高中数学人教B版3第二章概率学业分层测评12

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()\f(1,8) \f(1,4)\f(2,5) \f(1,2)【解析】∵P(A)＝eq\f(C\o\al(2,2)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(4,10)，P(A∩B)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，∴P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(1,4).【答案】B2.下列说法正确的是()(B|A)＜P(A∩B) (B|A)＝eq\f(PB,PA)是可能的＜P(B|A)＜1 (A|A)＝0【解析】由条件概率公式P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)及0≤P(A)≤1知P(B|A)≥P(A∩B)，故A选项错误；当事件A包含事件B时，有P(A∩B)＝P(B)，此时P(B|A)＝eq\f(PB,PA)，故B选项正确，由于0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，故C，D选项错误.故选B.【答案】B3.(2023·全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是() 【解析】已知连续两天为优良的概率是，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P＝eq\f,＝.【答案】A4.(2023·泉州期末)从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A为“取到的两个数之和为偶数”，事件B为“取到的两个数均为偶数”，则P(B|A)等于()\f(1,8) \f(1,4)\f(2,5) \f(1,2)【解析】法一：P(A)＝eq\f(C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(1,4).法二：事件A包含的基本事件数为Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,2)＝4，在A发生的条件下事件B包含的基本事件为Ceq\o\al(2,2)＝1，因此P(B|A)＝eq\f(1,4).【答案】B5.抛掷两枚骰子，则在已知它们点数不同的情况下，至少有一枚出现6点的概率是()【导学号：62980043】\f(1,3) \f(1,18)\f(1,6) \f(1,9)【解析】设“至少有一枚出现6点”为事件A，“两枚骰子的点数不同”为事件B，则n(B)＝6×5＝30，n(A∩B)＝10，所以P(A|B)＝eq\f(nA∩B,nB)＝eq\f(10,30)＝eq\f(1,3).【答案】A二、填空题6.已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.【解析】P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB)＝eq\f,＝eq\f(2,3)；P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f,＝eq\f(3,5).【答案】eq\f(2,3)eq\f(3,5)7.(2023·烟台高二检测)有一批种子的发芽率为，出芽后的幼苗成活率为，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是________.【解析】设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件A∩B，则P(A)＝，又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝，所以P(A∩B)＝P(A)·P(B|A)＝.【答案】8.(2023·周口中英文学校月考)一个袋子内装有除颜色不同外其余完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地任取两次，每次取一球，在第一次取到的是白球的条件下，第二次也取到白球的概率是________.【解析】记事件A：第一次取得白球.事件B：第二次取得白球.事件B|A：第一次取到白球的条件下，第二次也取得白球.则P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(\f(3×2,5×4),\f(3,5))＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)三、解答题9.甲、乙两个袋子中，各放有大小、形状和个数相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球为1个，标号为1的2个，标号为2的n个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是eq\f(1,10).(1)求n的值；(2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1的条件下，求另一个标号也是1的概率.【解】(1)由题意得：eq\f(C\o\al(2,n),C\o\al(2,n＋3))＝eq\f(nn－1,n＋3n＋2)＝eq\f(1,10)，解得n＝2.(2)记“其中一个标号是1”为事件A，“另一个标号是1”为事件B，所以P(B|A)＝eq\f(nA∩B,nA)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5)－C\o\al(2,3))＝eq\f(1,7).10.任意向x轴上(0,1)这一区间内掷一个点，问：(1)该点落在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))内的概率是多少？(2)在(1)的条件下，求该点落在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，1))内的概率.【解】由题意知，任意向(0,1)这一区间内掷一点，该点落在(0,1)内哪个位置是等可能的，令A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|0＜x＜\f(1,3)))，由几何概率的计算公式可知.(1)P(A)＝eq\f(\f(1,3),1)＝eq\f(1,3).(2)令B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))＜x＜1))，则A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,5)＜x＜\f(1,3)))，P(A∩B)＝eq\f(\f(1,3)－\f(1,5),1)＝eq\f(2,15).故在A的条件下B发生的概率为P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(\f(2,15),\f(1,3))＝eq\f(2,5).[能力提升]1.一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是()\f(1,4) \f(2,3)\f(1,2) \f(1,3)【解析】一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女).记事件A为“其中一个是女孩”，事件B为“另一个是女孩”，则A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A∩B＝{(女，女)}.于是可知P(A)＝eq\f(3,4)，P(A∩B)＝eq\f(1,4).问题是求在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求P(B|A)，由条件概率公式，得P(B|A)＝eq\f(\f(1,4),\f(3,4))＝eq\f(1,3).【答案】D2.(2023·开封高二检测)将3颗骰子各掷一次，记事件A表示“三个点数都不相同”，事件B表示“至少出现一个3点”，则概率P(A|B)等于()\f(91,216) \f(5,18)\f(60,91) \f(1,2)【解析】事件B发生的基本事件个数是n(B)＝6×6×6－5×5×5＝91，事件A，B同时发生的基本事件个数为n(A∩B)＝3×5×4＝60.所以P(A|B)＝eq\f(nA∩B,nB)＝eq\f(60,91).【答案】C3.袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为________.【解析】记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才取到黄球”为事件C，所以P(C)＝P(A∩B)＝P(A)P(B|A)＝eq\f(4,10)×eq\f(6,9)＝eq\f(4,15).【答案】eq\f(4,15)4.如图2­2­1，三行三列的方阵有9个数aij(i＝1,2,3，j＝1,2,3)，从中任取三个数，已知取到a22的条件下，求至少有两个数位于同行或同列的概率.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a11a12a13,a21a22a23,a31a32a33))图2­2­1【解】事件A＝{任取的三个数中有a22}，事件B＝{三个数至少有两个数位于同行或同列}，则eq\x\to(B)＝{三个数互不同行且不同列}，依题意得n(A)＝Ceq