高中数学人教A版2第一章导数及其应用定积分的简单应用【市一等奖】

定积分的简单应用同步练习1.由曲线y＝x2－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是()\i\in(0,2,)(x2－1)dx B．|eq\i\in(0,2,)(x2－1)dx|\i\in(0,2,)|x2－1|dx \i\in(0,1,)(x2－1)dx＋eq\i\in(1,2,)(x2－1)dx答案：C解析：解答:y＝|x2－1|将x轴下方阴影反折到x轴上方，其定积分为正，故应选C.分析：函数f(x)与x=a,x=b,y=0所围成的封闭图形的面积为2.曲线y＝x3－3x和y＝x围成的图形面积为()A．4 B．8C．10 D．9答案：B解析：解答:由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x3－3x，,y＝x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0.))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－2.))∵两函数y＝x3－3x与y＝x均为奇函数，∴S＝2eq\i\in(0,2,)[x－(x3－3x)]dx＝2·eq\i\in(0,2,)(4x－x3)dx＝2(2x2－eq\f(1,4)x4)＝8，故选B.分析：求解两个函数围成的面积先求它们的交点确定积分的上下限，在进行积分3.一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0s到t＝3s时间段内的位移是()A．31m B．36mC．38m D．40m答案：B解析：解答:S＝eq\i\in(0,3,)(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)＝33＋32＝36(m)，故应选B.分析：位移是对速度的积分，速度是位移的导数4.一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为()A．8J B．10JC．12J D．14J答案：C解析：解答:由变力做功公式有：W＝eq\i\in(1,3,)(4x－1)dx＝(2x2－x)＝14(J)，故应选D分析：机械功是力对路程的积分，考查定积分在物理学上的应用5.若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a＝eq\f(3,\r(6t))，那么从3小时到6小时期间内的产量为()\f(1,2) B．3－eq\f(3,2)eq\r(2)C．6＋3eq\r(2) D．6－3eq\r(2)答案：D解析：解答:eq\i\in(3,6,)eq\f(3,\r(6t))dt＝eq\r(6t)＝6－3eq\r(2)，故应选D.分析：产量的变化率是产量的导数，故产量是对产量变化率的积分6.如图所示，阴影部分的面积为()A.QUOTEabf(x)dxB.QUOTEabg(x)dxC.QUOTEab[f(x)-g(x)]dxD.QUOTEab[g(x)-f(x)]dx答案：C解析：解答:由题图易知，当x∈[a，b]时，f(x)>g(x)，所以阴影部分的面积为QUOTEab[f(x)-g(x)]dx.分析：注意在这里式QUOTEab[f(x)-g(x)]dx.中要保证f(x)>g(x)对于任意x∈[a，b]恒成立7.直线x=-1，x=1，y=0与曲线y=sinx所围成的平面图形的面积表示为()A.QUOTE-11sinxdx B.QUOTE01sinxdxC.QUOTE-102sinxdx D.QUOTE012sinxdx答案：D解析：解答:选D.由于y=sinx，x∈[-1，1]为奇函数，当x∈[-1，0]时，sinx≤0；当x∈(0，1]时，sinx>0.由定积分的几何意义，直线x=-1，x=1，y=0与曲线y=sinx所围成的平面图形的面积为QUOTE-11|sinx|dx=QUOTE012sinxdx.分析：定积分满足可加性，定积分也满足奇偶性8.由y=QUOTE1x，x=1，x=2，y=0所围成的平面图形的面积为() +ln2 答案：A解析：解答:选A.画出曲线y=QUOTE1x(x>0)及直线x=1，x=2，y=0，则所求面积S为如图所示阴影部分面积.所以S=QUOTE121xdx=lnxQUOTE|12=ln2-ln1=ln2分析：简单题，考查定积分在求解面积中的应用9.已知a=(sinx，cosx)，b=(cosx，sinx)，f(x)=a·b，则直线x=0，x=QUOTE3π4，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为()A.QUOTE12 B.QUOTE34 C.QUOTE32 D.QUOTE32答案：C解析：解答:选C.由a=(sinx，cosx)，b=(cosx，sinx)，得f(x)=a·b=2sinxcosx=sin2x，当x∈QUOTE0,π2时，sin2x≥0；当x∈QUOTEπ2,3π4时，sin2x<0.由定积分的几何意义，直线x=0，x=QUOTE3π4，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为QUOTE0π2sin2xdx-QUOTEπ23π4sin2xdx=-QUOTE12cos2x|QUOTE

0π2+QUOTE12cos2x|=1+QUOTE12=QUOTE32.分析：求出函数解析式，确定积分区间，利用定积分的几何意义计算面积.10.若两曲线y=x2与y=cx3(c>0)围成图形的面积是QUOTE23，则c等于()A.QUOTE13 B.QUOTE12 D.QUOTE23答案：B解析：解答:选B.由QUOTEy=x2,y=cx3得交点(0，0)，QUOTE1c,1则S=QUOTE01c(x2-cx3)dx=，c=QUOTE12.分析：解答此题时往往误认为积分上限是1，积分区间错误的确定为[0，1].确定积分区间必须通过解曲线交点确定11.用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是()A.QUOTEacf(x)dxB.QUOTEacf(x)dx|C.QUOTEabf(x)dx+QUOTEbcf(x)dxD.QUOTEbcf(x)dx-QUOTEabf(x)dx答案：D解析：解答:s==QUOTEbcf(x)dx-QUOTEabf(x)dx,故选D分析：函数f(x)与x=a,x=b,y=0所围成的封闭图形的面积为12.eq\i\in(0,1,)(x2＋2)dx＝()\f(7,2) \f(7,3)C．2 D．1答案：B解析：解答:＝eq\f(7,3).分析：定积分的求解运用到微积分基本定理。13.设物体以速度v(t)=3t2+t(m/s)作直线运动，则它在0～4s内所走的路程为()A.70m B.72m C.75m 答案：B解析：解答:选=QUOTE04(3t2+t)dt=QUOTEt3+12t2|0分析：路程是速度对时间的积分14.