材料力学习题1

材料力学复习第二章轴向拉伸与压缩轴向拉伸（压缩）强度条件：轴向拉伸（压缩）时的变形：（胡克定律）剪切强度条件：挤压强度条件：Fllaaa12ABCDDl1Dl2FN1FN2FFBSMB=0FN1·a

–F

·a+FN2

·2a=0（a）解：1)计算各杆轴力(受力图如图1示)2)变形几何关系(位移图如图示)Dl2=2Dl1(b)

3)物理关系代入(b)

SFy=0FB+FN2–F

·a-FN1

=0例1.图示结构中，水平梁为刚性梁，杆1和杆2的抗拉刚度相同，F=100kN,A=200mm2,许用应力[]=160MPa

，试求1)在力作用下杆1和杆2的轴力;2)校核杆的强度。例1.图示结构中，水平梁为刚性梁，杆1和杆2的抗拉刚度相同，F=100kN,A=400mm2,许用应力[]=160MPa

，试求1)在力作用下杆1和杆2的轴力;2)校核杆的强度。Fllaaa12ABCDDl1Dl2FN1FN2FFBSMB=0FN1·a

–F

·a+FN2

·2a=0（a）解：1)计算各杆轴力(受力图如图1示)联立(a)(c)

解之Dl2=2Dl1(b)

2)杆的强度校核杆1：杆2：由上知：杆1和杆2均满足强度要求例2

设横梁为刚性梁，杆

1、2长度相同为

l，横截面面积分别

为A1、A2，弹性模量分别为

E1、E2，F、a已知。

试求：杆

1、2的轴力。CABF12aaFCABFAyFAxFN1FN2解：1)计算各杆轴力SMA=0

FN1×a+FN2×

2a

–F

×2a

=0FN1+

2FN2–2F

=0(a)2)变形几何关系C'B'Dl1Dl2Dl2=2Dl1(b)

3)物理关系代入(b)

例2

设横梁为刚性梁，杆

1、2长度相同为

l，横截面面积分别

为A1、A2，弹性模量分别为

E1、E2，F、a已知。

试求：杆

1、2的轴力。CABF12aaFCABFAyFAxFN1FN2解：1)计算各杆轴力SMA=0

FN1×a+FN2×

2a

–F

×2a

=0FN1+

2FN2–2F

=0(a)C'B'Dl1Dl2代入(b)

联立(a)(c)

解之例3.

已知结构如图示，梁AB为刚性，钢杆CD直径d=20mm，

许用应力[]=160MPa，F=25kN。

求：(1)校核CD杆的强度；

(2)确定结构的许可载荷[F]

；

(3)若F=50kN，设计CD杆的直径。解：(1)校核CD杆的强度CDABF2aadCD杆轴力FNCD：11FNCDSMA=0FNCD×2a–F×3a

=0∴FNCD=1.5FCD杆应力

CD：∵CD<[]∴CD杆强度足够。(2)确定结构的许可载荷[F]∵∴∴[F]=33.5kN(3)若F=50kN，设计CD杆的直径。∵∴圆整，取直径d=25mm。例4.

已知支架如图示，F=10kN，A1=A2=100mm2。

两杆许用应力[]=160MPa，试校核两杆强度。截面法：取销B和杆1、2的一部分分析解：1)计算两杆轴力2)校核两杆强度受力：F、轴力FN1、FN2SFx=0–FN2–FN1cos45º

=0∴FN1=1.414

F

=14.14kN

SFy=0FN1sin45º

–F

=0FN2=–F

=–10kN(图中方向相反)AB杆：BC杆：ACBF45º12BFFN2FN1综上：两杆均满足强度要求xyFNBC例5.

图示结构，BC杆[]BC=160MPa，AC杆[]AC=100MPa，

两杆横截面面积均为A=2cm2。

求：结构的许可载荷[F]

。解：(1)各杆轴力∴FNAC=0.518FFNBC=0.732F∴F≤3.86×104N=38.6kNCABF45º30ºFNACFCSFx=0FNBCsin30º

–FNACsin45º

=0SFy=0FNBCcos30º

–FNACcos45º–F

=0(2)由AC杆强度条件：0.518F≤A[]AC

=2×10–4×100×106∴F≤4.37×104N=43.7kN(3)由BC杆强度条件：0.732F≤A[]BC

=2×10–4×160×106(4)需两杆同时满足强度条件：应取较小值，[F]=38.6kN

例6

杆

1、2、3用铰链连接如图，各杆长为：l1=l2=l、l3，各杆

面积为A1=A2=A、A3

；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。

F、a已知。求各杆的轴力。CFABD123aaFAFN2aaFN1FN3解：1)计算各杆轴力SFx=0–FN1sina

+FN2sina

=0SFy=02FN1cosa

+FN3–F

=0(a)FN1=FN2A12)变形几何关系CABD123aaDl1Dl2Dl3Dl1=Dl3cosa

(b)

