高中数学人教A版第一章三角函数【区一等奖】

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若sinα＝eq\f(4,5)，且α是第二象限角，则tanα的值等于()A．－eq\f(4,3) \f(3,4)C．±eq\f(3,4) D．±eq\f(4,3)解析：因为α是第二象限角，sinα＝eq\f(4,5)，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(3,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3).答案：A2．已知eq\f(sinα－2cosα,3sinα＋5cosα)＝－5，那么tanα的值为()A．－2 B．2\f(23,16) D．－eq\f(23,16)解析：由eq\f(sinα－2cosα,3sinα＋5cosα)＝－5，分子分母同除以cosα得：eq\f(tanα－2,3tanα＋5)＝－5，解得tanα＝－eq\f(23,16).答案：D3．化简：eq\r(1－2sin10°·cos10°)＝()A．cos10°－sin10° B．sin10°－cos10°C．sin10°＋cos10° D．不确定解析：原式＝eq\r(sin210°－2sin10°·cos10°＋cos210°)＝eq\r(（sin10°－cos10°）2)＝|sin10°－cos10°|＝cos10°－sin10°答案：A4．已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，则sin4α－cos4α的值为()A．－eq\f(1,5) B．－eq\f(3,5)\f(1,5) \f(3,5)解析：sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))eq\s\up12(2)－1＝－eq\f(3,5).答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)5．化简(1＋tan2α)·cos2α＝________．解析：原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(sin2α,cos2α)))·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.答案：16．已知sinα·tanα＝1，则cosα＝________．解析：sin2α＋cos2α＝1，由sinαtanα＝1，得sin2α＝cosα，令cosα＝x，x＞0，则1－x2＝x，解得x＝eq\f(－1＋\r(5),2).答案：eq\f(－1＋\r(5),2)7．已知tanα＝－eq\f(1,2)，则eq\f(1＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)＝________．解析：eq\f(1＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)＝eq\f(（sinα＋cosα）2,sin2α－cos2α)＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(－\f(1,2)＋1,－\f(1,2)－1)＝eq\f(\f(1,2),－\f(3,2))＝－eq\f(1,3).答案：－eq\f(1,3)三、解答题(每小题10分，共20分)8．已知eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，计算下列各式的值：(1)eq\f(3sinα－cosα,2sinα＋3cosα)；(2)sin2α－2sinαcosα＋1.解析：由eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，化简，得sinα＝3cosα，所以tanα＝3.(1)方法一：原式＝eq\f(3×3cosα－cosα,2×3cosα＋3cosα)＝eq\f(8cosα,9cosα)＝eq\f(8,9).方法二：原式＝eq\f(3×\f(sinα,cosα)－\f(cosα,cosα),2×\f(sinα,cosα)＋3×\f(cosα,cosα))＝eq\f(3tanα－1,2tanα＋3)＝eq\f(3×3－1,2×3＋3)＝eq\f(8,9).(2)原式＝eq\f(sin2α－2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＋1＝eq\f(tan2α－2tanα,tan2α＋1)＋1＝eq\f(32－2×3,32＋1)＋1＝eq\f(13,10).9．已知在△ABC中，sinA＋cosA＝eq\f(1,5).(1)求sinA·cosA的值；(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tanA的值．解析：(1)由sinA＋cosA＝eq\f(1,5)，两边平方，得1＋2sinA·cosA＝eq\f(1,25)，所以sinA·cosA＝－eq\f(12,25).(2)由(1)得sinA·cosA＝－eq\f(12,25)＜0.又0＜A＜π，所以cosA＜0.所以A为钝角．所以△ABC是钝角三角形．(3)因为sinA·cosA＝－eq\f(12,25)，所以(sinA－cosA)2＝1－2sinA·cosA＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25)，又sinA＞0，cosA＜0，所以sinA－cosA＞0，所以sinA－cosA＝eq\f(7,5).又