本科“统计学”-第五章 概率分布与抽样分布

第五

章概率分布与抽样分布第一节随机事件与概率分布第二节抽样分布及其性质学习目标了解随机事件及概率分布理解抽样分布的意义了解抽样分布的形成过程理解中心极限定理理解抽样分布的性质第一节随机事件与概率分布一、随机试验与随机事件必然现象（确定性现象）变化结果是事先可以确定的，一定的条件必然导致某一结果这种关系通常可以用公式或定律来表示随机现象（有不确定性，但不等同于偶然现象）在相同条件下可能发生也可能不发生的现象个别观察的结果完全是偶然的、随机会而定大量观察的结果会呈现出某种规律性

（随机性中寓含着规律性）

——统计规律性十五的夜晚能看见月亮？十五的月亮比初十圆！随机试验严格意义上的随机试验满足三个条件：试验可以在相同的条件下重复进行；每次试验的可能结果不止一个，但试验的所有可能结果在试验之前是明确可知的；每次试验只能观察到可能结果中的一个，但在试验结束之前不能肯定哪一个结果会出现。广义的随机试验是指对随机现象的观察（或实验）实际应用中多数试验不能同时满足上述条件，常常从广义角度来理解。随机事件（事件）随机事件（简称事件）随机试验的每一个可能结果常用大写英文字母A、B、……、来表示基本事件（样本点）——中国足球队胜、负、平不可能再分成为两个或更多事件的事件：样本空间（Ω）在一项随机试验中，每一个基本事件称为一个样本点，而所有样本点构成这项试验的样本空间。显然，样本空间等同于集合论中的全集，基本事件对应于全集中的元素，满足某些规定性质的随机事件就是集合论中的一个子集。随机事件（续）随机事件的两种特例必然事件在一定条件下，每次试验都必然发生的事件必然事件发生的概率为1

不可能事件在一定条件下，每次试验都必然不会发生的事件不可能事件是一个空集（Φ）二、随机事件的概率概率用来度量随机事件发生的可能性大小的数值必然事件的概率为1，表示为P(

)=1不可能事件发生的可能性是零，P(

)=0随机事件A的概率介于0和1之间，0<P(A)<1概率的统计定义当试验次数n

很大时，事件A发生频率m/n稳定地在某一常数p上下波动，而且这种波动的幅度一般会随着试验次数增加而缩小，则定义p为事件A发生的概率当n相当大时，可用事件发生的频率m/n作为其概率的一个近似值——计算概率的统计方法（频率方法）：贝努利概型事件的概率例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率，随着投掷次数n的增大，出现正面和反面的频率稳定在1/2左右试验的次数正面/试验次数1.000.000.250.500.750255075100125实验次数正面正面/实验次数111.00210.50310.33410.25520.40630.50740.57850.63960.671070.701180.731290.751390.691490.641590.6016100.6317100.5918100.5619110.5820120.6021130.6222140.6423150.6524160.6725160.64历史上有很多人都曾经做过抛硬币试验：试验者试验次数正面出现的频率蒲丰40400.5069K.皮尔逊120000.5016K.皮尔逊240000.5005罗曼诺夫斯基806400.4979三、随机变量的概念随机变量——表示随机试验结果的变量取值是随机的，事先不能确定取哪一个值一个取值对应随机试验的一个可能结果用大写字母如X、Y、Z...来表示，具体取值则用相应的小写字母如x、y、z…来表示根据取值特点的不同，可分为：离散型随机变量——取值可以一一列举连续型随机变量——取值不能一一列举离散型随机变量随机变量X取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来X1,X2，…以确定的概率取这些不同的值离散型随机变量的一些例子试验随机变量可能的取值抽查100个产品一家餐馆营业一天电脑公司一个月的销售销售一辆汽车取到次品的个数顾客数销售量顾客性别0,1,2,…,1000,1,2,…0,1,2,…男性为0,女性为1连续型随机变量随机变量X取无限个值所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任意点连续型随机变量的一些例子试验随机变量可能的取值抽查一批电子元件新建一座住宅楼测量一个产品的长度使用寿命(小时)半年后工程完成的百分比测量误差(cm)X00

X100X0四、随机变量的概率分布

1.离散型随机变量的概率分布

2.连续型随机变量的概率密度

3.分布函数不同的随机试验，其样本空间的具体构成千差万别。但是，实质上，如果把具体内容抽象掉，将随机事件数量化，就会发现许多随机试验中概率的计算具有某种共同性，遵循某一种概率分布模型。只要能找到这些概率分布模型，就会为我们计算概率和研究同类随机现象的规律性提供方便。——因此，随机变量及其概率分布是描述随机现象的重要工具。概率函数P(X=xi)=pi离散型概率分布的表示：1.离散型随机变量的概率分布离散变量X的概率分布

——离散型随机变量X的每一个可能的取值xi与其概率pi（i=1，2，3，…，n）之间所确立的对应关系称为这个离散型随机变量的分布。概率分布具有如下两个基本性质：（1）pi≥0，i=1,2,…,n；（2）X=xix1x2…xnP(X=xi)=pip1p2…pn离散型随机变量的概率分布

（实例）【例】如规定打靶中域Ⅰ得2分，中域Ⅱ得1分，中域Ⅲ及中域外得0分。今某射手每100次射击，平均有30次中域Ⅰ，60次中域Ⅱ，10次中Ⅲ及中域外。则考察每次射击得分为0,1,2这一离散型随机变量，求其概率分布。射击得分的概率分布表示：分布图0.60.30012xP(x)图3-5例3-9的概率分布X=xi012P(X=xi)pi0.10.60.32.连续型随机变量的概率密度对于连续型随机变量，我们关心的往往不是它取某个特定值的概率，而是该随机变量落在一定区间内的概率；连续型随机变量的概率分布只能表示为：数学函数——概率密度函数f(x)和分布函数F(x)图形——概率密度曲线和分布函数曲线概率密度函数f(x)的函数值不是概率；而x轴以上、概率密度曲线下方面积才表示概率。f(x)xab随机变量X在一定区间（a，b）上的概率为：

什么是

概率密度?

连续数据的概率分布：表

零件尺寸的分组表按零件尺寸分组频数（个）105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064合计50频数直方图频数(个)1512963105110115120125130135140零件尺寸图

零件尺寸分布频数的直方图问题：曲线下面积为1吗？连续数据的概率分布：表

零件按尺寸数据的分组表按零件尺寸分组频数（个）频率105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~1403581410640.060.100.160.280.200.120.08合计501频率=频数/总数频率直方图频率

0.32

0.240.180.120.06105110115120125130135140零件尺寸图

零件尺寸分布频率的直方图问题：曲线下面积为1吗？连续数据的概率分布：表

零件按尺寸数据的分组表按零件尺寸分组频数（个）频率频率密度105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~1403581410640.060.100.160.280.200.120.080.0120.0200.0320.0560.0400.0240.016合计501-----频率密度=频率/组距频率密度直方图频率密度

