高中数学人教A版第二章点直线平面之间的位置关系单元测试 获奖作品

第二章点、直线、平面之间的位置关系章末归纳提升点、线、面的位置关系空间中直线与直线的位置关系包括相交、平行和异面三种位置关系，其中异面直线的判断是学习的重难点之一；空间中直线与平面的位置关系包括直线在平面内、直线与平面平行及直线与平面相交三种位置关系，其中直线与平面相交及直线与平面平行统称为直线在平面外，这是本章学习的易错点之一；空间中平面与平面具有相交、平行两种位置关系．另外学习中应体会公理1、2、3、4在处理点、线、面位置关系中的作用，掌握好“点共线”、“线共点”等问题的求解策略．如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)EG与HF的交点在直线AC上．【思路点拨】(1)利用三角形的中位线性质及公理4证明EF∥GH便可．(2)先证明EG与HF相交，再说明交点落在平面ABC与平面ACD的交线上．【规范解答】(1)∵BG∶GC＝DH∶HC，∴GH∥BD.∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，G，H四点共面．(2)∵G，H不是BC，CD的中点，∴EF∥GH，且EF≠GH，故EFHG为梯形．∴EG与FH必相交，设交点为M，而EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD，∴M∈平面ABC，且M∈平面ACD.又∵平面ABC∩平面ACD＝AC，∴M∈AC，即GE与HF的交点在直线AC上．正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M.求证：点C1、O、【证明】如图，因为A1A∥C1C，所以直线A1A，C1C确定平面因为O∈A1C，A1C⊂平面A1C，所以O∈平面因为平面BC1D∩直线A1C＝O，所以O∈平面BC1D所以O在平面A1C与平面BC1D因为AC∩BD＝M，所以M∈平面BC1D，且M∈平面A1C所以平面BC1D∩平面A1C＝C1M.所以O∈C1M.即O、C1、空间中的平行关系在本章中，空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透．在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理．特别注意，转化的方法总是由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律．如下图所示是平行关系相互转化的示意图．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．【思路点拨】假设存在满足条件的点F，由于平面AFC∥平面PMD，且平面AFPM与平面AFC、平面PMD分别交于直线AF、PM，则必有AF∥PM，又PB＝2MA，则点F是PB的中点．【规范解答】当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图连接AC和BD交于点O，连接FO，那么PF＝eq\f(1,2)PB.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点．∴OF∥PD.又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，∴OF∥平面PMD.又MA綊eq\f(1,2)PB，∴PF綊MA.∴四边形AFPM是平行四边形．∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD.∴AF∥平面PMD.又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC.∴平面AFC∥平面PMD.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点．求证：平面EB1D1∥平面FBD.【证明】如图，取BB1的中点G，连接EG，GC1.∵AC1是正方体，∴四边形EGC1D1是平行四边形，∴C1G∥ED1又∵四边形GBFC1是平行四边形，∴C1G∥BF，所以ED1∥BF∵ED1⊄平面FBD，BF⊂平面FBD，∴ED1∥平面FBD.又∵B1D1∥BD，∴B1D1∥平面FDB，且ED1∩B1D1＝D1，∴平面EB1D1∥平面FBD.空间中的垂直关系在本章中，空间中的垂直关系包括线与线的垂直、线与面的垂直及面与面的垂直，三种垂直关系是本章内容的核心，学习时要突出三者间的互化意识．如在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不存在，则可通过作辅助线来解决．如有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直．如图所示，在斜三棱柱A1B1C1­ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝求证：截面MBC1⊥侧面BB1C【思路点拨】(1)由面面垂直的性质可证．(2)先证明C1N⊥侧面BB1C1C，再证截面MBC1⊥侧面【规范解答】(1)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥侧面BB1C1C.∴(2)延长B1A1与BM交于点N，连接C1N.∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1∵A1C1＝A1N＝A1B1，∴C1N⊥B1C1，∴C1N⊥侧面BB∴截面MBC1⊥侧面BB1C如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点．(1)求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB；(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．【解】(1)证明：在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD.平面PAD∩平面ABCD＝AD.所以BG⊥平面PAD.(2)证明：连接PG，因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，得PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝⊂平面PGB，BG⊂平面PGB.所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.(3)解当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.取PC的中点F，连接DE、EF、DF，在△PBC中，FE∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB，由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD.所以平面DEF⊥平面ABCD.空间角的求法1.空间中的角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角．空间角的题目一般都是各种知识的交汇点，因此，它是高考重点考查的内容之一，应引起足够重视．2．求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)．3．求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)．4．二面角的平面角的作法常有三种：(1)定义法；(2)垂线法；(3)垂面法．如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成角的度数；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．【思路点拨】先找出(或作出)空间角的平面角，再用解三角形的办法求其大小．【规范解答】(1)∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.∵OC⊥OB，AB⊥平面BCC′B′，∴OC⊥AB且AB∩BO＝B.∴OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝eq\f(\r(2),2)，AC＝eq\r(2)，sin∠OAC＝eq\f(OC,AC)＝eq\f(1,2)，∴∠OAC＝30°，即AO与A′C′所成角的度数为30°.(2)如图，作OE⊥BC于E，连接AE，∵平面BCC′B′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．在Rt△OAE中，OE＝eq\f(1,2)，AE＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)，∴tan∠OAE＝eq\f(OE,AE)＝eq\f(\r(5),5).(3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，∴OC⊥平面AOB.又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC，即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.AB⊥平面BCD，CD⊥CB，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB＝BC.(1)求AD与平面ABC所成角的大小；(2)求二面角C—AD—B的余弦值．【解】(1)如图所示，∵AB⊥平面BCD，∴∠ADB＝30°.∵DC⊥CB，AB⊥CD，∴DC⊥平面ABC，设AB＝BC＝a，则AC＝eq\r(2)a，BD＝eq\r(3)a，AD＝2a，在Rt△ACD中，cos∠CAD＝eq\f(AC,AD)＝eq\f(\r(2)a,2a)＝eq\f(\r(2),2).∴∠CAD＝45°.即AD与平面ABC所成的角为45°.(2)取AD的中点E，连接CE.∵△ACD为等腰直角三角形，AD为斜边，∴CE⊥AD.又AB⊥平面BCD，AB⊂平面ABD.∴平面BCD⊥平面ABD，过点C作CF⊥BD于F，∴CF⊥平面ABD.连接EF，则EF⊥AD，则∠CEF为二面角C—AD—B的平面角，在Rt△CEF中，CE＝eq\f(1,2)AD＝a，EF＝a·tan30°＝eq\f(\r(3),3)a.∴cos∠CEF＝eq\f(EF,CE)＝eq\f(\r(3),3).即二面角C－AD－B的余弦值为eq\f(\r(3),3).等价转化思想通过添加辅助线或面，将空间几何问题转化为平面几何问题，这是一种降维转化思想．线线、线面、面面的位置关系可以相互转化，使它们建立联系，揭示本质．点面距、线面距、面面距、点线距之间也可相互转化．例如求点面距时，可沿平行线平移，找到一个合适的点求点面距离，这就体现了“点面距→线面距→点面距”的转化思想．如图所示，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝2eq\r(3)，沿对角线BD将△ABD折起，使点A移至点P，P在平面BCD内的射影为O，且O在DC上．(1)求证：PD⊥PC；(2)求二面角P－DB－C的平面角的余弦值．【思路点拨】(1)证明PD⊥PC，可以转化为证线面垂直．(2)求二面角时，一般是在棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作棱的垂线，两垂线的夹角即为二面角．但这里我们可转化为求两个面积的比，即求eq\f(S△BOD,S△PBD)，求得的值即为所求二面角的余弦值．【规范解答】(1)P在平面BCD内的射影为O，则PO⊥平面BCD，∵BC⊂平面BCD，∴PO⊥BC.∵BC⊥CD，CD∩PO＝O，∴BC⊥平面PCD.∵DP⊂平面PCD，∴BC⊥DP.又∵DP⊥PB，PB∩BC＝B，∴DP⊥平面PBC.而PC⊂平面PBC，∴PD⊥PC.(2)△PBD在平面BCD内的射影为△OBD，且S△PBD＝eq\f(1,2)×6×2eq\r(3)＝6eq\r(3)，S△OBD＝S△CBD－S△BOC＝6eq\r(3)－eq\f(1,2)×2eq\r(3)×OC.在Rt△DPC中，PC2＝DC2－DP2＝24.设OC＝x，则OD＝6－x，∴PC2－OC2＝DP2－DO2，即24－x2＝12－(6－x)2.解得x＝4.∴S△BOD＝6eq\r(3)－4eq\r(3)＝2eq\r(3).过点P作PQ⊥DB，连接OQ，则DB⊥平面OPQ，∴∠OQP即为二面角P－DB－C的平面角，∴cos∠OQP＝eq\f(S△BOD,S△PBD)＝eq\f(2\r(3),6\r(3))＝eq\f(1,3).如图所示，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2eq\r(2)，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD＝G.(1)求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；(2)求点D1到平面B1EF的距离．【解】(1)证明：连接AC.∵正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是正方形，∴AC⊥BD.又AC⊥DD1，且BD∩DD1＝D，故AC⊥平面BDD1B1，∵E，F分别为棱AB，BC的中点，故EF∥AC，∴EF⊥平