高中物理人教版(2023)必修第二册第六章圆周运动1圆周运动（市一等奖）

圆周运动[学习目标]1.掌握线速度的定义式，理解圆周运动线速度大小、方向的特点，知道什么是匀速圆周运动.2.掌握角速度的定义式和单位.3.知道周期、转速的概念.4.掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系．一、线速度1．定义：物体做圆周运动，在一段很短的时间Δt内，通过的弧长为Δs，则Δs与Δt的比值叫作线速度，公式：v＝eq\f(Δs,Δt).2．意义：描述做圆周运动的物体运动的快慢．3．方向：物体做圆周运动时该点的切线方向．4．匀速圆周运动(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动．(2)性质：匀速圆周运动的线速度方向是在时刻变化的，所以它是一种变速运动，这里的“匀速”是指速率不变．二、角速度1．定义：连接物体与圆心的半径转过的角度与转过这一角度所用时间的比值叫作角速度，公式：ω＝eq\f(Δθ,Δt).2．意义：描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢．3．单位：弧度每秒，符号是rad/s，在运算中角速度的单位可以写为s－1.4．匀速圆周运动是角速度不变的运动．三、周期1．周期T：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间，单位：秒(s)．2．转速n：物体转动的圈数与所用时间之比．单位：转每秒(r/s)或转每分(r/min)．3．周期和转速的关系：T＝eq\f(1,n)(n的单位为r/s时)．四、线速度与角速度的关系1．在圆周运动中，线速度的大小等于角速度的大小与半径的乘积．2．公式：v＝ωr.1．判断下列说法的正误．(1)做匀速圆周运动的物体，相同时间内位移相同．(×)(2)做匀速圆周运动的物体，其线速度大小不变．(√)(3)匀速圆周运动是一种匀速运动．(×)(4)做匀速圆周运动的物体，其角速度不变．(√)(5)做匀速圆周运动的物体，周期越大，角速度越小．(√)2.如图1所示，转笔深受广大中学生的喜爱．某一时刻，笔绕手指上的某一点O做匀速转动，OA∶OB＝1∶2，设A、B线速度大小分别为vA和vB，角速度大小分别为ωA和ωB，则vA∶vB＝________，ωA∶ωB＝________.图1答案1∶21∶1一、描述圆周运动的物理量导学探究如图2所示，A、B为自行车车轮辐条上的两点，当它们随轮一起转动时：图2(1)A、B两点的速度方向各沿什么方向？(2)如果B点在任意相等的时间内转过的弧长相等，B做匀速运动吗？(3)A、B两点哪个运动得快？哪个转动得快？答案(1)A、B两点的速度方向均沿各自圆周在该点的切线方向．(2)B运动的方向时刻变化，故B做变速运动．(3)B运动得快．A、B转动得同样快．知识深化1．对匀速圆周运动的理解(1)由于匀速圆周运动是曲线运动，其速度方向沿着圆周上各点的切线方向，所以速度的方向时刻在变化．(2)匀速的含义：速度的大小不变，即速率不变．(3)运动性质：匀速圆周运动是一种变速运动，其所受合外力不为零．2．描述圆周运动的物理量及其关系(多选)对于做匀速圆周运动的物体来说，不变的物理量是()A．周期 B．速率C．角速度 D．线速度答案ABC解析匀速圆周运动中，线速度的大小不变，但方向变化，所以速率不变，线速度是变化的，周期、频率、角速度都是不变的，选项A、B、C正确，D错误．做匀速圆周运动的物体，10s内沿半径为20m的圆周运动了100m，试求物体做匀速圆周运动时：(1)线速度的大小；(2)角速度；(3)周期．答案(1)10m/s(2)rad/s(3)4πs解析(1)根据线速度的定义式v＝eq\f(Δs,Δt)可得v＝eq\f(100,10)m/s＝10m/s；(2)根据v＝ωr可得，ω＝eq\f(v,r)＝eq\f(10,20)rad/s＝rad/s；(3)T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,s＝4πs.针对训练(多选)A、B两个质点分别做匀速圆周运动，在相同的时间内它们通过的路程之比为sA∶sB＝2∶3，转过的角度之比ΔθA∶ΔθB＝3∶2，则下列说法正确的是()A．它们的运动半径之比rA∶rB＝2∶3B．它们的运动半径之比rA∶rB＝4∶9C．它们的周期之比TA∶TB＝2∶3D．它们的转速之比nA∶nB＝2∶3答案BC解析A、B两个质点在相同的时间内通过的路程之比为2∶3，即通过的弧长之比为2∶3，所以vA∶vB＝2∶3，在相同的时间内转过的角度之比ΔθA∶ΔθB＝3∶2，根据ω＝eq\f(Δθ,Δt)得ωA∶ωB＝3∶2，又v＝ωr，所以rA∶rB＝4∶9，选项A错误，B正确；根据T＝eq\f(2π,ω)知，TA∶TB＝ωB∶ωA＝2∶3，选项C正确；转速是单位时间内物体转过的圈数，即n＝eq\f(1,T)，所以nA∶nB＝TB∶TA＝3∶2，选项D错误．二、圆周运动的传动问题同轴转动皮带传动齿轮传动装置A、B两点在同轴的一个圆盘上两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点两个齿轮啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点特点角速度、周期相同线速度大小相等线速度大小相等规律线速度大小与半径成正比：eq\f(vA,vB)＝eq\f(r,R)角速度与半径成反比：eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(r,R)角速度与半径成反比：eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(R,r)如图3所示，rA＝3rB＝3rC，则：图3(1)vA∶vB＝________，ωA∶ωB＝________.(2)ωA∶ωC＝________，vA∶vC＝________.答案(1)1∶11∶3(2)1∶13∶1(多选)在如图4所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，则A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的()图4A．角速度之比为2∶1∶2B．线速度大小之比为1∶1∶2C．周期之比为1∶2∶2D．转速之比为1∶2∶2答案BD解析A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等；B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，则B、C两轮的角速度相等．a、b比较：va＝vb由v＝ωr得：ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2b、c比较：ωb＝ωc由v＝ωr得：vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2所以ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2va∶vb∶vc＝1∶1∶2，A错误，B正确；由ω＝2πn知，na∶nb∶nc＝1∶2∶2，D正确；T＝eq\f(1,n)，故Ta∶Tb∶Tc＝2∶1∶1，C错误．线速度与角速度之间关系的理解：由线速度大小v＝ωr知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝eq\f(1,r)；ω一定时，v∝r.三、圆周运动的周期性和多解问题1．问题特点(1)研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体．(2)运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动、匀速直线运动等)．(3)运动的关系：由于两物体运动的时间相等，根据等时性建立等式求解待求物理量．2．分析技巧(1)抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点．(2)先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律．如图5所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，不计空气阻力，重力加速度为g，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度v及圆盘转动的角速度ω的大小．图5答案Req\r(\f(g,2h))2nπeq\r(\f(g,2h))(n＝1,2,3…)解析设球在空中运动时间为t，此时间内圆盘转过θ角，则R＝vt，h＝eq\f(1,2)gt2故初速度大小v＝Req\r(\f(g,2h))θ＝n·2π(n＝1,2,3…)又因为θ＝ωt则圆盘角速度大小ω＝eq\f(n·2π,t)＝2nπeq\r(\f(g,2h))(n＝1,2,3…)．1．(对匀速圆周运动的认识)(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是()A．相等的时间内通过的路程相等B．相等的时间内通过的弧长相等C．相等的时间内通过的位移相同D．在任何相等的时间内，连接物体和圆心的半径转过的角度都相等答案ABD解析匀速圆周运动是指速度大小不变的圆周运动，因此在相等时间内通过的路程相等，弧长相等，转过的角度也相等，故A、B、D正确；相等时间内通过的位移大小相等，方向不一定相同，故C错误．2．(描述圆周运动各物理量的关系)(多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4m/s，转动周期为2s，下列说法正确的是()A．角速度为rad/s B．转速为r/sC．运动轨迹的半径为eq\f(4,π)m D．频率为Hz答案BCD解析由题意知v＝4m/s，T＝2s，根据角速度与周期的关系可知ω＝eq\f(2π,T)＝πrad/s；由v＝ωr得r＝eq\f(v,ω)＝eq\f(4,π)m；由T＝eq\f(1,n)得转速n＝eq\f(1,T)＝eq\f(1,2)r/s＝r/s；又由频率与周期的关系得f＝eq\f(1,T)＝Hz.故A错误，B、C、D正确．3．(传动问题)(多选)如图6为皮带传动装置，主动轴O1上有两个半径分别为R和r的轮，O2上的轮半径为r′，已知R＝2r，r′＝eq\f(2,3)R，设皮带不打滑，则()图6A．ωA∶ωB＝1∶1 B．vA∶vB＝1∶1C．ωB∶ωC＝1∶1 D．vB∶vC＝1∶1答案AD解析A、B两点角速度相同，则ωA∶ωB＝1∶1，A正确；由v＝ωr知eq\f(vA,vB)＝eq\f(r,R)＝eq\f(1,2)，B错误；B、C两点线速度相同，则vB∶vC＝1∶1，D正确；由ω＝eq\f(v,r)知eq\f(ωB,ωC)＝eq\f(r′,R)＝eq\f(2,3)，C错误．4.(圆周运动的周期性)(多选)如图7所示，直径为d的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动．一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，设子弹射穿圆筒时速度大小不改变，空气阻力不计，重力加速度为g，则()图7A．子弹在圆筒中的水平速度为v0＝deq\r(\f(g,2h))B．子弹在圆筒中的水平速度为v0＝2deq\r(\f(g,2h))C．圆筒转动的角速度可能为ω＝2πeq\r(\f(g,2h))D．圆筒转动的角速度可能为ω＝3πeq\r(\f(g,2h))答案AD解析由题意可知，子弹的运动过程为平抛运动，子弹穿过两个弹孔的水平速度为v0＝eq\f(d,t)，时间为t＝eq\r(\f(2h,g))，所以水平速度为v0＝deq\r(\f(g,2h))，故A正确，B错误；由子弹从右侧射穿圆筒后两弹孔在同一竖直线上可知子弹在圆筒中的运动时间是圆筒半个周期的奇数倍，即t＝eq\r(\f(2h,g))＝neq\f(π,ω)(n＝1,3,5…)，则转筒的角速度为ω＝nπeq\r(\f(g,2h))(n＝1,3,5…)，故C错误，D正确．考点一描述圆周运动的物理量及它们之间的关系1．(多选)质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是()A．因为v＝ωr，所以线速度大小v与轨道半径r成正比B．因为ω＝eq\f(v,r)，所以角速度ω与轨道半径r成反比C．因为ω＝2πn，所以角速度ω与转速n成正比D．因为ω＝eq\f(2π,T)，所以角速度ω与周期T成反比答案CD解析当ω一定时，线速度大小v才与轨道半径r成正比，所以A错误；当v一定时，角速度ω才与轨道半径r成反比，所以B错误；在用转速或周期表示角速度时，角速度与转速成正比，与周期成反比，所以C、D正确．2．甲沿着半径为R的圆周跑道匀速率跑步，乙沿着半径为2R的圆周跑道匀速率跑步，在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2和v1、v2，则()A．ω1>ω2，v1>v2 B．ω1<ω2，v1<v2C．ω1＝ω2，v1<v2 D．ω1＝ω2，v1＝v2答案C解析由于甲、乙在相同时间内各自跑了一圈，v1＝eq\f(2πR,t)，v2＝eq\f(4πR,t)，v1<v2.由t＝eq\f(2π,ω)，得ω1＝ω2，故选项C正确．3．(多选)火车以60m/s的速率驶过一段弯道，某乘客发现放在水平桌面上的指南针在10s内匀速转过了10°.在此10s时间内，火车()A．运动路程为600m B．加速度为零C．角速度约为1rad/s D．转弯半径约为km答案AD解析由s＝vt知，s＝600m，A正确；火车在弯道处做曲线运动，加速度不为零，B错误；由10s内匀速转过10°知，角速度ω＝eq\f(Δθ,Δt)＝eq\f(\f(10°,360°)×2π,10)rad/s＝eq\f(π,180)rad/s≈rad/s，C错误；由v＝rω知，r＝eq\f(v,ω)＝eq\f(60,\f(π,180))m≈km，D正确．4．(2023·济南市校级月考)某物理老师用圆规在黑板上画圆，已知圆规脚之间的距离是25cm，该老师使圆规脚之间保持这个距离不变，用粉笔在黑板上匀速率地画了一个圆，粉笔的线速度是m/s.关于粉笔的运动，有下列说法：①角速度是rad/s；②角速度是10rad/s；③周期是10s；④周期是s；⑤频率是10Hz；⑥频率是Hz；⑦转速小于2r/s；⑧转速大于2r/s.下列选项中的结果全部正确的是()A．①③⑤⑦ B．②④⑥⑧C．②④⑥⑦ D．②④⑤⑧答案C解析由题意知半径r＝25cm＝m，线速度v＝m/s，所以角速度ω＝eq\f(v,r)＝eq\f,rad/s＝10rad/s，①错误，②正确；周期T＝eq\f(2πr,v)＝πs≈s，③错误，④正确；频率f＝eq\f(1,T)≈Hz，⑤错误，⑥正确；转速n＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)＝eq\f(5,π)<2r/s，⑦正确，⑧错误，故C正确．考点二传动问题5.(2023·山东省实验中学期中)如图1所示是一个玩具陀螺．a、b和c是陀螺上的三个点．当陀螺绕垂直于水平地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是()图1A．a、b和c三点的线速度大小相等B．a、b和c三点的角速度相等C．a、b的角速度比c的大D．c的线速度比a、b的大答案B解析同一物体上的三点绕同一竖直轴转动，因此角速度相同，v＝ωr，c的半径最小，故它的线速度最小，a、b的半径相同，二者的线速度大小相等，故选B.6.(多选)如图2所示为一种齿轮传动装置，忽略齿轮啮合部分的厚度，甲、乙两个轮子的半径之比为1∶3，则在传动的过程中()图2A．甲、乙两轮的角速度之比为3∶1B．甲、乙两轮的周期之比为3∶1C．甲、乙两轮边缘处的线速度之比为3∶1D．甲、乙两轮边缘上的点相等时间内转过的弧长之比为1∶1答案AD解析这种齿轮传动，与不打滑的皮带传动规律相同，即两轮边缘的线速度大小相等，故C错误；根据线速度的定义v＝eq\f(Δs,Δt)可知，弧长Δs＝vΔt，故D正确；根据v＝ωr可知ω＝eq\f(v,r)，又甲、乙两个轮子的半径之比r1∶r2＝1∶3，故甲、乙两轮的角速度之比ω1∶ω2＝r2∶r1＝3∶1，故A正确；周期T＝eq\f(2π,ω)，所以甲、乙两轮的周期之比T1∶T2＝ω2∶ω1＝1∶3，故B错误．7．(多选)如图3所示为某一皮带传动装置，主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2，已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是()图3A．从动轮做顺时针转动B．从动轮做逆时针转动C．从动轮的转速为eq\f(r1,r2)nD．从动轮的转速为eq\f(r2,r1)n答案BC解析主动轮做顺时针转动，由皮带缠绕的方式知从动轮做逆时针转动，B正确，A错误；两轮边缘的线速度大小相等，由v＝rω，ω＝2πn可知，2πn·r1＝2πn′·r2，解得从动轮的转速n′＝eq\f(r1,r2)n，C正确，D错误．8.(2023·定州中学高一第二学期期末)变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度．图4是某一变速车齿轮传动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则下列选项正确的是()图4A．当B轮与C轮组合时，两轮边缘上的点的线速度之比vB∶vC＝7∶3B．当B轮与C轮组合时，两轮的周期之比TB∶TC＝3∶7C．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝1∶4D．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝4∶1答案C解析四个轮的半径比为rA∶rB∶rC∶rD＝48∶42∶18∶12＝8∶7∶3∶2；B轮与C轮组合时，vB＝vC，由ω＝eq\f(v,r)可得ωB∶ωC＝rC∶rB＝3∶7；TB∶TC＝ωC∶ωB＝7∶3，故A、B错误．A轮与D轮组合时，vA＝vD，ωA∶ωD＝rD∶rA＝2∶8＝1∶4，故C正确，D错误．9．(多选)如图5所示，静止在地球上的物体都要随地球一起转动，a是位于赤道上的一点，b是位于北纬30°的一点，则下列说法正确的是()图5A．a、b两点的运动周期相同B．a、b两点的角速度是不同的C．a、b两点的线速度大小相同D．a、b两点线速度大小之比为2∶eq\r(3)答案AD解析a、b两点随地球一起自转，故周期与地球自转周期相同，选项A正确；由ω＝eq\f(2π,T)可知，a、b两点的角速度相同，选项B错误；ra＝R赤，rb＝R赤cos30°，则ra∶rb＝2∶eq\r(3)，由v＝ωr可知，va∶vb＝2∶eq\r(3)，选项C错误，D正确．10.两个小球固定在一根长为L的杆的两端，绕杆上的O点做圆周运动，如图6所示．当小球1的速度大小为v1时，小球2的速度大小为v2，则O点到小球2的距离是()图6\f(Lv1,v1＋v2) \f(Lv2,v1＋v2)\f(Lv1＋v2,v1) \f(Lv1＋v2,v2)答案B解析两球在同一杆上，旋转的角速度相等，均为ω，设两球的转动半径分别为r1、r2，则r1＋r2＝L.又知v1＝ωr1，v2＝ωr2，联立得r2＝eq\f(Lv2,v1＋v2)，B正确．11.(多选)如图7所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来．a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的()图7A．线速度大小之比为3∶3∶2B．角速度之比为3∶3∶2C．转速之比为2∶3∶2D．周期之比为2∶3∶3答案AD解析A轮、B轮靠摩擦传动，边缘点线速度大小相等，故va∶vb＝1∶1，根据公式v＝rω，有ωa∶ωb＝3∶2，根据ω＝2πn，有na∶nb＝3∶2，根据T＝eq\f(2π,ω)，有Ta∶Tb＝2∶3；B轮、C轮是同轴转动，角速度相等，故ωb∶ωc＝1∶1，根据v＝rω，有vb∶vc＝3∶2，根据ω＝2πn，有nb∶nc＝1∶1，根据T＝eq\f(2π,ω)，有Tb∶Tc＝1∶1，联立可得va∶vb∶vc＝3∶3∶2，ωa∶ωb∶ωc＝3∶2∶2，na∶nb∶nc＝3∶2∶2，Ta∶Tb∶Tc＝2∶3∶3，故A、D正确，B、C错误．12.如图8所示，直径为d的纸制圆筒，以角速度ω绕中心轴匀速转动，把枪口对准圆筒轴线，使子弹穿过圆筒，结果发现圆筒上只有一个弹孔，忽略重力、圆筒的阻力及空气阻力，则子弹的速度不可能是()图8\f(dω,2π)\f(dω,3π)\f(dω,5π)\f(dω,7π)答案A解析圆筒上只有一个弹孔，说明子弹从同一孔射入、射出，子弹运动的时间t＝eq\f(d,v)，圆筒转过的角度θ＝2nπ＋π(n＝0,1,2，…)，而ω＝eq\f(θ,t)，联立可得v＝eq\f(ωd,2n＋1π)(n＝0,1,2…)，所以选项A不可能．13．一汽车发动机的曲轴每分钟转2400周，求：(1)曲轴转动的周期与角速度；(2)距转轴r＝m的点的线速度的大小．答案(1)eq\f(1,40)s80πrad/s(2)16πm/s解析(1)由于曲轴每秒转eq\f(2400,60)＝40(周)，即n＝40r/s，