\r(6))≤f(x)，即当x>1时f(x)≥2eq\r(6)－6.又2eq\r(6)－6<0，∴函数f(x)的最小值为2eq\r(6)－6.8.(－2，4)解析：∵f(x)是偶函数，∴f(x－1)＝f(|x－1|)．又f(3)＝0，∴不等式f(x－1)<0等价于f(|x－1|)＜f(3)．又偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，∴f(x)在[0，＋∞)上是增函数．由f(|x－1|)＜f(3)得|x－1|＜3，解得－2＜x＜4.9.eq\f(\r(3),3)解析：∵函数f(x)的图象关于原点对称，∴f(x)是奇函数，f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0，∴eq\f(|0－2|＋a,\r(4－02))＝0，解得a＝－2，∴f(x)＝eq\f(|x－2|－2,\r(4－x2))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝f(－1)＝eq\f(\r(3),3).10.②③④解析：命题①中，函数的定义域是(－∞，3)，故命题①不正确；命题②中，若已知函数是偶函数，则必有a＝－5，b＝5，即函数f(x)＝x2＋5，x∈[－5，5]，其最小值为5，命题②正确；∵－m≤x2－x对x∈R恒成立，x2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4)的最小值是－eq\f(1,4)，∴－m≤－eq\f(1,4)，m≥eq\f(1,4)，命题③正确；命题④中，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,4)(a＋b)·(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))＝eq\f(1,4)(2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b))≥eq\f(1,4)(2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b)))＝1(当且仅当a＝b＝2时，等号成立)，命题④正确．11.解：(1)∵函数f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，即1－m＝－1，∴m＝2，∴f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x>0，,0，x＝0，,x2＋2x，x<0.))函数f(x)图象如图．(2)从函数f(x)图象可知f(x)的单调递增区间是[－1，1]，∴－1＜|a|－2≤1，解得1＜a≤3或－3≤a＜－1.∴实数a的取值范围是{a|1＜a≤3或－3≤a＜－1}．12.解：(1)∵f(－x)＝－f(x)，eq\f(－x＋b,ax2＋c)＝－eq\f(x＋b,ax2＋c)，显然ax2＋c不等于0，∴－x＋b＝－x－b，b＝0，∴f(x)＝eq\f(x,ax2＋c).又f(1)＝eq\f(1,a＋c)＝eq\f(1,5)，c＝5－a，f(x)＝eq\f(x,ax2＋5－a)，∴方程f(x)＝eq\f(1,4)，即eq\f(x,ax2＋5－a)＝eq\f(1,4)，可化为ax2－4x＋5－a＝0.∵方程ax2－4x＋5－a＝0两根相等，∴a≠0且Δ＝16－4a(5－a)＝16－20a＋4a2＝0，解得a＝1(不合，舍去)或4.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝0，,c＝1.))(2)由(1)知f(x)＝eq\f(x,4x2＋1)，函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是减函数．证明如下：设x2＞x1≥eq\f(1,2)，则f(x2)－f(x1)＝eq\f(x2,4xeq\o\al(2,2)＋1)－eq\f(x1,4xeq\o\al(2,1)＋1)＝eq\f(4xeq\o\al(2,1)x2＋x2－4x1xeq\o\al(2,2)－x1,（4xeq\o\al(2,1)＋1）（4xeq\o\al(2,2)＋1）)＝eq\f(（x2－x1）（1－4x1x2）,（4xeq\o\al(2,1)＋1）（4xeq\o\al(2,2)＋1）).∵x2＞x1≥eq\f(1,2)，∴x2－x1>0，1－4x1x2<0，4xeq\o\al(2,1)＋1>0，4xeq\o\al(2,2)＋1>0，∴f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在区间[eq\f(1,2)，＋∞)上是减函数．13.解：(1)∵函数f(x)图象的对称轴方程是x＝－a，f(x)在区间(－∞，1]上是减函数，∴－a≥1，a≤－1.又f(1)＝7＋2a，7＋2a≤5，∴f(1)的取值范围是(－∞，5]．(2)∵f(x)在实数集R上的值域是[0，＋∞)，∴f(x)min＝f(－a)＝6－a2＝0，解得a