高中物理粤教版第三章万有引力定律及其应用 第3章章末分层突破

章末分层突破[自我校对]①地心说②日心说③Geq\f(m1m2,r2)④2πeq\r(\f(r3,GM))⑤eq\r(\f(GM,r))⑥eq\r(\f(GM,r3))⑦eq\f(GM,r2)⑧km/s⑨km/s⑩km/s万有引力与重力的关系1.万有引力和重力的关系实际上，地面上物体所受的万有引力F可以分解为物体所受的重力mg和随地球自转而做圆周运动的向心力F′.其中F＝Geq\f(Mm,R2)，F′＝mrω2，质量为m的物体在地面上的万有引力F大小不变，且F≫F′.(1)当物体在赤道上时，F、mg、F′三力同向．此时满足F′＋mg＝F，物体的重力最小，方向指向地心．(2)当物体在两极点时，F′＝0，F＝mg＝Geq\f(Mm,R2).(3)当物体在地球的其他位置时，三力方向不同，F＞mg，重力略小于万有引力，重力的方向不指向地心．(4)当忽略地球自转时，重力等于万有引力，即mg＝Geq\f(Mm,R2).(5)对于绕地球运行的近地卫星，所受的万有引力可认为等于卫星的重力．2．赤道上物体的向心加速度和卫星的向心加速度的区别图3­1放在赤道地面上的物体随地球自转所需的向心力是地球对物体的引力和地面支持力的合力提供的；而环绕地球运行的卫星所需的向心力完全由地球对卫星的引力提供(如图3­1)．两个向心力的数值相差很大(如质量为1kg的物体在赤道上随地球自转所需的向心力只有N，而它所受地球引力约为N，近地卫星上每千克的物体所需的向心力是N)，对应的两个向心加速度的计算方法也不同，赤道上的物体随地球自转的向心加速度a1＝ω2R＝(eq\f(2π,T))2R，式中T为地球自转周期，R为地球半径；卫星环绕地球运行的向心加速度a2＝GM/r2，式中M为地球质量，r为卫星与地心的距离．某星球“一天”的时间是T1＝6h，用弹簧测力计在星球的“赤道”上比在“两极”处测同一物体的重力时读数小10%，设想该星球自转的角速度加快，使赤道上的物体自动飘起来，这时星球的“一天”是多少小时？【解析】“一天”的含义是指该星球自转的周期设该物体在星球的“赤道”上时重力为G1，在两极处的重力为G2.在“赤道”处：Geq\f(Mm,R2)－G1＝meq\f(4π2,T\o\al(2,1))R ①在“两极”处：Geq\f(Mm,R2)＝G2 ②G2－G1＝G2·10% ③由①②③式得Geq\f(Mm,R2)·10%＝meq\f(4π2,T\o\al(2,1))R ④赤道上的物体自动飘起来也就是万有引力全部提供自转向心力，设星球自转的周期为T2时，即Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,2))R ⑤由④⑤两式可得T2＝eq\f(\r(10),10)T1≈h.【答案】h天体运动的规律“一”、“二”、“三”分析处理天体运动问题，要抓住“一个模型”、应用“两个思路”、区分“三个不同”．1．一个模型无论是自然天体(如行星、月球等)，还是人造天体(如人造卫星、空间站等)，只要天体的运动轨迹为圆形，就可将其简化为质点的匀速圆周运动．2．两个思路(1)所有做圆周运动的天体，所需的向心力都来自万有引力．因此，向心力等于万有引力，据此所列方程是研究天体运动的基本关系式，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝man(2)不考虑地球或天体自转影响时，物体在地球或天体表面受到的万有引力约等于物体的重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg变形得GM＝gR2，此式通常称为“黄金代换式”．3．三个不同(1)不同公式中r的含义不同．在万有引力定律公式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(F＝G\f(m1m2,r2)))中，r的含义是两质点间的距离；在向心力公式(F＝meq\f(v2,r)＝mω2r)中，r的含义是质点运动的轨道半径．当一个天体绕另一个天体做匀速圆周运动时，两式中的r相等．(2)运行速度、发射速度和宇宙速度的含义不同．三种速度的比较，如下表所示比较项概念大小影响因素运行速度卫星绕中心天体做匀速圆周运动的速度v＝eq\r(\f(GM,r))轨道半径r越大，v越小发射速度在地面上发射卫星的速度大于或等于km/s卫星的发射高度越高，发射速度越大宇宙速度实现某种效果所需的最小卫星发射速度km/skm/skm/s不同卫星发射要求不同(3)卫星的向心加速度a、地球表面的重力加速度g、在地球表面的物体随地球自转做匀速圆周运动的向心加速度a′的含义不同．①绕地球做匀速圆周运动的卫星的向心加速度a，由Geq\f(Mm,r2)＝ma，得a＝eq\f(GM,r2)，其中r为卫星的轨道半径．②若不考虑地球自转的影响，地球表面的重力加速度为g＝eq\f(GM,R2)，其中R为地球的半径．③地球表面的物体随地球自转做匀速圆周运动的向心加速度a′＝ω2Rcosθ，其中ω、R分别是地球的自转角速度和半径，θ是物体所在位置的纬度值．(多选)已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G，有关同步卫星，下列表述正确的是()A．卫星距地面的高度为eq\r(3,\f(GMT2,4π2))B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度C．卫星运行时受到的向心力大小为Geq\f(Mm,R2)D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度【解析】对同步卫星有万有引力提供向心力Geq\f(Mm,R＋h2)＝m(R＋h)eq\f(4π2,T2)，所以h＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))－R，A错误；第一宇宙速度是最大的环绕速度，B正确；同步卫星运动的向心力等于万有引力，应为F＝eq\f(GMm,R＋h2)，C错误；同步卫星的向心加速度为a同＝eq\f(GM,R＋h2)，地球表面的重力加速度a表＝eq\f(GM,R2)，知a表>a同，D正确．【答案】BD双星问题1.双星众多的天体中如果有两颗恒星，它们靠得较近，在万有引力作用下绕着它们连线上的某一点共同转动，这样的两颗恒星称为双星．2．双星问题特点如图3­2所示为质量分别是m1和m2的两颗相距较近的恒星．它们间的距离为L.此双星问题的特点是：图3­2(1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点；(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供；(3)两星的运动周期、角速度相同；(4)两星的运动半径之和等于它们间的距离，即r1＋r2＝L.3．双星问题的处理方法双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2，由此得出：(1)m1r1＝m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比．(2)由于ω＝eq\f(2π,T)，r1＋r2＝L，所以两恒星的质量之和m1＋m2＝eq\f(4π2L3,GT2).宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动而不会因万有引力的作用吸引到一起．(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比．(2)设两者的质量分别为m1和m2，两者相距L，试写出它们角速度的表达式．【解析】(1)证明：两天体绕同一点做匀速圆周运动的角速度ω一定相同．它们做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，所以两天体与它们的圆心总是在一条直线上．设两者的圆心为O点，轨道半径分别为R1和R2，如图所示．对两天体，由万有引力定律可分别列出Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2R1 ①Geq\f(m1m2,L2)＝m2ω2R2 ②所以eq\f(R1,R2)＝eq\f(m2,m1)，所以eq\f(v1,v2)＝eq\f(R1ω,R2ω)＝eq\f(R1,R2)＝eq\f(m2,m1)，即它们的轨道半径、线速度之比都等于质量的反比．(2)由①②两式相加得Geq\f(m1＋m2,L2)＝ω2(R1＋R2) ③因为R1＋R2＝L，所以ω＝eq\r(\f(Gm1＋m2,L3)).【答案】(1)见解析(2)ω＝eq\r(\f(Gm1＋m2,L3))1．关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是()A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律【解析】开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，选项A错误，选项B正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选项C错误；牛顿发现了万有引力定律，选项D错误．【答案】B2．利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为()【导学号：35390053】A．1h B．4hC．8h D．16h【解析】万有引力提供向心力，对同步卫星有：eq\f(GMm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)，整理得GM＝eq\f(4π2r3,T2)当r＝地时，T＝24h若地球的自转周期变小，轨道半径最小为2R地三颗同步卫星A、B、C如图所示分布则有eq\f(4π2地3,T2)＝eq\f(4π22R地3,T′2)解得T′≈eq\f(T,6)＝4h，选项B正确．【答案】B3．若在某行星和地球上相对于各自水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶eq\r(7).已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R，由此可知，该行星的半径约为()\f(1,2)R \f(7,2)RC．2R \f(\r(7),2)R【解析】物体平抛时水平方向满足x＝v0t，所以eq\f(t1,t2)＝eq\f(x1,x2)＝eq\f(2,\r(7))；竖直方向由h＝eq\f(1,2)gt2得g＝eq\f(2h,t2)，因此eq\f(g1,g2)＝eq\f(t\o\al(2,2),t\o\al(2,1))＝eq\f(7,4).在星球表面物体所受的重力等于万有引力，由g＝eq\f(GM,R2)得eq\f(R1,R2)＝eq\r(\f(M1g2,M2g1))＝2，又因为R2＝R，所以R1＝2R，故选C.【答案】C4．(多选)如图3­3所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有()图3­3A．TA＞TB B．EkA＞EkBC．SA＝SB \f(R\o\al(3,A),T\o\al(2,A))＝eq\f(R\o\al(3,B),T\o\al(2,B))【解析】已知不同高度处的卫星绕地球做圆周运动，RA＞RB.根据eq\f(R3,T2)＝k知，TA＞TB，选项A、D正确；由eq\f(GMm,R2)＝meq\f(v2,R)知，运动速率v＝eq\r(\f(GM,R))，由RA＞RB，得vA＜vB，则EkA＜EkB，选项B错误；根据开普勒第二定律知，同一卫星绕地球做圆周运动，与地心连线在单位时间内扫过的面积相等，对于不同卫星，SA不一定等于SB，选项C错误．【答案】AD5．我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接．假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是()图3­4A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接【解析】飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A错误；同理，空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室做近心运动，也不能实现对接，选项B错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可实现对接，选项C正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D错误．【答案】C我还有这些不足：(1)