高中数学北师大版第一章立体几何初步 全国一等奖

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若m、n表示直线，α表示平面，则下列推理中，正确的个数为()①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥n,m⊥α))⇒n⊥α；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,n⊥α))⇒m∥n；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,n∥α))⇒m⊥n;④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥α,m⊥n))⇒n⊥α.A．1 B．2C．3 D．4解析：①②③正确，④中n与面α可能有：nα或n∥α或相交(包括n⊥α)．答案：C2．已知直线a、b与平面α、β、γ，能使α⊥β的条件是()A．a⊥β，β⊥γ，a⊂γ B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥β，α∥a D．a∥α，a⊥β解析：因为a∥α，所以过a作一平面γ∩α＝c，则a∥c，因为a⊥β，所以c⊥β，又c⊂α，所以α⊥β.答案：D3．PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是()A．PA⊥BC B．BC⊥平面PACC．AC⊥PB D．PC⊥BC解析：PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正确；又BC⊥AC，∴BC⊥面PAC，∴BC⊥PC，B、D均正确．答案：C4．四棱锥P－ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝AD，四边形ABCD是正方形，E是PD的中点，则AE与PC的关系是()A．垂直 B．相交C．平行 D．相交或平行解析：∵PA＝AD，E为PD的中点，∴AE⊥PD又PA⊥面ABCD.∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD.∴CD⊥面PAD，∴CD⊥AE.又∵CD∩PD＝D，∴AE⊥面PCD.∴AE⊥PC.故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________________．(只填序号即可)①a和b垂直于正方体的同一个面②a和b在正方体两个相对的面内，且共面③a和b平行于同一条棱④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直解析：①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．答案：①②③6．已知直线PG⊥平面α于G，直线EFα，且PF⊥EF于F，那么线段PE，PF，PG的大小关系是________．解析：由于PG⊥平面α于G，PF⊥EF，∴PG最短，PF＜PE，∴有PG＜PF＜PE.答案：PG＜PF＜PE三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.证明：如图所示，连接AB1、B1C、BD、B1D1.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD.∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∵BD1平面BDD1B1，∴BD1⊥AC.同理可证BD1⊥B1C，AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C，又EF⊥AC且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.8．斜边为AB的直角三角形ABC，过点A作PA⊥平面⊥PB，AF⊥PC，E、F分别为垂足，如图．(1)求证：EF⊥PB；(2)若直线l⊥平面AEF，求证：PB∥l.证明：(1)∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵△ABC为直角三角形，∴BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又∵AF平面PAC，∴BC⊥AF.又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，∴AF⊥平面PBC.又PB平面PBC，∴AF⊥BP.又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.又EF平面AEF，∴EF⊥PB.(2)由(1)知，PB⊥平面AEF，而l⊥平面AEF，∴PB∥l.eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．解析：取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