高中数学苏教版1第2章圆锥曲线与方程 省赛获奖

学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝________.【解析】抛物线y2＝4x的焦点是(1,0)，直线ax－y＋1＝0过焦点，∴a＋1＝0，∴a＝－1.【答案】－12．已知椭圆的准线方程为y＝±4，离心率为eq\f(1,2)，则椭圆的标准方程为________.【导学号：09390053】【解析】由题意eq\f(a2,c)＝eq\f(a,e)＝4，∴a＝4e＝2.∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴c＝1，b2＝a2－c2＝3.由准线方程是y＝±4可知，椭圆的焦点在y轴上，标准方程为eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1.【答案】eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝13．已知抛物线y2＝2px的准线与双曲线x2－y2＝2的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为________．【解析】双曲线的左准线为x＝－1，抛物线的准线为x＝－eq\f(p,2)，所以eq\f(p,2)＝1，所以p＝2.故抛物线的焦点坐标为(1,0)．【答案】(1,0)4．(2023·全国卷Ⅰ改编)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为eq\f(1,2)，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝________.【解析】抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴椭圆中c＝2，又eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，从而椭圆方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.∵抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，∴xA＝xB＝－2，将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3，由图象可知|AB|＝2|yA|＝6.【答案】65．若椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点到右准线的距离等于3a，则双曲线的离心率为________．【解析】由题意知，eq\f(a2,c)＋c＝3a，即a2＋c2＝3ac，∴e2－3e＋1＝0，解得e＝eq\f(3－\r(5),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e＝\f(3＋\r(5),2)＞1舍去)).【答案】eq\f(3－\r(5),2)6．设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的右焦点为F(3,0)，P(4，2eq\r(2))是双曲线上一点，若双曲线的右准线为x＝m，则实数m的值是________．【解析】法一：由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝9，,\f(16,a2)－\f(8,b2)＝1，))解得b2＝eq\f(3\r(57)－15,2)，a2＝eq\f(33－3\r(57),2)，故右准线x＝eq\f(a2,c)＝eq\f(11－\r(57),2)，即m＝eq\f(11－\r(57),2).法二：由题意PF＝eq\r(4－32＋2\r(2)－02)＝3，根据椭圆的第二定义得eq\f(PF,d)＝eq\f(3,4－m)＝e.又m＝eq\f(a2,c)，∴eq\f(m,c)＝eq\f(a2,c2)＝eq\f(1,e2).∵c＝3，∴e2＝eq\f(3,m)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4－m)))2＝eq\f(3,m)，∴m2－11m＋16＝0，∴m＝eq\f(11±\r(57),2)，∵m<c＝3，∴m＝eq\f(11－\r(57),2).【答案】eq\f(11－\r(57),2)7．已知椭圆eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝1上有一点P，它到左、右焦点距离之比为1∶3，则点P到两准线的距离分别为________．【解析】设P(x，y)，左、右焦点分别为F1，F2，由椭圆方程，可得a＝10，b＝6，c＝8，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，则PF1＋PF2＝2a＝20.又3PF1＝PF2，∴PF1＝5，PF2＝15.设点P到两准线的距离分别为d1，d2，可得d1＝eq\f(PF1,e)＝eq\f(25,4)，d2＝eq\f(PF2,e)＝eq\f(75,4).故点P到两准线的距离分别为eq\f(25,4)，eq\f(75,4).【答案】eq\f(25,4)，eq\f(75,4)8．已知点P在双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1上，并且P到双曲线的右准线的距离恰是P到双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么P的横坐标是________．【解析】记实半轴、虚半轴、半焦距的长分别为a，b，c，离心率为e，点P到右准线l的距离为d，则a＝4，b＝3，c＝5，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，右准线l的方程为x＝eq\f(a2,c)＝eq\f(16,5).如果P在双曲线右支上，则PF1＝PF2＋2a＝ed＋2a.从而，PF1＋PF2＝(ed＋2a)＋ed＝2ed＋2a>2d，这不可能；故P在双曲线的左支上，则PF2－PF1＝2a，PF1＋PF2＝2d.两式相加得2PF2＝2a＋2d.又PF2＝ed，从而ed＝a＋d.故d＝eq\f(a,e－1)＝eq\f(4,\f(5,4)－1)＝16.因此，P的横坐标为eq\f(16,5)－16＝－eq\f(64,5).【答案】－eq\f(64,5)二、解答题9．已知椭圆的一个焦点是F(3,1)，相应于F的准线为y轴，l是过F且倾斜角为60°的直线，l被椭圆截得的弦AB的长是eq\f(16,5)，求椭圆的方程．【解】设椭圆离心率为e，M(x，y)为椭圆上任一点，由统一定义eq\f(MF,d)＝e，得eq\f(\r(x－32＋y－12),|x|)＝e，整理得(x－3)2＋(y－1)2＝e2x2.①∵直线l的倾斜角为60°，∴直线l的方程为y－1＝eq\r(3)(x－3)，②①②联立得(4－e2)x2－24x＋36＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理得x1＋x2＝eq\f(24,4－e2)，∴AB＝e(x1＋x2)＝e·eq\f(24,4－e2)＝eq\f(16,5)，∴e＝eq\f(1,2)，∴椭圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝eq\f(1,4)x2，即eq\f(x－42,4)＋eq\f(y－12,3)＝1.10．已知定点A(－2，eq\r(3))，点F为椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的右焦点，点M在椭圆上运动，求AM＋2MF的最小值，并求此时点M的坐标．【解】∵a＝4，b＝2eq\r(3)，∴c＝eq\r(a2－b2)＝2，∴离心率e＝eq\f(1,2).A点在椭圆内，设M到右准线的距离为d，则eq\f(MF,d)＝e，即MF＝ed＝eq\f(1,2)d，右准线l：x＝8，∴AM＋2MF＝AM＋d.∵A点在椭圆内，∴过A作AK⊥l(l为右准线)于K，交椭圆于点M0.则A，M，K三点共线，即M与M0重合时，AM＋d最小为AK，其值为8－(－2)＝10.故AM＋2MF的最小值为10，此时M点坐标为(2eq\r(3)，eq\r(3))．能力提升]1．已知点F1，F2分别是椭圆x2＋2y2＝2的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|eq\o(PF,\s\up6(→))1＋eq\o(PF,\s\up6(→))2|的最小值是________.【导学号：09390054】【解析】椭圆x2＋2y2＝2的标准方程是eq\f(x2,2)＋y2＝1，∴a＝eq\r(2)，b＝1.∵eq\o(PF,\s\up6(→))1＋eq\o(PF,\s\up6(→))2＝2eq\o(PO,\s\up6(→))，∴|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PO,\s\up6(→))|.∵b≤|eq\o(PO,\s\up6(→))|≤a，∴1≤|eq\o(PO,\s\up6(→))|≤eq\r(2)，∴|eq\o(PF,\s\up6(→))1＋eq\o(PF,\s\up6(→))2|的最小值是2.【答案】22．过圆锥曲线C的一个焦点F的直线l交曲线C于A，B两点，且以AB为直径的圆与F相应的准线相交，则曲线C为________．【解析】设圆锥曲线的离心率为e，M为AB的中点，A，B和M到准线的距离分别为d1，d2和d，圆的半径为R，d＝eq\f(d1＋d2,2)，R＝eq\f(AB,2)＝eq\f(FA＋FB,2)＝eq\f(ed1＋d2,2).由题意知R>d，则e>1，圆锥曲线为双曲线．【答案】双曲线3．设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)恒过定点A(1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值为________．【解析】∵A(1,2)在椭圆上，∴eq\f(1,a2)＋eq\f(4,b2)＝1，∴b2＝eq\f(4a2,a2－1)，则椭圆中心到准线距离的平方为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)))2＝eq\f(a4,c2)＝eq\f(a4,a2－b2)＝eq\f(a4,a2－\f(4a2,a2－1))＝eq\f(a4－a2,a2－5).令a2－5＝t>0，f(t)＝eq\f(t＋52－t＋5,t)＝t＋eq\f(20,t)＋9≥9＋4eq\r(5).当且仅当t＝eq\f(20,t)时取“＝”，∴eq\f(a2,c)≥eq\r(9＋4\r(5))＝eq\r(5)＋2，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)))min＝eq\r(5)＋2.【答案】eq\r(5)＋24．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点．(1)求证：PF⊥l；(2)若|PF|＝3，且双曲线的离心率e＝eq\f(5,4)，求该双曲线的方程．【解】(1)证明：右准线为l2：x＝eq\f(a2,c)，由对称性不妨设渐近线l为y＝eq\f(b,a)x，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，\f(ab,c)))，又F(c,0)，∴kPF＝eq\f(\f(ab,c)－0,\f