高中数学人教B版第二章数列 学业分层测评9

学业分层测评(九)等差数列的性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2023·汉口高二检测)下列说法中正确的是()A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2【解析】不妨设a＝1，b＝2，c＝3.A选项中，a2＝1，b2＝4，c2＝9，显然a2，b2，c2不成等差数列．B选项中，log21＝0，log22＝1，log23>1，显然log2a，log2b，log2C选项中，a＋2＝3，b＋2＝4，c＋2＝5，显然a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．D选项中，2a＝2,2b＝4,2c＝8，显然2a,2【答案】C2．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0()A．无实根 B．有两个相等实根C．有两个不等实根 D.不能确定有无实根【解析】由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，而3a5＝9，∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，无解．【答案】A3．设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝()【导学号：33300052】A．0 B．37C．100 D.－37【解析】设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0.∴c37＝100.【答案】C4．若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝()A．39 B．20C． 【解析】由等差数列的性质，得a1＋a4＋a7＝3a4a2＋a5＋a8＝3a5a3＋a6＋a9＝3a6又3a5×2＝3a4＋3a6，解得3a6＝33，即a3＋a6＋a9＝33.【答案】D5．目前农村电子商务发展取得了良好的进展，若某家农村网店从第一个月起利润就成递增等差数列，且第2个月利润为2500元，第5个月利润为4000元，第m个月后该网店的利润超过5000元，则m＝()A．6 B．7C．8 【解析】设该网店从第一月起每月的利润构成等差数列{an}，则a2＝2500，a5＝4000.由a5＝a2＋3d，即4000＝2500＋3d，得d＝500.由am＝a2＋(m－2)×500＝5000，得m＝7.【答案】B二、填空题6．(2023·广东高考)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.【解析】因为等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，所以5a5＝25，即a5＝5.所以a2＋a8＝2a5＝10.【答案】107．若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差分别为d1和d2，则eq\f(d1,d2)的值为________．【解析】n－m＝3d1，d1＝eq\f(1,3)(n－m)．又n－m＝4d2，d2＝eq\f(1,4)(n－m)．∴eq\f(d1,d2)＝eq\f(\f(1,3)n－m,\f(1,4)n－m)＝eq\f(4,3).【答案】eq\f(4,3)8．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．【解析】不妨设角A＝120°，c<b，则a＝b＋4，c＝b－4，于是cos120°＝eq\f(b2＋b－42－b＋42,2bb－4)＝－eq\f(1,2)，解得b＝10，所以S＝eq\f(1,2)bcsin120°＝15eq\r(3).【答案】15eq\r(3)三、解答题9．已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4【解】∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，∴a4＝5.又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.10．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数.【导学号：33300053】【解】设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d>0，∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.[能力提升]1．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a101>0 B．a2＋a101<0C．a3＋a99＝0 ＝51【解析】根据性质得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以a51＝0，又因为a3＋a99＝2a51＝0，故选C.【答案】C2．(2023·郑州模拟)在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－eq\f(1,3)a11的值为()A．14 B．15C．16 【解析】设公差为d，∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，∴5a8＝120，a8＝24，∴a9－eq\f(1,3)a11＝(a8＋d)－eq\f(1,3)(a8＋3d)＝eq\f(2,3)a8＝16.【答案】C3．数列{an}中，a1＝1，a2＝eq\f(2,3)，且eq\f(1,an－1)＋eq\f(1,an＋1)＝eq\f(2,an)，则an＝________.【解析】因为eq\f(1,an－1)＋eq\f(1,an＋1)＝eq\f(2,an)，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))为等差数列，又eq\f(1,a1)＝1，公差d＝eq\f(1,a2)－eq\f(1,a1)＝eq\f(3,2)－1＝eq\f(1,2)，所以通项公式eq\f(1,an)＝eq\f(1,a1)＋(n－1)d＝1＋(n－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(n＋1,2)，所以an＝eq\f(2,n＋1).【答案】eq\f(2,n＋1)4．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？【解】设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{cn}，c1＝11，又等差数列5,8,11，…的通项