0.060

0.0480.0360.0240.012105110115120125130135140

零件尺寸图

零件尺寸分布频率密度的直方图问题：曲线下面积为1吗？频数直方图—频率直方图—频率密度直方图在频数分布直方图中，如果按各组的频率密度来测定各直条的高，则第i个直条的面积等于该组的频率，所有直条的面积之和等于1。与直方图的直条高为频率密度相仿，曲线上某一点的纵坐标为随机变量在相应横坐标附近的一个狭小区间内（在这个狭小区间的宽度趋近于零的过程中）取值概率的概率密度（即概率/区间宽度）。所以，这条曲线叫做随机变量的（分布）密度曲线。今后可以看到，概率密度曲线可以用适当的数学解析式来描述。我们把密度曲线以及相应的数据解析式所表达的数学函数关系称作随机变量的（分布）密度函数。密度函数刻画了连续型随机变量的分布规律。相对于由频率直方图来描述的随机变量的经验分布来讲，由密度函数所刻画的连续型随机变量的概率分布规律称为它的理论分布。连续型随机变量的分布综上所述，连续型随机变量X的一系列取值区间和随机变量在该区间取值的概率之间确立的对应关系，称作这个连续型随机变量的分布。连续型随机变量的分布可以用密度函数来描述，随机变量X的密度函数记作f(x)。频数分布直方图是用各组的频率密度作直条的高来画图的。当分组数无穷多，而组距（即直条的底边长趋近于0时，直方图演变成平滑的曲线。这时，直条的高就成为f(x)。连续型随机变量X在某一数值区间[a,b]

内取值的概率等于竖立在该区间上的、以密度曲线为上底的曲边梯形的面积。记作：概率密度f(x)的性质（1）f(x)≥0。概率密度是非负函数。（2）即：所有区域上取值的概率总和为1。只要满足上述两条性质，即可认为是一个概率密度。f(x)xab

随机变量X在一定区间（a，b）上的概率为：

密度曲线是把分布加以理想化之后产生的图形，对于描绘大量观测值的时候最为有用。密度曲线的结构是利用曲线底下的面积表示落在该区的观测值的比例。因此，必须选择适当的尺度，使得曲线底下的面积恰恰是1，这样就得到一个密度曲线。3.分布函数适用于两类随机变量概率分布的描述分布函数的定义：F(x)＝P{X≤x}连续型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数

F(x)＝f(x)xx0F(x0

)分布函数与概率密度4.随机变量的数字特征

随机变量的数学期望

随机变量的方差和标准差

两个随机变量的协方差和相关系数（1）

随机变量的数学期望又称均值描述一个随机变量的概率分布的中心位置离散型随机变量X的数学期望：——相当于所有可能取值以概率为权数的平均值连续型随机变量X的数学期望：数学期望的主要数学性质若k是一常数，则

E(kX)＝kE(X)对于任意两个随机变量X、Y，有

E(X+Y)＝E(X)＋E(Y)若两个随机变量X、Y相互独立，则

E(XY)＝E(X)E(Y)

（2）随机变量的方差方差是它的各个可能取值偏离其均值的离差平方的均值，记为D(x)或σ2公式：离散型随机变量的方差：连续型随机变量的方差：方差和标准差（续）标准差＝方差的平方根方差和标准差都反映随机变量取值的分散程度。它们的值越大，说明离散程度越大，其概率分布曲线越扁平。方差的主要数学性质：若k是一常数，则D(k)＝0；D(kX)＝k2D(X)

若两个随机变量X、Y相互独立，则

D(X+Y)＝D(X)＋D(Y)

【例3-10】试求优质品件数的数学期望、方差和标准差。解：σ＝0.6xi012pi0.10.60.3（3）两个随机变量的协方差协方差的定义如果X,Y独立（不相关），则

Cov(X,Y)＝0即E(XY)＝E(X)E(Y)

协方差在一定程度上反映了X、Y之间的相关性协方差受两个变量本身量纲的影响。（4）两个随机变量的相关系数相关系数ρ具有如下的性质：相关系数ρ是一个无量纲的值

0≤|ρ|≤0当ρ=0，两个变量不相关（不存在线性相关）当|ρ|=1，两个变量完全线性相关五、常见的概率分布现实世界中的随机现象有无限多种，相应地，随机变量及其概率分布也无穷无尽。但在不同应用背景下，随机变量往往具有相同的性质。在概率论发展的历程中，数学家们总结出了很多概率模型，为我们解决不同类型的大量现实问题提供了极大的方便。常用概率分布及其均值、方差σ2μN(μ,σ2)NORMDIST正态分布(a+b)/2均匀分布np(p＝M/N)H(n,N,M)HYPGEOM-DIST超几何分布λλP(λ)POISSON泊松分布p(1-p)pB(1,p)二点分布np(1-p)npB(n,p)BINOMDIST二项分布方差均值记号名称1.二项试验

