高中数学人教A版2第二章推理与证明 获奖作品

第二章2.2.一、选择题(每小题5分，共20分)1．关于反证法的说法正确的有()①反证法的应用需要逆向思维；②反证法是一种间接证明方法，否定结论时，一定要全面否定；③反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾；④使用反证法必须先否定结论，当结论的反面出现多种可能时，论证一种即可．A．①② B．①③C．②③ D．③④解析：容易判断①②是正确的；反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾，故③错误；当结论的反面出现多种可能时，应对这几种可能全部进行论证，故④错误．故选A.答案：A2．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．答案：B3．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的假设为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数解析：“恰有一个偶数”的反面是“没有偶数或至少有2个偶数”．故选D.答案：D4．对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫作函数f(x)的一个好点．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好点，那么a的取值范围是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(1,2)))C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：假设f(x)＝x2＋2ax＋1存在好点，亦即方程f(x)＝x有实数根，所以x2＋(2a－1)x则Δ＝(2a－1)2－4＝4a2－4a解得a≤－eq\f(1,2)或a≥eq\f(3,2)，故当f(x)不存在好点时，a的取值范围是－eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2)，故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2023·衡水中学高二检测)命题“a，b是实数，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝1，b＝1”，用反证法证明时应假设为________________解析：“a＝1，b＝1”的反面是“a，b不都等于1”，即“a，b中至多有一个等于答案：a，b中至多有一个等于16．在用反证法证明“已知p3＋q3＝2，求证：p＋q≤2”时的反设为________，得出的矛盾为________________解析：假设p＋q>2，则p>2－q.∴p3>(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入得6q2－12q＋6<0，∴(q－1)2<0这不可能．(同理也可得到(p－1)2<0)∴p＋q≤2.答案：p＋q>2(q－1)2<0(或(p－1)2<0)三、解答题(每小题10分，共20分)7．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋eq\f(π,2)，b＝y2－2z＋eq\f(π,3)，c＝z2－2x＋eq\f(π,6).求证：a，b，c中至少有一个大于0.证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，所以a＋b＋c≤0.而a＋b＋c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－2y＋\f(π,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y2－2z＋\f(π,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z2－2x＋\f(π,6)))＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.所以a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0.8．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差数列．证明：假设eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差数列，则eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b)，即a＋c＋2eq\r(ac)＝4b，而b2＝ac，即b＝eq\r(ac)，∴a＋c＋2eq\r(ac)＝4eq\r(ac)，∴(eq\r(a)－eq\r(c))2＝0.即eq\r(a)＝eq\r(c)，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差数列．9.(10分)若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，试求实数a解析：假设三个方程均无实数根，则有：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1＝16a2－4－4a＋3<0，,Δ2＝a－12－4a2<0，,Δ3＝4a2－4－2a<0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs