讲义案例讲稿

组合数学中的计数原理一 组合数学中的著名问二 排＝8，＝3，玩家一共可以填出的3匹马号的排列数为如果在个元素中取出个元素进行排列，这个元素可以重复出现，那么排列数则有如下公式83=三 组四 要点考注意:0!=1; =𝐴𝑘+ ;𝐴𝑘=

𝐴𝑘 (n−

𝐶𝑘 两个公式：①𝐶𝑘 ②𝐶𝑘+𝐶𝑘−1

𝑘!(n− 五 典型例题140404组进行单循环赛，第二轮由各组的前两名再进行单3、（交大）2005!的末尾有连 个4、某公司欲在某一条街一侧的6个灯箱中任意布置5个不同的，中间包括一个特定的公益。如果要求其中有两个灯箱必须布置这个公益，则公司恰好将公益布置在两个相邻的灯箱中的方法种数为。79名翻译中，6名懂英语，453人担任英语翻译，2人担任日语①1,3,5,7,9,

数学归纳法②1,2,6,15,31,一 数学归纳法的一般形式（此章适合复旦班，华约班，名校班例1.1证明：在2n2n的正方形格子中，任意挖去一个格子，余下的部分均可用及其旋转的四种图形覆盖，1.2an,满足a3a3a3aaa)2,求a 第二归纳法的其他形式（第三归纳法1.3若数列an满足a15,a212，且对一切正整数n，an25an16an，求an的通项公将质数从小到大编号,2算作第一个质数，3算作第二个，依次类推，求证:n个质数参加过一次比试，试求n所有可能的值（2012年华约自主招生试题）二 数学归纳法的其他形式（此讲义适合华约班、名校班例2.1设a,a,...a是n个整数，求证 a1a2...an(均值不等式的证明

na1a2 例2.2数列Fn满足:F11,F21,Fn2Fn1Fn(n )，证明F2F2

(nmn!(m函数f:NN具有如下性质:（1）f(2)2 (2)对任意的正整数m,n，f(mn)f(m)f(n) 正整数m,n，mn，有f(m)f(n) 证明:f(n)n数列ana

3l2,a2l

1l(4l23l2l

,S

1l(4l23l1)f(mn满足:f(mnf(mn1)f(m1,nmnmn2f(1,nf(m,1mnN，证明:f(mnk①an:a11,ak1ak

数列递归方法②an:a14,a27,an16an③aa2 an 2an一、 №1.线性递归型数列（本讲适合复旦班，华约班）k阶线性递归数列:nk阶线性递归数列例1.1已知数列a满足：a2，a2 2,求a的通项公 3 不动点: 1.2已知数列ana12,a24，以及递推关系:an24an1一．求证an例1.3已知数列a满足ats,ats2,ats3，且有递推关系: qa,求证:at 1.4问什么样的等比数列xn，才能满足xn2pxn1qxn呢?(假设pq给定1.5求证:假设等比数列xnyn均满足递推xn2pxn1qxn，则数列an=xnyn也满足递推关系an2pan1qan 特征方程：二阶线性递推数列an2pan1qan,以及给定a1a2的统一求法 (1)若特征方程有两个不同的根xxnyyna 1.6若数列an满足a15a212，且对一切正整n，an25an16an，求an

xny)nxyaa 1.7.已知数列an满足:an26an19an,a16,a254,求an的通1.810n阶楼梯的不*高阶其次线性递推数列的求法1.9设数列an满足通项公式：3an34an2an12an，且a1a21a32，求数列an的通项公式已知数列a满足递推关系:a1, 3a2n24n4(n=1,2...)，求数列a的通项公式 a2已知数列an满足a1a21，an ，求数列an的通项公式已知数列a定义如下：a1， 1(14a )，求数列a的通项公式.并求出a的极

(2 3)n(2证明:对(2 3)n(22设数列ab满足a1b0,an17an6bn3，求证a的每一项均为某个整数的平方

8a7b *№2分式型递归数列（本讲适合华约班）1一阶分式型递推数列 axnb以及给定a的统一求法1

cxn 2a nnn 7an9,(n1,2,...)，求数列a的通项公n a 不等一 基本不等aabbab,bcaabab0（作差法ab0a1（作商法babaccb（三角不等式nna1a2 调和平均数:Hn

1

...

aa...算术平均数：An 2

a 2 nHGAQaaa 2 n n 记两列数分别是a,b，则有n

ab

i f 为上凸函数（满 fx1fx2fx1x2 ）， f(x1x2...xn)f(x1)f(x2)...f(xn f(a1x1a2x2...anxn)a1f(x1)a2f(x2)...anf(xn ai 二 例题精 求证：xmnymnxmynxnym，其中x,y0,m,n1a 求证 (a 求证：x4y4z4x2y2y2z2z2x2xyzxyz，其中x,y,z01【例4 4

形的三条边的边长，令u=111且

A. B. C. 已知x,y0，x2y1，

a,b,c0且abc1，证明abbcca6】求sin3cos3x22x5 x22x5 x24xgx求fx的最小gx的最大 【例8】求证：1 ... 91*3*5*7...*992*4*6 三 练 1Cauchy(a2)(b2)

i 2、已知aaa...a1，求证 a a a 3M0,NnN1k1复 关于复数的模运算，最显然的做法是设出z=a+bi然后z 2Rez=1z+z22Imz=1zz2z2 A． 二 复数的几何意a 在复平面中，一个复数对应平面上的一个向量。即z=a+bi对应ab，那么arctanbargz由此引申a 1 1 计算arctan arcsin argzRezImzzz0zz1zzz1z

写出下面式子代表的z1z2z3z4的几何关系z

z4 1 z3

z4 n P,P,....P是平面上的n个点，求点A，使得PA2达到最小值n i三 多项式与单位 求C0+C3+C6 【例6 （千分考2011.135）设有复数ω1=−1+√3i，ω2=cos2𝜋+isin2𝜋，令ω=ω1ω2，则复数 四 练1A1A2A3A4是圆内接四边形，H1H2H3H4A2A3A4A1A3A4A1A2A4