（贝努里试验）二项分布与贝努里试验有关贝努里试验具有如下属性试验包含了n

个相同的试验每次试验只有两个可能的结果，即“成功”和“失败”出现“成功”的概率p对每次试验结果是相同的；“失败”的概率q也相同，且p+q=1n次试验是相互独立的二项分布在n重贝努里试验中，“成功”的次数X服从参数为n、p的二项分布，记为X～B(n,p)二项分布的概率函数：二项分布的数学期望和方差：n＝1时，二项分布就成了二点分布（0-1分布）二项分布图形p＝0.5时，二项分布是以均值为中心对称p≠0.5时，二项分布总是非对称的p<0.5时峰值在中心的左侧p>0.5时峰值在中心的右侧随着n无限增大，二项分布趋近于正态分布p=0.3p=0.5p=0.7二项分布图示2.泊松分布（应用背景）通常是作为稀有事件发生次数X的概率分布模型。一段时间内某繁忙十字路口发生交通事故的次数一定时间段内某电话交换台接到的电话呼叫次数…服从泊松分布的现象的共同特征在任意两个很小的时间或空间区间内事件发生次数是相互独立的；各区间内事件发生次数只与区间长度成比例，与区间起点无关；在一段充分小的区间内事件发生两次或两次以上的概率可以忽略不计泊松分布X服从泊松分布，记为X～P(λ）:E(X)=D(X)=λ当λ很小时，泊松分布呈偏态，并随着λ增大而趋于对称当λ为整数时，λ和（λ-1）是最可能值3.超几何分布

N个单位的有限总体中有M个单位具有某特征。用不重复抽样方法从总体中抽取n个单位，样本中具有某种特征的单位数X服从超几何分布，记为X～H(n,N,M)数学期望和方差:N很大而n相对很小时，趋于二项分布(p=M/N)4.均匀分布X只在一有限区间[a，b]上取值且概率密度是一个常数其概率密度为：X落在子区间[c，d]

内的概率与该子区间的长度成正比，与具体位置无关f(x)ac

dbxP(c≤X≤d)5.正态分布X～N(μ、σ2

)，其概率密度为：正态分布的均值和标准差

均值E(X)=μ

方差D(X)=σ2

-∞<x<∞

正态密度曲线σ相同而μ不同的正态密度曲线

2xf(x)μ相同而σ不同的正态密度曲线f(x)σ较小σ较大x正态密度曲线的主要特性关于x=μ对称的钟形曲线参数μ决定正态曲线的中心位置参数σ

决定正态曲线的陡峭或扁平程度以X轴为渐近线，即当x→±∞时，f(x)→0正态密度曲线的性质只要给出了平均数和标准差，就可以完全描述特定的正态曲线平均数决定分布的中心；标准差决定曲线的形状：标准差就是从平均数到其左侧或右侧的曲率转变点的距离图6-12常用的正态概率值（在一般正态分布及标准正态分布中）-3

