高中数学高考二轮复习 名师获奖

2023年江西省南昌市十所省重点中学高考数学二模试卷（理科）（四）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）A．（1，2）B．[1，2]C．[1，2）D．（1，2]【考点】：对数函数的定义域；交集及其运算．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：解指数不等式求出集合A，求出对数函数的定义域即求出集合B，然后求解它们的交集．【解析】：解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x﹣1＞0得x＞1∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}故选D．【点评】：本题考查指数不等式的解法，交集及其运算，对数函数的定义域，考查计算能力．2．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为1，其中真命题为（）A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则可得：复数z=1+i，再利用复数的模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义即可判断出真假．【解析】：解：复数z===1+i的四个命题：p1：|z|=≠2，因此是假命题；p2：z2=（1+i）2=2i，是真命题；p3：z的共轭复数为1﹣i，是假命题；p4：z的虚部为1，是真命题．其中真命题为p2，p4．故选：C．【点评】：本题考查了复数的运算法则、复数的模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义、命题的真假判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）下列四个结论：①若x＞0，则x＞sinx恒成立；②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”；③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：阅读型；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】：令y=x﹣sinx，求出导数，判断单调性，即可判断①；由命题的逆否命题，先将体积、结论调换，再分别对它们否定，即可判断②；由命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真，即可判断③；由全称性命题的否定为存在性命题，即可判断④．【解析】：解：对于①，令y=x﹣sinx，则y′=1﹣cosx≥0，则有函数y=x﹣sinx在R上递增，则当x＞0时，x﹣sinx＞0﹣0=0，则x＞sinx恒成立．则①对；对于②，命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”，则②对；对于③，命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真，反之成立，则应为必要不充分条件，则③错；对于④，命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．则④对．综上可得，其中正确的叙述共有3个．故选C．【点评】：本题考查函数的单调性的运用，考查复合命题的真假和真值表的运用，考查充分必要条件的判断和命题的否定，属于基础题和易错题．4．（5分）如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是（）A．π+24B．π+20C．2π+24D．2π+20【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：该器皿的表面积可分为两部分：去掉一个圆的正方体的表面积s1和半球的表面积s2，即可求出该器皿的表面积．【解析】：解：该器皿的表面积可分为两部分：去掉一个圆的正方体的表面积s1和半球的表面积s2，s1=6×2×2﹣π×12=24﹣π，s2==2π，故s=s1+s2=π+24故选：A．【点评】：由三视图求表面积与体积，关键是正确分析原图形的几何特征．5．（5分）（2023•江西）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7B．9C．10D．11【考点】：程序框图．【专题】：算法和程序框图．【分析】：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根据条件确定跳出循环的i值．【解析】：解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．故选：B．【点评】：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．6．（5分）已知实数x，y满足，若目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．[2，3]D．[﹣1，3]【考点】：简单线性规划的应用．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，由z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，即当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，﹣2）时，取得最小值，利用数形结合确定m的取值范围．【解析】：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由目标函数z=﹣mx+y得y=mx+z，则直线的截距最大，z最大，直线的截距最小，z最小．∵目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，∴当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，﹣2）时，取得最小值，∴目标函数z=﹣mx+y的目标函数的斜率m满足比x+y=0的斜率大，比2x﹣y+6=0的斜率小，即﹣1≤m≤2，故选：A．【点评】：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，确定目标函数的斜率是解决本题的关键，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．7．（5分）对于函数f（x）=x3cos3（x+），下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数且在（）上递减B．f（x）是奇函数且在（）上递增C．