高中数学人教B版第三章基本初等函数 高质作品 第34课时

第34课时函数的应用(Ⅱ)课时目标1.能够运用指数函数、对数函数、幂函数的性质来解决某些简单的实际问题．2．了解函数模型在社会生活及科研中的广泛应用．3．培养应用数学的意识和分析问题、解决问题的能力．识记强化1．平均增长率问题如果原来产值的基数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y为y＝N(1＋p)x.2．储蓄中的复利问题如果本金为a元，每期利率为r，本利和为y，存期为x，则它们的关系为y＝a(1＋r)x.3．常见的函数模型：(1)指数函数模型，y＝kax＋b(k≠0，a＞0，a≠1)．(2)对数函数模型，y＝mlogax＋n(m≠0，a＞0，a≠1，x＞0)．(3)幂函数模型，y＝kxn＋b(k≠0，n为常数，n≠1)．课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人对应的函数关系是()A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log3xD．f4(x)＝2x答案：D解析：在同一坐标系中画出函数f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)的图象(图略)，可知当x＞4时，f4(x)＞f1(x)＞f2(x)＞f3(x)，故选D.2．某人2010年1月1日到银行存入a元，年利率为x，若按复利计算，则到2015年1月1日可取款()A．a(1＋x)5元B．a(1＋x)4元C．[a＋(1＋x)5]元D．a(1＋x5)元答案：A解析：2010年1月1日到银行存入a元，到2023年1月1日本息共a(1＋x)元，作为本金转入下一个周期，到2023年1月1日本息共a(1＋x)(1＋x)＝a(1＋x)2元，因此，到2015年1月1日可取款a(1＋x)5元，故选A.3．某个体企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪比上一年增加20%；另外，每年新招3名工人，每名新工人第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，那么，将第n年企业付给工人的工资总额y(单位：万元)表示成n的函数，其表达式为()A．y＝(3n＋5)×＋B．y＝8×＋C．y＝(3n＋8)×＋D．y＝(3n＋5)×－1＋答案：A解析：第一年企业付给工人的工资总额为1××8＋×3＝＋＝12万元，而对于4个选项而言，当n＝1时，C，D相对应的函数值均不为12，故可排除C，D.再考虑第二年企业付给工人的工资总额，第二年有11个老工人，3个新工人，工资总额为(11×＋万元，故选A.4．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长%，那么，经过x年绿色植被的面积可以增长为原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为()答案：D解析：设该山区第一年的绿色植被的面积为a，则y＝eq\f(a×1＋%x,a)＝(1＋%)x，故选D.5．某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少eq\f(1,3)，则使产品达到市场要求的最少过滤次数为(参考数据：lg2≈，lg3≈()A．10B．9C．8D．7答案：C解析：设经过n次过滤，产品达到市场要求，则eq\f(2,100)×(eq\f(2,3))n≤eq\f(1,1000)，即(eq\f(2,3))n≤eq\f(1,20)，由nlgeq\f(2,3)≤－lg20，即n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，得n≥eq\f(1＋lg2,lg3－lg2)≈，所以选C.6．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2m2、3m2、6m2所经过的时间分别为t1、t2、t3，则t1＋t2＝t3.其中正确的命题个数为()A．1B．2C．3答案：C解析：由图象可知①②⑤正确．二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7．2023年某品牌手机经两次降价，单价由原来的2000元降到1280元，那么这种手机两次降价的平均百分率为________．答案：20%解析：设两次降价的平均百分率为x%，则2000(1－x%)2＝1280，∴(1－x%)2＝64%，∴1－x%＝80%，∴x%＝20%，∴这种手机平均降价的百分率为20%.8．某工厂生产某种产品的月产量y(单位：万件)与月份x满足关系式y＝a·＋b，现已知该厂今年1月份、2月份分别生产该产品1万件、万件．则此工厂3月份生产该产品________万件．答案：解析：由题意，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝＋b,＝＋b))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2,b＝2))，∴y＝(－2)×＋2，把x＝3代入，解得y＝.9．