3)物理关系(b)代入(b)

联立(a)(c)

解之第三章扭转例题：3-1，3-2，3-4习题：3-8,3-11,3-14

外力偶矩Me的计算公式：圆轴扭转的强度条件：P:kWn:r/min圆轴扭转的刚度条件：极惯性矩Ip

和抗扭截面系数Wt实心圆截面：空心圆截面：2.59、一螺栓将拉杆与厚为8㎜的两块盖板相连接。各零件材料相同，许用应力均为[]=80MPa，[]=60MPa

，[bs

]=160MPa

。若拉杆的厚度d=16mm，拉力F=120kN，试设计螺栓直径d及拉杆宽度b。（14分）解：1)按拉伸强度要求设计拉杆的宽度拉杆的轴力FN=F,其强度条件为解上式得2.59

、一螺栓将拉杆与厚为8㎜的两块盖板相连接。各零件材料相同，许用应力均为[]=80MPa，[]=60MPa

，[bs

]=160MPa

。若拉杆的厚度d=16mm，拉力F=120kN，试设计螺栓直径d及拉杆宽度b。（14分）2)按剪切强度要求设计螺栓的直径螺栓所承受的剪力Fs=F/2,应满足剪切强度条件解上式得2.59

、一螺栓将拉杆与厚为8㎜的两块盖板相连接。各零件材料相同，许用应力均为[]=80MPa，[]=60MPa

，[bs

]=160MPa

。若拉杆的厚度d=16mm，拉力F=120kN，试设计螺栓直径d及拉杆宽度b。（14分）3)按挤压强度要求设计螺栓的直径挤压强度条件为解上式得1)按拉伸强度要求设计拉杆的宽度b=93.75mm2)按剪切强度要求设计螺栓的直径d=35.7mm比较以上三种结果，取d=47mm,b=94mm例1.实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起.已知：P＝7.5kW,n=100r/min,许用切应力＝40MPa,空心圆轴的内外径之比=0.5。求:实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。解：轴所传递的扭矩扭转实心圆轴的强度条件实心圆轴的直径:扭转空心圆轴的强度条件空心圆轴的外径:BCAD例2

已知一传动轴为钢制实心轴，许用切应力[]=30MPa，

[]=0.3º/m，G=80GPa，n=300r/min，主动轮输入PA=500kW，从动轮输出PB=150kW，PC=150kW，PD=200kW。

试按强度条件和刚度条件设计轴的直径D。nMB

MC

MA

MD解：1.应先作出轴的扭矩图，确定Tmax，(1)

计算外力偶矩BCADMB

MC

MA

MD(2)各段扭矩n112233BC段：截面1-1B11MBT1SMx=0T1

+MB

=0∴

T1

=–MB=–4.775kN·m

CA段：截面2-2SMx=0T2

+MB

+MC

=0∴

T2

=–MB–MC=–9.55kN·m

AD段：截面3-3SMx=0T3

–MD

=0∴

T3

=MD=6.336kN·m

BC22T2MBMCD33T3MD(3)绘制扭矩图∴CA段为危险截面：4.7759.556.336BCADMB

MC

MA

MDBACD|T|max

=9.55kN·m

+--T1

=–4.775kN·m

T2

=–9.55kN·m

T3

=6.336kN·m

xT(kN·m)BCADMB

MC

MA

MDCA段：|T|max

=9.55kN·m。2.设计轴的直径D(1)强度条件(2)刚度条件∴

D≥12.34cm，圆整，取D=12.5cm

例3

某传动轴转速

n=500r/min，输入功率

P1=370kW，输出

功率分别

P2=148kW及

P3=222kW。已知：G=80GPa，

[]=70MPa，[]=1º/m。试确定：

解：(1)

外力偶矩、扭矩图–7.066–4.24Tx(kN·m)作扭矩图：(1)AB

段直径

d1和BC

段直径d2？(2)若全轴选同一直径，应为多少？(3)主动轮与从动轮如何安排合理？500400ACBP1P3P2由强度条件：(2)AB

段直径

d1和BC

段直径d2由刚度条件：–7.066–4.24Tx(kN·m)500400ACBP1P3P2∴取AB段直径：d1=85mm，BC段直径：d2=75mm(3)若全轴选同一直径时∴取：d=85mm(4)主动轮与从动轮如何安排合理将主动轮A设置在从动轮之间：此时轴的扭矩图为：|T|max

=4.24kN·m

轴的直径：d=75mm较为合理。–7.066–4.24Tx(kN·m)500400BCA–4.24Tx(kN·m)P1P2P32.826500400ACBP1P3P2第

四

章弯曲内力剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图弯曲内力●剪力Fs:构件受弯时，作用线平行于其横截面的内力。●