f（x）是偶函数且在（）上递减D．f（x）是偶函数且在（）上递增【考点】：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】：探究型．【分析】：由题设条件知，可先化简函数解析式，再研究函数的性质，根据得出的函数的性质选出正确选项【解析】：解：f（x）=x3cos3（x+）=x3cos（3x+）=﹣x3sin3x由于f（﹣x）=﹣x3sin3x=f（x），可知此函数是偶函数，又x3与sin3x在（）上递增，可得f（x）=﹣x3sin3x在（）上递减，对照四个选项，C正确故选C【点评】：本题考查函数奇偶性与函数单调性的判断，解题的关键是熟练掌握函数奇偶性的判断方法与函数单调性的判断方法，除了用定义法判断之外，掌握一些基本函数的单调性，利用基本函数的单调性判断一些由这些基本函数组合的函数的性质可以方便解题8．（5分）（2023•甘肃二模）定义：在数列{an}中，若满足﹣=d（n∈N+，d为常数），称{an}为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{an}中，a1=a2=1，a3=3，则（）A．4×20232﹣1B．4×20232﹣1C．4×20232﹣1D．4×20232【考点】：进行简单的合情推理．【专题】：计算题；推理和证明．【分析】：确定=1+2（n﹣1）=2n﹣1，再代入，即可得出结论．【解析】：解：由题意，d==3﹣1=2，=1，∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，利用叠乘法可得==4×20232﹣1，故选：B．【点评】：本题考查新定义，考查数列通项的求解，解题的关键是对新定义的理解．9．（5分）设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）“凸函数“；已知f（x）=x4﹣x3﹣x2在（1，3）上为“凸函数”，则实数取值范围是（）A．（﹣∞，）B．[，5]C．（﹣∞，﹣2）D．[2，+∞）【考点】：利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的综合应用．【分析】：函数在区间（1，3）上为“凸函数”，所以f″（x）＜0，即对函数y=f（x）二次求导，转化为不等式问题解决即可；【解析】：解：∵f（x）=x4﹣x3﹣x2，∴f′（x）=x3﹣x2﹣3x，∴f″（x）=x2﹣mx﹣3，∵f（x）为区间（1，3）上的“凸函数”，则有f″（x）=x2﹣mx﹣3＜0在区间（1，3）上恒成立，∴，解得m≥2故选：D．【点评】：本题考查函数的导数与不等式恒成立问题的解法，关键是要理解题目所给信息（新定义），考查知识迁移与转化能力，属于中档题．10．（5分）在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．则不同的搜寻方案有（）A．40种B．70种C．80种D．100种【考点】：进行简单的合情推理．【专题】：计算题；推理和证明．【分析】：Grace不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；Grace参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，即可得出结论．【解析】：解：Grace不参与该项任务，则有=30种；Grace参与该项任务，则有=10种，故共有30+10=40种故选：A．【点评】：本题考查进行简单的合情推理，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．11．（5分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．【解析】：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+P1F1＞P1F2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）【点评】：本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P使得△F1F2P为等腰三角形，求椭圆离心率e的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．12．（5分）已知实数a，b，c，d满足==1其中e是自然对数的底数，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．8B．10C．12D．18第Ⅱ卷【考点】：两点间距离公式的应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：由已知得点（a，b）在曲线y=x﹣2ex上，点（c，d）在曲线y=2﹣x上，（a﹣c）2+（b﹣d）2的几何意义就是曲线y=x﹣2ex到曲线y=2﹣x上点的距离最小值的平方．由此能求出（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值．【解析】：解：∵实数a，b，c，d满足==1，∴b=a﹣2ea，d=2﹣c，∴点（a，b）在曲线y=x﹣2ex上，点（c，d）在曲线y=2﹣x上，（a﹣c）2+（b﹣d）2的几何意义就是曲线y=x﹣2ex到曲线y=2﹣x上点的距离最小值的平方．考查曲线y=x﹣2ex上和直线y=2﹣x平行的切线，∵y′=1﹣2ex，求出y=x﹣2ex上和直线y=2﹣x平行的切线方程，∴令y′=1﹣2ex=﹣1，解得x=0，∴切点为（0，﹣2），该切点到直线y=2﹣x的距离d==2就是所要求的两曲线间的最小距离，故（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为d2=8．故选：A．【点评】：本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．（5分）已知向量=（1，），=（3，m）．若向量在方向上的投影为3，则实数m=．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：由投影的定义即得，所以得到，解出m即可．【解析】：解：根据投影的概念：；∴．故答案为：．【点评】：考查投影的概念，两向量夹角余弦公式的坐标运算，数量积的坐标运算，根据向量坐标求其长度．14．（5分）已知a=2cos（x+）dx，则二项式（x2+）5的展开式中x的系数为﹣80．【考点】：定积分；二项式定理的应用．【专题】：计算题．【分析】：根据定积分的运算法则求出a的值，再根据二项式定理的公式，求出一次项的系数；【解析】：解：∵a=2cos（x+）dx=2sin（x+）=2sin（）﹣2sin=﹣2，∴二项式（x2+）5=（x2﹣）5，∴Tr+1==，令10﹣3r=1，可得r=3，∴二项式（x2+）5的展开式中x的系数=﹣80；故答案为：﹣80；【点评】：此题主要考查定积分的运算法则和二项式定理的应用，是一道综合题，比较简单；15．