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的函数关系是v＝2000lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))，要使火箭的最大速度可达12km/s，则燃料的质量与火箭的质量的比值是__________．答案：e6－1解析：v＝12km/s＝×104m/s，代入v＝2000ln(1＋eq\f(M,m)1．2×104＝2000ln(1＋eq\f(M,m))⇒eq\f(M,m)＝e6－1，即燃料的质量与火箭的质量的比值是e6－1.三、解答题(本大题共4小题，共45分)10．(12分)某食品厂对蘑菇进行深加工，每千克蘑菇的成本为20元，并且每千克蘑菇的加工费为t(t为常数，且2≤t≤5)元，设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x(25≤x≤40)元．根据市场调查，日销售量q(单位：kg)与ex成反比，当每千克蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100(1)求该工厂的日销售利润y(单位：元)与每千克蘑菇的出厂价x(单位：元)的函数关系式：(2)若t＝5，则每千克蘑菇的出厂价为多少时，该工厂的日销售利润为100e4元？解：(1)设日销售量q＝eq\f(k,ex)(25≤x≤40)，则eq\f(k,e30)＝100，∴k＝100e30，∴日销售量q＝eq\f(100e30,ex)(25≤x≤40)，∴y＝eq\f(100e30x－20－t,ex)(25≤x≤40)．(2)当t＝5时，y＝eq\f(100e30x－25,ex)＝100e4，则x－25＝ex－26，根据函数y＝x－25与y＝ex－26的图象(如图所示)，可求得方程x－25＝ex－26的解为x＝26，∴当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的日销售利润为100e4元．11．(13分)某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝N0e－λt，其中N0、λ是正的常数．(1)说明函数是增函数还是减函数；(2)把t表示为原子数N的函数；(3)求当N＝eq\f(N0,2)时t的值．解：(1)由于N0＞0，λ＞0，函数N＝N0e－λt是属于指数函数y＝e－x类型的，所以它是减函数，即原子数N的值随时间t的增大而减小．(2)将N＝N0e－λt写成e－λt＝eq\f(N,N0)，根据对数的定义有－λt＝lneq\f(N,N0)，即t＝－eq\f(1,λ)(lnN－lnN0)＝eq\f(1,λ)(lnN0－lnN)．(3)把N＝eq\f(N0,2)代入t＝eq\f(1,λ)(lnN0－lnN)，得t＝eq\f(1,λ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnN0－ln\f(N0,2)))＝eq\f(1,λ)(lnN0－lnN0＋ln2)＝eq\f(1,λ)ln2.能力提升12．(5分)含有一组实验数据如下：tv12现准备用下列函数中的一个近似值表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是()A．v＝log2tB．v＝logtC．v＝eq\f(t2－1,2)D．v＝2t－2答案：C解析：取t＝≈2，代入A得v＝log22＝1≠，代入B得v＝log2＝－1≠，代入C得v＝eq\f(22－1,2)＝，代入D得v＝2×2－2＝2≠.13．(15分)某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于毫克时，治疗疾病有效．①求服药一次治疗疾病的有效时间；②当t＝5时，第二次服药，问t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5，5\f(1,16)))时，药效是否连续？(已知函数y＝4(x－5)＋(eq\f(1,2))x－3在t∈[5，tx]上是增函数)解：(1)当0≤t＜1时，y＝4t.当t≥1时，y＝(eq\f(1,2))t－a，此时，M(1,4)在曲线上，∴4＝(eq\f(1,2))1－a，∴a＝3，这时y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t－3.∴y＝f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4t0≤t＜1,\f(1,2)t－3t≥1.))(2)①由f(t)≥，解得eq\f(1,16)≤t≤5，所以服药一次治疗的有效时间为5－eq\f(1,16)＝4eq\f(15,16)小时．②设t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5，5\f(1,16)))，血液含药量g(t)为：第二次的含药量4(t－5)毫克加上第一次的剩余量(eq\f(1,2))t－3毫克即g(t)＝4(t－5)＋(e