剪力和弯矩的符号规则:①剪力

Fs

:绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。(–)(–)(+)(+)Ww●弯矩M:

构件受弯时作用面垂直于其横截面的内力偶矩。②弯矩

M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。M(+)M(+)M(–)M(–)M(x)图为一向上凸的二次抛物线.FS(x)图为一向右下方倾斜的直线.xFS(x)Oq(x)、FS(x)图、M（x）图三者间的关系1.梁上有向下的均布荷载,即q(x)<0xOM(x)弯曲内力2.梁上无载荷区段，q(x)=0FS(x)图为一条水平直线.M(x)图为一斜直线.xFS(x)O当FS(x)>0

时,向右上方倾斜.当FS(x)<0

时,向右下方倾斜.xOM(x)OM(x)x5.最大剪力可能发生在集中力所在截面的一侧;或分布载荷发生变化的区段上.梁上最大弯矩Mmax可能发生在FS(x)=0

的截面上;或发生在集中力所在的截面上;或集中力偶作用处的一侧.

3.在集中力作用处剪力图有突变,其突变值等于集中力的值.弯矩图有转折.4.在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化.弯曲内力剪力、弯矩与分布载荷间的关系及特点：外力无外力均布载荷集中力处集中力偶处q=0FS图特征M图特征CMe水平直线xFSFS>0斜直线向下突变xFSC无变化斜直线xM增函数抛物线产生折点

向下突变q>0q<0CFxFSFS

<0增函数xFS减函数xFS减函数xM开口向上xM开口向下xMM1–M2=MeM1M2xMCxMCxFSCFS1FS2FS1–FS2=F作梁FS图、M图步骤：(1)

求梁约束力；(2)

分段写FS方程、M方程；(3)

分段作FS图、M图；(4)

确定|FS|max、|M|max及其所在截面位置。例1、作图示简支梁的剪力图和弯矩图，并写出|Fs|max和|M|max.解：(1)约束力FA、FB解上两式得：FAFDFSxqaMxqa2(2)FS方程、M方程AB段：FS=FA=qa(0<x<a)当x=0时：Fs=qa,M=0当x=a时：Fs=qa,M=qa2xFAFSM(0<x<a)例1、作图示简支梁的剪力图和弯矩图，并写出|Fs|max和|M|max.解：(1)约束力FA、FB：FAFDFSxqaMxqa2(2)FS方程、M方程AB段：FS=FA=qa(0<x<a)(0≤

x≤a)当x=a时：Fs=qa,M=qa2当x=2a左时：BC段：FSMFxFAFS

=FA–q(x-a)=2qa-qx

(a<x<2a)(a≤

x≤2a)例1、作图示简支梁的剪力图和弯矩图，并写出|Fs|max和|M|max.解：(1)约束力FA、FB：FAFDFSxqaMxqa2(2)FS方程、M方程AB段：FS=FA=qa(0<x<a)(0≤

x≤a)当x=3a时：当x=2a右时：BC段：FS

=FA–q(x-a)=2qa-qx(a<x<2a)(a≤

x≤2a)CD段：FDx3a-xFSMFS

=q(3a-x)-FD=q(3a-x)-2qa

(2a<x<3a)(2a≤

x≤3a)qa2qa|FS|max=

2qa|M|max=1.5qa2例2.