设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若eq\i\in(0,3,)f(x)dx＝3f(m)，则m＝()A．±1 \r(2)C．±eq\r(3) D．2答案：C解析：解答:eq\i\in(0,3,)f(x)dx＝eq\i\in(0,3,)(ax2＋b)dx＝＝9a＋3b，由eq\i\in(0,3,)f(x)dx＝3f(m)，得9a＋3b＝3am2＋3b，所以m2＝3，所以m＝±eq\r(3).分析：简单题，把f(x)的解析式带入求解即可15.一物体受到与它的运动方向相反的力F(x)＝eq\f(1,10)ex＋x的作用，则它从x＝0运动到x＝1时，F(x)所做的功等于()\f(e,10)＋eq\f(2,5) \f(e,10)－eq\f(2,5)C．－eq\f(e,10)＋eq\f(2,5) D．－eq\f(e,10)－eq\f(2,5)答案：D解析：解答:解析：W＝－＝－eq\f(e,10)－eq\f(2,5)，故选D.分析：功是力对路程的积分。16.由曲线y2＝2x，y＝x－4所围图形的面积是________．答案：18解析：解答:如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2x，,y＝x－4，))得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．因此所求图形的面积S＝eq\i\in(,4,)－2(y＋4－eq\f(y2,2))dy取F(y)＝eq\f(1,2)y2＋4y－eq\f(y3,6)，则F′(y)＝y＋4－eq\f(y2,2)，从而S＝F(4)－F(－2)＝18.分析：由于对x轴积分比较复杂，我们可以采用对y轴积分简化计算量17.一物体沿直线以速度v＝eq\r(1＋t)m/s运动，该物体运动开始后10s内所经过的路程是________．答案：eq\f(2,3)(11eq\f(3,2)－1)解析：解答:S＝eq\r(1＋t)dt＝eq\f(2,3)(1＋t)eq\f(3,2)＝eq\f(2,3)(11eq\f(3,2)－1)．分析：路程是速度对时间的积分，考查定积分在物理学上的运用18.由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=1所围成的平面图形的面积为________.答案：解析：解答:联立QUOTEy=x2+2,y=3xS=QUOTE01(x2+2-3x)dx=QUOTE13x3+2x-32x分析：简单题，考查定积分在求解面积中的应用19.如图所示，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是答案：eq\f(4,3)解析：解答:因为函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积S＝eq\i\in(0,2,)(－x2＋2x＋1－1)dx＝＝eq\f(4,3).分析：求解两个函数围成的面积先求它们的交点确定积分的上下限，在进行积分20.函数f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为.答案：eq\f(5,6)解析：解答:eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)x2dx＋eq\i\in(1,2,)(2－x)dx＝＝eq\f(5,6).分析：求解两个函数围成的面积先求它们的交点确定积分的上下限，在进行积分21.计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积．答案：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋3，,y＝x2－2x＋3，))解得x＝0及x＝3.从而所求图形的面积S＝eq\i\in(0,3,)[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx＝eq\i\in(0,3,)(－x2＋3x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x3＋\f(3,2)x2))＝eq\f(9,2).解析：分析：求解两个函数围成的面积先求它们的交点确定积分的上下限，在进行积分22.以初速度40m/s竖直向上抛一物体，ts时刻的速度v=40-10t2，求此物体达到最高时的高度为多少？答案：由v=40-10t2=0，得物体达到最高时t=2(s).所以物体达到最高时的高度为h=QUOTE02(40-10t2)dt=m解析：分析：路程是速度对时间的积分，考查定积分在物理学上的运用23.设f(x)是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(－2，f(－2))处的切线方程为2x＋y＋3＝0.（1）求f(x)的表达式；答案：设f(x)＝ax2＋bx＋c，∵其图象过点(0,1)，∴c＝1，又∵在点(－2，f(－2))处的切线方程为2x＋y＋3＝0，∴∵f′(x)＝2ax＋b，∴∴a＝1，b＝2，故f(x)＝x2＋2x＋1.（2）求f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积；答案：依题意，f(x)的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示，故所求面积S＝eq\i\in(,0,)－1(x2＋2x＋1)dx＝(eq\f(1,3)x3＋x2＋x)|eq\o\al(0,－1)＝eq\f(1,3).（3）若直线x＝－t(0<t<1)把f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．答案：依题意，有eq\f(1,2)S＝eq\i\in(,0,)－t(x2＋2x＋1)dx＝(eq\f(1,3)x3＋x2＋x)|eq\o\al(0,－t)＝eq\f(1,6)，即eq\f(1,3)t3－t2＋t＝eq\f(1,6)，∴2t3－6t2＋6t－1＝0，∴2(t－1)3＝－1，∴t＝1－eq\f(1,\r(3,2)).解析：分析：中档题，考查定积分在求解面积中的运用。理解并掌握定积分与面积的关系，函数f(x)与x=a,x=b,y=0所围成的封闭图形的面积为24.计算eq\r(1－\f(1,4)x2)dx＝.答案：y＝eq\r(1－\f(1,4)x2)(－2≤x≤2)表示椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的x轴上方部分，所以S＝eq\f(1,2)πab＝π解析：分析：考查定积分的意义，难度较大。25.设f(a)＝eq\i\in(0,1,)|x2－a2|dx.（1）当0≤a≤1与a＞1时，分别求f(a