（5分）对于集合{a1，a2，…，an}和常数a0，定义：为集合{a1，a2，…，an}相对a0的“正弦方差”，则集合相对a0的“正弦方差”为．【考点】：三角函数的化简求值．【专题】：计算题；压轴题；新定义．【分析】：先根据题意表示出正弦方差μ，进而利用二倍角公式把正弦的平方转化成余弦的二倍角，进而利用两角和公式进一步化简整理，求得结果即可．【解析】：解：因为集合相对a0的“正弦方差”，W======故答案为：．【点评】：本题主要考查了三角函数中二倍角，两角和公式的应用．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．16．（5分）已知动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上运动，且PA=r（0＜r＜），记点P的轨迹长度为f（r）给出以下四个命题：①f（1）=π②f（）=π③f（）=π④函数f（r）在（0，1）上是增函数，f（r）在（，）上是减函数其中为真命题的是①④（写出所有真命题的序号）【考点】：棱柱的结构特征．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由题意画出图形并得出相应的解析式，画出其图象，经过讨论即可得出答案．【解析】：解：如图所示：①当0＜r≤1时，f（r）=3××r=r，f（）=，．此时，由一次函数的单调性可得：0＜f（r）≤＜5，②当1＜r≤时，在平面ABCD内，设以点A为圆心，r为半径的圆弧与BC、CD分别交于点E、F，则cos∠DAF=，∠EAF=﹣2∠DAF，∴cos∠EAF=sin2∠DAF=2=，cos∠EAG=，∴f（r）=3rarccos+3rarccos；③当＜r≤时，∵CM=，∴，∴cos∠MAN==，∴f（r）=3rarccos，综上，当0＜r≤1时，f（r）=r，当1＜r≤时，f（r）=3rarccos+3rarccos；当＜r≤时，f（r）=3rarccos，故只有①④正确．故答案为：①④．【点评】：熟练掌握数形结合、分类讨论的思想方法、数形结合的思想方法是解题的关键．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对应边分别是a，b，c满足b2+c2=bc+a2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知等差数列{an}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和Sn．【考点】：数列的求和；等比数列的性质；余弦定理．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）由已知条件推导出=，所以cosA=，由此能求出A=．（Ⅱ）由已知条件推导出（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d≠0，由此能求出an=2n，从而得以==，进而能求出{}的前n项和Sn．【解析】：解：（Ⅰ）∵b2+c2﹣a2=bc，∴=，∴cosA=，∵A∈（0，π），∴A=．（Ⅱ）设{an}的公差为d，∵a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，∴a1==2，且=a2•a8，∴（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d≠0，解得d=2，∴an=2n，∴==，∴Sn=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1﹣=．【点评】：本题考查角的大小的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．18．（12分）某大学的一个社会实践调查小组，在对大学生的良好“光盘习惯”的调査中，随机发放了l20份问巻．对收回的l00份有效问卷进行统计，得到如下2x2列联表：（1）现已按是否能做到光盘分层从45份女生问卷中抽取了9份问卷，若从这9份问卷中随机抽取4份，并记其中能做到光盘的问卷的份数为ξ，试求随机变量ξ的分布列和数学期望（2）如果认为良好“光盘习惯”与性别有关犯错误的概率不超过P，那么根据临界值表最精确的P的值应为多少？请说明理由．附：独立性检验统计量K2=，其中n=a+b+c+d，独立性检验临界表：【考点】：独立性检验的应用．【专题】：应用题；概率与统计．【分析】：（1）因为9份女生问卷是用分层抽样取到的，所以这9份问卷中有6份做不到光盘，3份能做到光盘．因为ξ表示从这9份问卷中随机抽取的4份中能做到光盘的问卷份数，所以ξ有0，1，2，3的可能取值，求出相应的概率，可得随机变量ξ的分布列和数学期望；（2）计算K2=≈，可得结论．【解析】：解：（1）因为9份女生问卷是用分层抽样取到的，所以这9份问卷中有6份做不到光盘，3份能做到光盘．因为ξ表示从这9份问卷中随机抽取的4份中能做到光盘的问卷份数，所以ξ有0，1，2，3的可能取值，所以P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．ξ的分布列如下所以Eξ=0×+1×+2×+3×=；（2）K2=≈因为＜＜．所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，即P=．【点评】：本题考查随机变量ξ的分布列和数学期望，考查独立性检验，考查学生分析解决问题的能力，知识综合．19．（12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【考点】：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】：空间位置关系与距离；空间向量及应用．【分析】：（Ⅰ）取AC中点O，连接BO，DO，由题设条件推导出DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，由已知条件推导出∠EBF=60°，由此能证明DE∥平面ABC．（Ⅱ）法一：作FG⊥BC，垂足为G，连接EG，能推导出∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角，由此能求出二面角E﹣BC﹣A的余弦值．法二：以OA为x轴，以OB为y轴，以OD为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解析】：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接BO，DO，则BO⊥AC，DO⊥AC，…（2分）又∵平面ACD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，∵BE和平面ABC所成的角为60°，∴∠EBF=60°，∵BE=2，∴，…（4分）∴四边形DEFO是平行四边形，∴DE∥OF，∵DE不包含于平面ABC，OF⊂平面ABC，∴DE∥平面ABC．