求下列各图示梁的剪力方程和弯矩方程,并画出剪力图和弯矩图。解：①求支反力

②写出剪力方程

和弯矩方程FYOL③根据方程画剪力图

和弯矩图M(x)xFs(x)Fs(x)xFM(x)x

FLMO(a)解：①写出剪力方程

和弯矩方程②根据方程画剪力图

和弯矩图LqM(x)xFs(x)Fs(x)xqLM(x)x(b)例3

作图示简支梁的

FS图、M图,并写出|Fs|max和|M|max。

。解：(1)约束力FA、FBxSMB(F)=0–FAl+Fb=0FA=Fb/

lFSMSFy=0FA

+FB

–F=0FB=F–

FA

=Fa/l(2)FS方程、M方程AC段：FS=FA=Fb/

l(0<x<a)(0≤

x≤a)CB段：xFSMxFAxFAFFS=FA–

F=–

Fa/l(a<x<l)(a

≤

x≤

l)ABalFbCFAFBAC段：FS=FA=Fb/

l(0<x<a)(0≤

x≤a)CB段：FS=FA–

F=–

Fa/l(a<x<l)(a

≤

x≤

l)(3)作FS图、M图AC段：x=0，FS=0

x=a

，FS=Fb/lFb/lCB段：x=a，FS=Fb/l

x=l

，FS=–

Fa/lxxABalFbCFAFBFSxACB㊉㊀Fa/lAC段：FS=FA=Fb/

l(0<x<a)(0≤

x≤a)BC段：FS=FA–

F=–

Fa/l(a<x<l)(a

≤

x≤

l)(3)作FS图、M图xMACBAC段：x=0，M=0CB段：x=a，x=a，x=l

，M=0㊉Fb/lABalFbCFAFBFSxACB㊉㊀Fa/l由FS图可知：称|FS|max、Mmax

所在截面为危险截面。注意：|FS|max、|M|max不一定为同一

截面。

另外：C截面：x=a，CB段：|FS|max=Fa/l由M

图可知：在集中力作用处，FS图上有突变，突变值等于集中力数值，突变方向与集中力方向相同。xMACB㊉Fb/lABalFbCFAFBFSxACB㊉㊀Fa/l例4

作图示简支梁的

FS图、M图。解：(1)约束力FA、FBxSMB(F)=0FA=Me/lFSMSFy=0FB=–

Me/l(2)FS方程、M方程AC段：FS=FA=Me/l(0<x<a)(0≤

x≤a)CB段：xFSMxFAFS=FA=Me/l(a<x<l)(a

≤

x≤

l)lbaMeABCxFAMeFAFB(3)FS图、M图AC段：FS=FA=Me/l(0<x<a)(0≤

x≤a)CB段：FS=FA=Me/l(a<x<l)(a

≤

x≤

l)㊀Me

/lBFSxAFS图：为一水平线。㊉xMACB㊉M图：AC段：为一斜直线。x=0，M=0CB段：为一斜直线。x=a，x=l，M=0xxlbaMeABCFAFBx=a，可知：

x=a+另外：在集中力偶作用处，M

图上有突变，突变值等于集中力偶矩数值，突变方向与集中力偶矩对其右侧梁的作用效果而定。㊀Me

/lBFSxA㊉xMACB㊉xxlbaMeABCFAFB由例题可知

FS图、M图的一些特征：(1)

梁上无均布载荷q作用处，FS图为一水平线，M图为一直

线，常为斜直线；(2)

在q作用处，FS图为斜直线，M图为一抛物线；(3)

在集中力F

作用处，FS图上有突变，M图上有一折点；(4)

在集中力偶Me

作用处，FS图上无影响，M图上有一突变；(5)

|M|max可能发生在集中力或集中力偶作用处。例5.一简支梁受均布载荷作用，其集度q=100kN/m,如图所示.试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图.

解：（1）计算梁的支反力将梁分为AC、CD、DB

三段.AC和DB上无载荷，CD段有向下的均布载荷.FRAFRBEqABCD0.21.612AC段水平直线CD段

向右下方的斜直线DB段水平直线最大剪力发生在AC

和DB

段的任一横截面上.（2）剪力图FRAFRBEqABCD0.21.612+8080xFs(kN)AC段向上倾斜直线CD段

向上凸二次抛物线DB段向下倾斜直线（3）弯矩图在FS=0的截面上弯矩有极值FRAFRBEqABCD0.21.61216M(x)··1648x(kN•m)·（4）对图形进行校核

在AC段，剪力为正值，弯矩图为向上倾斜的直线.

在CD段，方向向下的均布载荷作用,剪力为向下倾斜的直线，弯矩图为向上凸二次抛物线.FRAFRBEqABCD0.21.61280+80xFs(kN)16M(x)··1648x(kN•m)·

在DB段，剪力为负值，弯矩图为向下倾斜的直线.

最大弯矩发生在FS=0的截面E上.说明剪力图和弯矩图是正确的.例6.作梁的内力图(剪力图和弯矩图).解:(1)支座反力FRAFRB3m4mABCDE4m4mF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kN

将梁分为AC、CD、

DB、BE

四段.(2)剪力图AC段向下斜的直线()CD段向下斜的直线()DB段水平直线(-)EB段水平直线(-)3m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kNAC段向下斜的直线()CD段向下斜的直线()F点剪力为零,令其距

A截面的距离为x7kN1kN++3kN3kN2kNx=5mx=5m（3）弯矩图CD段AC段3m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kNDB段201666+20.5M(kN·m)xBE段3m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kN7kN1kN++3kN3kN2kNx=5m201666+20.5(4)校核Fs(kN)M(kN·m)xx第

五章弯曲应力书上例题习题:5-12,5-16,5-17●

梁弯曲正应力强度条件抗拉压强度不等的材料

（截面上承受的是负弯矩时）y拉压M(–)M(–)抗拉压强度不等的材料:（截面上承受的是正弯矩时）y压拉M(+)M(+)惯性矩Iz

和抗弯截面系数Wz实心圆截面：空心圆截面：矩形截面：解：(1)作

FS、M图例1

图示矩形截面木梁，已知b=0.12m，h=0.18m，l=3m，

材料[]=7MPa，[]=0.9MPa。试校核梁的强度。可知：FSmax=5400N

Mmax=4050N·m(2)校核梁的强度=6.25MPa<