高中数学人教A版2本册总复习总复习 公开课2

模块综合检测(能力卷)时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．曲线y＝4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程是eq\x(导学号10510897)()A．y＝7x＋4 B．y＝x－4C．y＝7x＋2 D．y＝x－2[答案]D[解析]y′|x＝－1＝(4－3x2)|x＝－1＝1，∴切线方程为y＋3＝x＋1，即y＝x－2.2．设x＝3＋4i，则复数z＝x－|x|－(1－i)在复平面上的对应点在eq\x(导学号10510898)()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案]B[解析]∵x＝3＋4i，∴|x|＝eq\r(32＋42)＝5，∴z＝3＋4i－5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i＝－3＋5i.∴复数z在复平面上的对应点在第二象限，故应选B.3．若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，则函数f′(x)的图象是eq\x(导学号10510899)()[答案]A[解析]∵f′(x)＝2x＋b为增函数，∴排除B、D；又f(x)的顶点在第四象限，∴－eq\f(b,2)>0，∴b<0，排除C，故选A.4．定义复数的一种运算z1*z2=eq\f(|z1|＋|z2|,2)(等式右边为普通运算)，若复数z＝a＋bi，eq\o(z,\s\up6(－))为z的共轭复数，且正实数a，b满足a＋b＝3，则z*eq\o(z,\s\up6(－))的最小值为eq\x(导学号10510900)()\f(9,2) \f(3\r(2),2)\f(3,2) D．eq\f(9,4)[答案]B[解析]由题意可得z*eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(|a＋bi|＋|a－bi|,2)＝eq\f(\r(a2＋b2)＋\r(a2＋－b2),2)＝eq\r(a2＋b2)，∵正实数a，b满足a＋b＝3，∴b＝3－a，∴eq\r(a2＋b2)＝eq\r(a2＋3－a2)＝eq\r(2a2－6a＋9)，由二次函数可知当a＝eq\f(3,2)时，上式取最小值eq\f(3\r(2),2).故选B.5．(2023·宜春高二检测)已知函数f(x)＝sinx＋ex＋x2023，令f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，则f2023(x)＝eq\x(导学号10510901)()A．sinx＋ex B．cosx＋exC．－sinx＋ex D．－cosx＋ex[答案]A[解析]f1(x)＝f′(x)＝cosx＋ex＋2023x2023，f2(x)＝f1′(x)＝－sinx＋ex＋2023×2023x2023，f3(x)＝f2′(x)＝－cosx＋ex＋2023×2023×2023x2023，…，∴f2023(x)＝sinx＋ex.6．函数f(x)＝3x－4x3(x∈[0,1])的最大值是eq\x(导学号10510902)()\f(1,2) B．－1C．0 D．1[答案]D[解析]由f′(x)＝3－12x2＝0得，x＝±eq\f(1,2)，∵x∈[0,1]，∴x＝eq\f(1,2)，∵当x∈[0，eq\f(1,2)]，f′(x)>0，当x∈[eq\f(1,2)，1]时，f′(x)<0，∴f(x)在[0，eq\f(1,2)]上单调递增，在[eq\f(1,2)，1]上单调递减，故x＝eq\f(1,2)时，f(x)取到极大值也是最大值，f(eq\f(1,2))＝3×eq\f(1,2)－4×(eq\f(1,2))3＝1，故选D.7．(2023·哈尔滨质检)在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数图象恰好经过k个格点，则称函数为k阶格点函数．已知函数：①y＝sinx; ②y＝cos(x＋eq\f(π,6))；③y＝ex－1; ④y＝x2.其中为一阶格点函数的序号为eq\x(导学号10510903)()A．①② B．②③C．①③ D．②④[答案]C[解析]对于①，注意到y＝sinx的值域是[－1,1]；当sinx＝0时，x＝kπ(k∈Z)，此时相应的整数x＝0；当sinx＝±1时，x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，此时没有相应的整数x，因此函数y＝sinx仅过唯一的整点(0,0)，该函数是一阶格点函数．同理可知，对于②，函数y＝cos(x＋eq\f(π,6))不是一阶格点函数．对于③，令y＝ex－1＝k(k∈Z)得ex＝k＋1>0，x＝ln(k＋1)，仅当k＝0时，x＝0∈Z，因此函数y＝ex－1是一阶格点函数．对于④，注意到函数y＝x2的图象经过多个整点，如点(0,0)，(1,1)，因此函数y＝x2不是一阶格点函数．综上所述知选C.8．(2023·淄博高二检测)下列求导运算正确的是eq\x(导学号10510904)()A．(2x)′＝x·2x－1 B．(3ex)′＝3exC．(x2－eq\f(1,x))′＝2x－eq\f(1,x2) D．(eq\f(x,cosx))′＝eq\f(cosx－xsinx,cosx2)[答案]B[解析]对于A，(2x)′＝2xln2；对于B，(3ex)′＝3ex；对于C，(x2－eq\f(1,x))′＝2x＋eq\f(1,x2)；对于D，(eq\f(x,cosx))′＝eq\f(cosx＋xsinx,cosx2)；综上可知选B.9．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是eq\x(导学号10510905)()A．289 B．1024C．1225 D．1378[答案]C[解析]图1中满足a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，以上累加得an－a1＝2＋3＋…＋n，an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n·n＋1,2)，图2中满足bn＝n2，一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半；一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方．∵1225＝352＝eq\f(49×50,2)，∴选C.10．若曲线y＝x－eq\s\up5(\f(1,2))在点(a，a－eq\s\up5(\f(1,2)))处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a＝eq\x(导学号10510906)()A．64 B．32C．16 D．8[答案]A[解析]y′＝－eq\f(1,2)x－eq\s\up5(\f(3,2))，∴k＝－eq\f(1,2)a－eq\s\up5(\f(3,2))，切线方程是y－a－eq\s\up5(\f(1,2))＝－eq\f(1,2)a－eq\s\up5(\f(3,2))(x－a)，令x＝0，y＝eq\f(3,2)a－eq\s\up5(\f(1,2))，令y＝0，x＝3a，∴三角形的面积是S＝eq\f(1,2)·3a·eq\f(3,2)a－eq\s\up5(\f(1,2))＝18，解得a＝64.11．(2023·全国卷Ⅲ理，12)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有eq\x(导学号10510907)()A．18个 B．16个C．14个 D．12个[答案]C[解析]由题意可得a1＝0，a8＝1，a2，a3，…，a7中有3个0、3个1，且满足对任意k≤8，都有a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个．12．当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是eq\x(导学号10510908)()A．[－5，－3] B．[－6，－eq\f(9,8)]C．[－6，－2] D．[－4，－3][答案]C[解析]ax3≥x2－4x－3恒成立．当x＝0时式子恒成立．∴a∈R，当x>0时，a≥eq\f(1,x)－eq\f(4,x2)－eq\f(3,x3)恒成立．令eq\f(1,x)＝t，x∈(0,1]，∴t≥1.∴a≥t－4t2－3t3恒成立．令g(t)＝t－4t2－3t3，g′(t)＝1－8t－9t2＝(t＋1)(－9t＋1)，∴函数g′(t)在[1，＋∞)上为减函数而且g′(1)＝－16<0，∴g′(t)<0在[1，＋∞)上恒成立．∴g(t)在[1，＋∞)上是减函数，∴g(t)max＝g(1)＝－6，∴a≥－6；当x<0时，a≤eq\f(1,x)－eq\f(4,x2)－eq\f(3,x3)恒成立，∵x∈[－2,0)，∴t≤－eq\f(1,2)，令g′(t)＝0得，t＝－1，∴g(t)在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，－eq\f(1,2)]上为增函数，∴g(t)min＝g(－1)＝－2，∴a≤－2.综上知－6≤a≤－2.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．对任意非零实数a、b，若a⊗b的运算原理如图所示，则eq\r(2)⊗eq\i\in(0,π,)sinxdx＝________.eq\x(导学号10510909)[答案]eq\f(\r(2),2)[解析]∵eq\i\in(0,π,)sinxdx＝－cosx|eq\o\al(π,0)＝2>eq\r(2)，∴eq\r(2)⊗eq\i\in(0,π,)sinxdx＝eq\r(2)⊗2＝eq\f(2－1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).14．请阅读下列材料：若两个正实数a1、a2满足aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＝1，那么a1＋a2≤eq\r(2).证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1.因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤eq\r(2).类比上述结论，若n个正实数满足aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝1，你能得到的结论为\x(导学号10510910)[答案]a1＋a2＋…＋an≤eq\r(n)(n∈N*)[解析]构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋1，∵f(x)≥0对任意实数x都成立，∴Δ＝4(a1＋a2＋…＋an)2－4n≤0，∵a1，a2，…，an都是正数，∴a1＋a2＋…＋an≤eq\r(n).15．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：eq\x(导学号10510911)22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，若n2＝1＋3＋5＋…＋19，m3(m∈N*)的分解中最小的数是21，则m＋n的值为________．[答案]15[解析]依题意得n2＝eq\f(10×1＋19,2)＝100，∴n＝10.易知m3＝21m＋eq\f(mm－1,2)×2，整理得(m－5)(m＋4)＝0，又m∈N*，所以m＝5，即53＝21＋23＋25＋27＋29，所以m＋n＝15.16．(2023·全国卷Ⅱ理，16)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝\x(导学号10510912)[答案]1－ln2[解析]设y＝kx＋b与y＝lnx＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，lnx1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．则切线分别为y－lnx1－2＝eq\f(1,x1)(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝eq\f(1,x2＋1)(x－x2)，化简得y＝eq\f(1,x1)x＋lnx1＋1，y＝eq\f(1,x2＋1)x－eq\f(x2,x2＋1)＋ln(x2＋1)，依题意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＝\f(1,x2＋1),lnx1＋1＝－\f(x2,x2＋1)＋lnx2＋1))，解得x1＝eq\f(1,2)，从而b＝lnx1＋1＝1－ln2.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)(2023·大连高二期中)已知z1、z2为复数，i为虚数单位，z1·eq\o(z,\s\up6(－))1＋3(z1＋eq\o(z,\s\up6(－))1)＋5＝0，eq\f(z2＋3,z2－3)为纯虚数，z1、z2在复平面内对应的点分别为P、\x(导学号10510913)(1)求点P的轨迹方程；(2)求点Q的轨迹方程；(3)写出线段PQ长的取值范围．[解析](1)设z1＝x＋yi，(x、y∈R)，由z1·eq\o(z,\s\up6(－))1＋3(z1＋eq\o(z,\s\up6(－))1)＋5＝0得x2＋y2＋6x＋5＝0，整理得(x＋3)2＋y2＝4，∴点P的轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝4.(2)设z2＝x＋yi，(x、y∈R)，eq\f(z2＋3,z2－3)＝eq\f(x＋3＋yi,x－3＋yi)＝eq\f(x2＋y2－9－6yi,x－32＋y2)，∵eq\f(z2＋3,z2－3)为纯虚数，∴x2＋y2＝9且y≠0，∴点Q的轨迹方程为x2＋y2＝9(y≠0)．(3)PQ长的取值范围是[0,8)．∵两圆相交，∴PQ长的最小值为0，又两圆圆心距为3，两圆半径分别为2和3，∴PQ长的最大值为8，但点Q的轨迹方程中y≠0，∴|PQ|<8，∴线段PQ长的取值范围是[0,8)．18．(本题满分12分)设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0<x<2π，求函数f(x)的单调区间与极值.eq\x(导学号10510914)[解析]f′(x)＝cosx＋sinx＋1＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))＋1(0<x<2π)，令f′(x)＝0，即sin(x＋eq\f(π,4))＝－eq\f(\r(2),2)，解之得x＝π或x＝eq\f(3π,2).x，f′(x)以及f(x)变化情况如下表：x(0，π)π(π，eq\f(3π,2))eq\f(3,2)π(eq\f(3π,2)，2π)f′(x)＋0－0＋f(x)递增π＋2递减eq\f(3π,2)递增∴f(x)的单调增区间为(0，π)和(eq\f(3π,2)，2π)，单调减区间为(π，eq\f(3π,2))．f极大(x)＝f(π)＝π＋2，f极小(x)＝f(eq\f(3π,2))＝eq\f(3π,2).19．