-2

-10

+1+2+3z-3σ-2σ-σ

+σ

+2σ+3σx99.73%95.45%68.27%3σ

原则（68-95-99.7规则）图6-12常用的正态概率值（在一般正态分布及标准正态分布中）

-3

-2

-10

+1+2+3z-3σ-2σ-σ

+σ

+2σ+3σx99.73%95.45%68.27%|X－μ|>3σ的概率很小，因此可认为正态随机变量的取值几乎全部集中在[μ-3σ，μ+3σ]区间内——但要记住，没有哪组资料是百分之百用正态分布描述的，68-95-99.7规则只是大体正确。利用正态分布做参数估计的图示x95%的样本-1.96x+1.96x99%的样本-2.58x+2.58x90%的样本-1.65x+1.65xGhiselietal.1981)在他们的研究中指出：要判断数据是否服从正态分布主要是检验数据的偏度(skewness)和峰度(kurtosis)这两个指标，检验标准如下：如果数据的均值(mean)和中位数（median)相近，且斜度小于2，峰度值小于5就可以认为该数据满足正态分布要求；如果峰度和斜度的绝对值都超过2，那么该样本数据就不满足正态分布的要求。参考：符合正态分布的判断标准正态分布最常用、最重要大千世界中许多常见的随机现象服从或近似服从正态分布例如，测量误差，同龄人的身高、体重，一批棉纱的抗拉强度，一种设备的使用寿命，农作物的产量…特点是“中间多两头少”由于正态分布特有的数学性质，正态分布在很多统计理论中都占有十分重要的地位正态分布是许多概率分布的极限分布，如二项式分布。根据中心极限定理，不论总体服从何种分布，只要其数学期望和方差存在，对这一总体进行重复抽样时，当样本量n充分大，所有样本之和以及样本均值就趋于正态分布。该定理为均值的抽样推断奠定了理论基础。统计推断中许多重要的分布（如χ2分布、t分布、F分布）都是在正态分布的基础上推导出来的。用正态分布近似二项分布用正态分布近似二项分布的前提n很大，p不能太接近0或1（否则二项分布太偏）一般要求——np和np(1-p)都要大于5如果np

或np(1-p)小于5，二项分布可以用泊松分布来近似标准正态分布μ＝0、σ＝1的正态分布，记为N(0,1)其概率密度φ(x)，分布函数Ф(x)X～N(μ、σ2),则：Z～N(0，1

)若Z～N(0，1

)，则有：

P（|Z|≤a）＝2Ф(a)－1Ф(-a)=1－Ф(a)标准化标准正态曲线

-a

0aφ(z)zΦ(a)【例6-14】例6-14某厂生产的某种节能灯管的使用寿命服从正态分布，对某批产品测试的结果，平均使用寿命为1050小时，标准差为200小时。试求：（a）使用寿命在500小时以下的灯管占多大比例？（b）使用寿命在850～1450小时的灯管占多大比例？（c）以均值为中心，95％的灯管的使用寿命在什么范围内？解:

X＝使用寿命，X～N(1050，2002

)＝Ф(2)－Ф(-1)＝0.97725－0.15865＝0.818695％的灯管寿命在均值左右392（即658～1442）小时＝1－Ф(2.75)＝1－0.99702＝0.00298Excel计算正态分布的概率值方法一：先标准化——查标准正态分布函数值表方法二：利用Excel来计算首先标准化，再选择函数“NORMSDIST”插入函数fx——选择“统计”－“NORMSDIST”，进入“函数参数”对话框中，在Z后填入正态随机变量的Z值；计算随机变量取值小于等于指定Z值的累积概率值。Excel计算正态分布的概率值利用Excel来计算时，也可不必标准化，此时应利用函数“NORMDIST”插入函数fx——选择“统计”－“NORMDIST”，进入“函数参数”对话框中，在X后填入正态随机变量的取值区间点；在Mean后填入正态分布的均值；在Standard_dev后填入正态分布的标准差；在Cumulative后填入1(或TRUE)，表示计算随机变量取值小于等于指定值x的累积概率值。已知随机变量的取值x，求概率值：也可在选定的输出单元格中，顺次输入函数名和参数值即可如输入“=NORMDIST(500,1050,200,1)”，确定后即可得到所求概率值0.0029798。已知概率值F(X≤x)，求随机变量取值的区间点x：选择函数“NORMINV”

如输入“=NORMINV(0.0029798,1050,200)”,显示计算结果为500。——如果正态分布本身已经标准化，则可直接使用函数NORMSDIST和NORMSINV计算正态分布的概率值常用概率分布及其均值、方差σ2μN(μ,σ2)NORMDIST正态分布(a+b)/2均匀分布np(p＝M/N)H(n,N,M)HYPGEOM-DIST超几何分布λλP(λ)POISSON泊松分布p(1-p)pB(1,p)二点分布np(1-p)npB(n,p)BINOMDIST二项分布方差均值记号名称练习题1.美国家庭日常交通费用年平均支出为6312美元（Money,2001.8）。假定交通费用服从正态分布。（1）若已知5%的美国家庭的日常交通费用支出低于1000美元，求日常交通费用支出的标准差；（2）日常交通费用支出最高的3%家庭的年化费有多大？2.某公司正考虑提供一项特殊服务合同，以负担服务工作所要求的设备租凭的总成本。根据经验，公司经理估计年劳务成本近似服从正态分布，均值150元，标准差25元。（1）如果公司以每年200元的价格向客户提供这种服务合同，则一名客户劳务成本超过200元的合同价格概率是多少？（2）该公司每个劳务合同的期望利润是多少？第二节抽样分布与中心极限定理一、抽样分布的概念二、样本均值的抽样分布三、样本比率的抽样分布四、样本方差的抽样分布总体概率分布与抽样分布:如果已知总体的概率分布，就可以直接利用前面描述统计的有关知识计算总体的均值和方差等参数；但是，在大多数的实践应用中，总体的概率分布是难以确知的，真实的总体均值和方差也是未知、需要我们进行估计的；因此，我们必须先在总体中抽取样本，根据抽样分布计算样本的统计量，并通过样本统计量去估计总体参数。总体参数

样本统计量平均数标准差比例参数统计量xsp总体样本样本统计量本身是随机变量样本均值,样本比例，样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本所有样本指标（如均值、比例、方差等）所形成的分布称为抽样分布.抽样分布是样本统计量的概率分布，是一种理论分布即在大量重复抽样试验的基础上，根据统计量取值的集合以及相应的概率，进而通过判断与比较得到统计量的概率分布。在实际应用中,统计量的抽样分布是通过数学推导或在计算机上利用程序进行模拟而得到的.提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据

一、抽样分布

(samplingdistribution)抽样分布的形成过程

(samplingdistribution)总体计算样本统计量如：样本均值、比例、方差样本样本均值x是推断总体均值

的理论基础。样本均值x的抽样分布的形式与原有总体的分布和样本容量n

有关。如果原有总体是正态分布，则无论样本容量大小，样本均值的抽样分布都服从正态分布；如果原有总体的分布是非正态分布，就要看样本容量的大小了。随着样本容量n的增大（通常要求n>30），样本均值的抽样分布将趋于正态分布；在样本均值的抽样分布符合正态分布条件时，样本均值的数学期望为总体均值，方差为总体方差的

1/n。

——（中心极限定理）二、样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布

（一个例子）【例】设一个总体，含有4个元素（个体），即总体单位数N=4。4个个体分别为X1=1、X2=2、X3=3、X4=4。总体的均值、方差及分布如下均值和方差总体分布14230.1.2.3样本均值的抽样分布

（一个例子）

现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果如下表3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n=2的样本（共16个）样本均值的抽样分布

（一个例子）计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值16个样本的均值（x）样本均值的抽样分布1.00.1.2.3P(x)1.53.04.03.52.02.5x所有样本均值的均值和方差式中：M为样本数目比较及结论：1.样本均值的均值（数学期望）等于总体均值

2.样本均值的方差等于总体方差的1/n样本均值的分布与总体分布的比较抽样分布=2.5σ2=1.25总体分布14230.1.2.3P(x)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5x样本均值的抽样分布

与中心极限定理=50

=10X总体分布n=4抽样分布Xn=16当总体服从正态分布N~(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值X也服从正态分布，X

的数学期望为μ，方差为σ2/n。即X～N(μ,σ2/n)中心极限定理

(centrallimittheorem)当样本容量足够大时(n

30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布中心极限定理：设从均值为，方差为

2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布一个任意分布的总体