高中数学苏教版3第一章计数原理1．4计数应用题 第1章计数应用题学业分层测评

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法有________种．【解析】分两步进行：第一步，选出两名男选手，有Ceq\o\al(2,5)种方法；第2步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有Aeq\o\al(2,6)种．故有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,6)＝300种．【答案】3002．将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有________种．【解析】先把4名教师分成2,1,1三组，再分配到3所中学，共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36种分配方案．【答案】363．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)【解析】分两种情况：一种是有一人获得两张奖券，一人获得一张奖券，有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)＝36种；另一种是三人各获得一张奖券，有Aeq\o\al(3,4)＝24种．故共有60种获奖情况．【答案】604．某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________．【解析】分两类：第一类，每个城市只能投资1个项目，共有Aeq\o\al(3,5)种方案；第二类，有一个城市投资2个项目，共有Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(1,4)种方案．由分类计数原理得共有Aeq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,4)＝120(种)方案．【答案】120种5．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数共________个.【导学号：29440020】【解析】分两类：若1与3相邻，有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝72(个)，若1与3不相邻，有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,3)＝36(个)．故共有72＋36＝108个．【答案】1086．甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．【解析】由题意分类计数：若7个台阶上每一个台阶只站一人，则“3人站到7级的台阶上”有Aeq\o\al(3,7)种不同的站法；若选用2个台阶，有一个台阶站2人，另一个站1人，则“3人站到7级的台阶上”有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,7)种不同的站法．因此不同的站法种数是Aeq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,7)＝336.【答案】3367．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有________种．【解析】(1)若甲乙安排在开始两天，则丁有4种选择，共有安排方案Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝192种；(2)若甲乙安排在最后两天，则丙有4种选择，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝192种；(3)若甲乙安排在中间5天，选择两天有4种可能，①若丙安排在10月7日，丁有4种安排法，共有4×Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,3)＝192种；②若丙安排在中间5天的其它3天，则丁有3种安排法，共有4×Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝432种，所有共有192＋192＋192＋432＝1008种．【答案】10088．若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4.有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．【解析】由题意知①②③④中有且只有一个正确，其余三个均不正确，下面分类讨论满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数；(1)若①正确，即a＝1，则②③④都错误，即b＝1，c≠2，d＝4.其中a＝1与b＝1矛盾，显然此种情况不存在．(2)若②正确，即b≠1，则①③④都错误，即a≠1，c≠2，d＝4，则当b＝2时，有a＝3，c＝1；当b＝3时，有a＝2；c＝1此时有2种有序数组．(3)若③正确，即c＝2，则①②④都错误，即a≠1，b＝1，d＝4，则a＝3，即此种情况有1种有序数组．(4)若④正确，即d≠4，则①②③都错误，即a≠1，b＝1，c≠2，则当d＝2时，有a＝3，c＝4或a＝4，c＝3，有2种有序数组；当d＝3时，有c＝4，a＝2，仅1种有序数组．综上可得共有2＋1＋2＋1＝6(种)有序数组．【答案】6二、解答题9．3名男同志和3名女同志到4辆不同的公交车上服务，(1)若每辆车上都需要人但最多安排男女各一名，有多少种安排方法？(2)若男女各包2辆车，有多少种安排方法？【解】(1)先将3名男同志安排到车上有Aeq\o\al(3,4)种方法，在未安排男同志的那辆车安排女同志有Ceq\o\al(1,3)种方法，还有2个女同志有Aeq\o\al(2,3)种安排方法，故共有Aeq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,3)＝432种安排方法．(2)男同志分2组有Ceq\o\al(2,3)种方法，女同志分2组有Ceq\o\al(2,3)种方法，将4组安排到4辆车上有Aeq\o\al(4,4)种方法，故共有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)＝216种安排方法．10．有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷又会划右舷，现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，则有多少种不同的选法？【解】设集合A＝{只会划左舷的3个人}，B＝{只会划右舷的4个人}，C＝{既会划左舷又会划右舷的5个人}．先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A中有3人；②A中有2人，C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人．第①类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在B∪C中选3人，即有Ceq\o\al(3,9)种选法．因是分步问题，所以有Ceq\o\al(3,3)·Ceq\o\al(3,9)种选法．第②类，划左舷的人在A中选2人，有Ceq\o\al(2,3)种选法，在C中选1人，有Ceq\o\al(1,5)种选法，划右舷的人在B∪C中剩下的8个人中选3人，有Ceq\o\al(3,8)种选法．因是分步问题，所以有Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(3,8)种选法．类似地，第③类有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,7)种选法，第④类有Ceq\o\al(0,3)·Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(3,6)种选法．故有Ceq\o\al(3,3)·Ceq\o\al(3,9)＋Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(0,3)·Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(3,6)＝84＋840＋1050＋200＝2174种不同的选法．[能力提升]1．如果一个三位正整数a1a2a3满足a1＜a2＜a3，则称这样的三位数为“好数”(如123,367,378)，那么三位数中所有“【解析】由题意，在1,2，…，9这九个数字中任取3个，只能组成1个“好数”(0不能选，因为若选0，则0只能排在首位，此时已不是三位数)，故有好数Ceq\o\al(3,9)＝84个．【答案】84个2．今有2个红球，3个黄球，4个白球，若同色球不加以区分，将这9个球排成一列共有________种不同的方法(用数字作答).【导学号：29440021】【解析】法一：只需找到不同颜色的球所在的位置即可，共有Ceq\o\al(2,9)Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(4,4)＝1260种方法．法二：同色球不加以区分(即属相同元素排列的消序问题)，先全排列，再消去各自的顺序即可，则将这9个球排成一列共有eq\f(A\o\al(9,9),A\o\al(2,2)A\o\al(3,3)A\o\al(4,4))＝1260种不同的方法．【答案】12603．如图1­4­3，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有________种．图1­4­3【解析】如图，构造三棱锥ABCD；四个顶点表示四个小岛，六条棱表示连接任意两岛的桥梁．由题意，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法．这可由间接法完成：从六条棱中任取三条棱的不同取法有Ceq\o\al(3,6)种，任取三条共面棱的不同取法有4种，所以从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法有Ceq\o\al(3,6)－4＝16种．故不同的建桥方案共有16种．【答案】164．如图1­4­4所示，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4，则：(1)以这12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？图1­4­4(2)以这10个点(不包括A，B)中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？其中含点C1的有多少个？【解】(1)构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类：①四个点从C1，C2，…，C6中取出，有Ceq\o\al(4,6)个四边形；②三个点从C1，C2，…，C6中取出，另一个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(1,6)个四边形；③二个点从C1，C2，…，C6中取出，另外二个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,6)个四边形．故满足条件的四边形共有N＝Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\