(本题满分12分)已知An(n，an)为函数y1＝eq\r(x2＋1)图象上的点，Bn(n，bn)为函数y2＝x的图象上的点，设cn＝an－bn，其中n∈N*.eq\x(导学号10510915)(1)求证：数列{cn}既不是等差数列也不是等比数列；(2)试比较cn与cn＋1的大小．[解析](1)证明：依题意，an＝eq\r(n2＋1)，bn＝n，cn＝eq\r(n2＋1)－n.假设{cn}是等差数列，则2c2＝c1＋c3，∴2(eq\r(5)－2)＝eq\r(2)－1＋eq\r(10)－3.∴2eq\r(5)＝eq\r(2)＋eq\r(10)，产生矛盾，∴{cn}不是等差数列．假设{cn}是等比数列，则ceq\o\al(2,2)＝c1c3，即(eq\r(5)－2)2＝(eq\r(2)－1)(eq\r(10)－3)．有6＝6eq\r(5)－3eq\r(2)－eq\r(10)，产生矛盾，∴{cn}也不是等比数列．(2)解：∵cn＋1＝eq\r(n＋12＋1)－(n＋1)>0，cn＝eq\r(n2＋1)－n>0，∴eq\f(cn＋1,cn)＝eq\f(\r(n＋12＋1)－n＋1,\r(n2＋1)－n)＝eq\f(\r(n2＋1)＋n,\r(n＋12＋1)＋n＋1)，0<eq\r(n2＋1)<eq\r(n＋12＋1)，又0<n<n＋1，∴eq\r(n2＋1)＋n<eq\r(n＋12＋1)＋n＋1，∴0<eq\f(\r(n2＋1)＋n,\r(n＋12＋1)＋n＋1)<1，∴eq\f(cn＋1,cn)<1，即cn＋1<cn.20．(本题满分12分)设函数f(x)＝\x(导学号10510916)(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[eq\f(1,8)，eq\f(1,2)]上的最大值和最小值．[解析](1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)．∵f(x)＝xlnx，∴f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,e)，令f′(x)>0，得x>eq\f(1,e)，令f′(x)<0，得0<x<eq\f(1,e)，∴f(x)的单调递增区间为(eq\f(1,e)，＋∞)，单调递减区间为(0，eq\f(1,e))．(2)∵f(eq\f(1,8))＝eq\f(1,8)lneq\f(1,8)＝eq\f(3,8)lneq\f(1,2)，f(eq\f(1,2))＝eq\f(1,2)lneq\f(1,2)，f(eq\f(1,e))＝eq\f(1,e)lneq\f(1,e)＝－eq\f(1,e)，又eq\f(1,2)lneq\f(1,2)<eq\f(3,8)lneq\f(1,2)，∴求f(x)在区间[eq\f(1,8)，eq\f(1,2)]的最大值为eq\f(3,8)lneq\f(1,2)，最小值为－eq\f(1,e).21．(本题满分12分)(2023·贵州高二检测)已知点列An(xn,0)，n∈N*，其中x1＝0，x2＝a(a>0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An－2An－1的中点，….eq\x(导学号10510917)(1)写出xn与xn－1、xn－2之间的关系式(n≥3)；(2)设an＝xn＋1－xn，计算a1、a2、a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明．[解析](1)由题意，当n≥3时，xn＝eq\f(1,2)(xn－1＋xn－2)(2)x1＝0，x2＝a，x3＝eq\f(1,2)(x2＋x1)＝eq\f(a,2)，x4＝eq\f(1,2)(x3＋x2)＝eq\f(3a,4)，∴a1＝x2－x1＝a，a2＝x3－x2＝－eq\f(a,2)，a3＝x4－x3＝eq\f(a,4)，推测an＝eq\f(a,－2n－1).方法一证明：对于任意n∈N*，an＝xn＋1－xn，an＋1＝xn＋2－xn＋1＝eq\f(1,2)(xn＋1＋xn)－xn＋1＝－eq\f(1,2)(xn＋1－xn)＝－eq\f(1,2)an，又∵a1＝a>0，∴{an}是以a为首项，以－eq\f(1,2)为公比的等比数列．故an＝a·(－eq\f(1,2))n－1＝eq\f(a,－2n－1).方法二下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝a＝a·(－eq\f(1,2))1－1，结论an＝eq\f(a,－2n－1)成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N)时，an＝eq\f(a,－2n－1)成立，即ak＝a·(－eq\f(1,2))k－1，则当n＝k＋1时，ak＋1＝xk＋2－xk＋1＝eq\f(xk＋xk＋1,2)－xk＋1＝eq\f(xk－xk＋1,2)＝－eq\f(1,2)ak＝(－eq\f(1,2))·a·(－eq\f(1,2))k－1＝a·(－eq\f(1,2))(k＋1)－1，所以n＝k＋1时，an＝eq\f(a,－2n－1)成立．由①②可知，数列{an}的通项公式为an＝a·(－eq\f(1,2))n－1，n∈N*.22．(本题满分12分)(2023·北京文，20)设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋\