高中数学苏教版2第3章数系的扩充与复数的引入 全国获奖

学业分层测评(十二)第3章复数的几何意义(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.在复平面内，复数6＋5i，-2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是________.【解析】∵复数6＋5i，-2＋3i对应点分别为A，B，∴点A(6,5)，B(-2,3).∴中点C(2,4)，其对应复数2＋4i.【答案】2＋4i2.(2023·启东月考)若复数z＝a2-1＋(a＋1)i.(a∈R)是纯虚数，则|z|＝________.【解析】由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2-1＝0，,a＋1≠0，))解得a＝1，则z＝2i，故|z|＝2.【答案】23.复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)位于第________象限.【解析】∵z＝i·(1＋i)＝-1＋i，∴复数z对应复平面上的点是(-1,1)，该点位于第二象限.【答案】二4.已知复数z1＝-1＋2i，z2＝1-i，z3＝3-2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若eq\o(OC,\s\up10(→))＝xeq\o(OA,\s\up10(→))＋yeq\o(OB,\s\up10(→))(x，y∈R)，则x＋y的值是________.【解析】由复数的几何意义，知3-2i＝x(-1＋2i)＋y(1-i)，∴3-2i＝y-x＋(2x-y)i.根据复数相等的定义，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝y-x，,-2＝2x-y.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4.))∴x＋y＝5.【答案】55.已知i为虚数单位，复数z＝-eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i的共轭复数为eq\x\to(z)，则eq\x\to(z)＋|z|＝________.【解析】eq\x\to(z)＝-eq\f(1,2)-eq\f(\r(3),2)i，|z|＝1，∴eq\x\to(z)＋|z|＝eq\f(1,2)-eq\f(\r(3),2)i.【答案】eq\f(1,2)-eq\f(\r(3),2)i6.已知|z-3|＝1，则|z-i|的最大值为________.【导学号：97220236】【解析】由|z-3|＝1知z表示以(3,0)为圆心，1为半径的圆，|z-i|表示点(0,1)到圆上的距离，则|z-i|的最大值为eq\r(10)＋1.【答案】eq\r(10)＋17.(2023·江西师大附中三模)设复数z＝-1-i(i是虚数单位)，z的共轭复数为eq\x\to(z)，则|(1-z)·eq\x\to(z)|＝________.【解析】eq\x\to(z)＝-1＋i，则|(1-z)·eq\x\to(z)|＝|(2＋i)·(-1＋i)|＝|-3＋i|＝eq\r(10).【答案】eq\r(10)8.复数z＝x＋1＋(y-2)i(x，y∈R)，且|z|＝3，则点Z(x，y)的轨迹是________.【解析】∵|z|＝3，∴eq\r(x＋12＋y-22)＝3，即(x＋1)2＋(y-2)2＝32.故点Z(x，y)的轨迹是以(-1,2)为圆心，以3为半径的圆.【答案】以(-1,2)为圆心，以3为半径的圆二、解答题9.已知复数z＝1＋ai(a∈R)，ω＝cosα＋isinα，α∈(0,2π)，若z＝eq\x\to(z)＋2i，且|z-w|＝eq\r(5)，求角α的值.【解】由题意知1＋ai＝1＋(2-a)i，则a＝2-a，即a＝1，∴z＝1＋i.由|z-w|＝eq\r(5)得(1-cosα)2＋(1-sinα)2＝5，整理得sinα＋cosα＝-1，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝-eq\f(\r(2),2)，∵0<α<2π，∴eq\f(π,4)<α＋eq\f(π,4)<eq\f(9,4)π，∴α＋eq\f(π,4)＝eq\f(5π,4)或α＋eq\f(π,4)＝eq\f(7π,4)，∴α＝π或α＝eq\f(3π,2).10.已知复数z满足(z-2)i＝a＋i(a∈R).(1)求复数z；(2)a为何值时，复数z2对应的点在第一象限.【解】(1)由(z-2)i＝a＋i，得z-2＝eq\f(a＋i,i)＝1-ai，∴z＝3-ai.(2)由(1)得z2＝9-a2-6ai，∵复数z2对应的点在第一象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9-a2>0，,-6a>0，))解得-3<a<0.故当a∈(-3,0)时，z2对应的点在第一象限.能力提升]1.在复平面内，O是原点，eq\o(OA,\s\up10(→))，eq\o(OC,\s\up10(→))，eq\o(AB,\s\up10(→))对应的复数分别为-2＋i,3＋2i,1＋5i，那么eq\o(BC,\s\up10(→))对应的复数为________.【解析】由eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))，知eq\o(OB,\s\up10(→))对应的复数为(-2＋i)＋(1＋5i)＝-1＋6i，又eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))-eq\o(OB,\s\up10(→))，∴eq\o(BC,\s\up10(→))对应的复数为(3＋2i)-(-1＋6i)＝4-4i.【答案】4-4i2.(2023·宜昌模拟)已知复数z满足(1＋i)z＝1-i，其中i为虚数单位，则|z|＝________.【导学号：97220237】【解析】由(1＋i)z＝1-i得z＝eq\f(1-i,1＋i)＝-i，∴|z|＝1.【答案】13.(2023·镇江二模)在复平面内，复数z＝eq\f(i,1-i)＋i2014表示的点所在的象限是________.【解析】z＝eq\f(i,1-i)＋i2014＝eq\f(i-1,2)＋i2＝-eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)i，对应点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,2)，\f(1,2)))，故在第二象限.【答案】第二象限4.已知O为坐标原点，eq\o(OZ,\s\up10(→))1对应的复数为-3＋4i，eq\o(OZ,\s\up10(→))2对应的复数为2a＋i(a∈R).若eq\o(OZ,\s\up10(→))1与eq\o(OZ,\s\up10(→))2共线，求a的值.【解】因为eq\o(OZ,\s\up10(→))1对应的复数为-3＋4i，eq\o(OZ,\s\up10(→))2对应的复数为2a＋i，所以eq\o(OZ,\s\up10(→))1＝(-3,4)，eq\o(OZ,\s\up10(→))2＝(2a,1).因为eq\o(OZ,\s\up10(→))1与eq\o(OZ,\s\up10(→))2共线，所以存在实数k使eq\o(OZ,\s\up10(→))2＝keq\o(OZ,