…（6分）（Ⅱ）解法一：作FG⊥BC，垂足为G，连接EG，∵EF⊥平面ABC，∴EF⊥BC，又EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG，∴EG⊥BC，∴∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角．…（9分）Rt△EFG中，，，．∴．即二面角E﹣BC﹣A的余弦值为．…（12分）解法二：建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，B（0，，0），C（﹣1，0，0），E（0，，），∴=（﹣1，﹣，0），=（0，﹣1，），平面ABC的一个法向量为设平面BCE的一个法向量为则，∴，∴．…（9分）所以，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角E﹣BC﹣A的余弦值为．…（12分）【点评】：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：（x﹣2）2+y2=1的两条切线，切点为M，N，|MN|=（1）求抛物线E的方程（2）设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且=（其中O为坐标原点）①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）求得K的坐标，圆的圆心和半径，运用对称性可得MR的长，由勾股定理和锐角的三角函数，可得CK=3，再由点到直线的距离公式即可求得p=2，进而得到抛物线方程；（2）①设出直线方程，榴莲么抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得到定点Q；②运用弦长公式和四边形的面积公式，换元整理，结合基本不等式，即可求得最小值．【解析】：（1）解：由已知可得K（﹣，0），圆C：（x﹣2）2+y2=1的圆心C（2，0），半径r=1．设MN与x轴交于R，由圆的对称性可得|MR|=，于是|CR|===，即有|CK|====3，即有2+=3，解得p=2，则抛物线E的方程为y2=4x；（2）①证明：设直线AB：x=my+t，A（，y1），B（，y2），联立抛物线方程可得y2﹣4my﹣4t=0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4t，=，即有（）2+y1y2=，解得y1y2=﹣18或2（舍去），即﹣4t=﹣18，解得t=．则有AB恒过定点Q（，0）；②解：由①可得|AB|=|y2﹣y1|=•，同理|GD|=|y2﹣y1|=•，则四边形AGBD面积S=|AB|•|GD|=•••=4，令m2+=μ（μ≥2），则S=4是关于μ的增函数，则当μ=2时，S取得最小值，且为88．当且仅当m=±1时，四边形AGBD面积的最小值为88．【点评】：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线方程和直线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，向量的数量积的坐标表示，具有一定的运算量，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，其中a和b是实数，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点（1）求常数b的值（2）当0≤x≤1时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围（3）求证：对于任意的正整数n，不等式（1+）n．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】：（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由条件可得f′（0）=0，即可得到b=1；（2）求出f（x）的导数，对a讨论，①当a≤﹣时，②当a≥0时，③当﹣＜a＜0时，求出单调区间，求得最小值，即可得到a的范围；（3）对要证的不等式等价变形，可得ln（1+）﹣＜0①，且（+1）ln（1+）﹣＞0②运用（2）中的结论，通过a的取值，即可得证．【解析】：（1）解：对f（x）求导得：f′（x）=﹣aln（1+x）+﹣b，根据条件知f′（0）=0，所以1﹣b=0，解得b=1；（2）解：由（1）得f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣x，0≤x≤1，f′（x）=﹣aln（1+x）+﹣1f″（x）=﹣．①当a≤﹣时，由于0≤x≤1，有f″（x）≥0，于是f′（x）在[]上单调递增，从而f′（x）≥f′（0）=0，因此f（x）在[]上单调递增，即f（x）≥f（0）而且仅有f（0）=0；②当a≥0时，由于0≤x≤1，有f″（x）＜0，于是f′（x）在[]上单调递减，从而f′（x）≤f′（0）=0，因此f（x）在[]上单调递减，即f（x）≤f（0）而且仅有f（0）=0；③当﹣＜a＜0时，令m=min{1，﹣}，当0≤x≤m时，f″（x）＜0，于是f′（x）在[0，m]上单调递减，从而f′（x）≤f′（0）=0，因此f（x）在[0，m]上单调递减，即f（x）≤f（0）而且仅有f（0）=0．综上可知，所求实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]．（3）证明：要证对于任意的正整数n，不等式（1+）n．即证对于任意的正整数n，nln（1+）＜1＜（n+1）ln（1+）．即证ln（1+）＜＜（+1）ln（1+）．即证ln（1+）﹣＜0①，且（+1）ln（1+）﹣＞0②对于①相当于（2）中a=0，有f（x）在[0，1]上单调递减，即f（x）≤f（0）而且仅有f（0）=0．取x=，有ln（1+）﹣＜0；对于②相当于（2）中a=﹣1，有∀x∈[0，1]，f（x）≥0而且仅有f（0）=0．取x=，有（+1）ln（1+）﹣＞0成立．则有对于任意的正整数n，不等式（1+）n．【点评】：本题考查导数的运用：求切线斜率和单调区间，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法和等价转化的思想方法是解题的关键．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求证AB•PC=PA•AC（Ⅱ）求AD•AE的值．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：直线与圆．【分析】：（1）由已知条件推导出△PAB∽△PCA，由此能够证明AB•PC=PA•AC．（2）由切