高中数学人教A版1第三章导数及其应用 公开课

第三章3.4一、选择题(每小题5分，共20分)1．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒．则所做的铁盒容积最大时，在四角截去的小正方形的边长为()A．6cm B．8cmC．10cm D．12cm解析：设剪去的小正方形边长为xcm，则V＝x·(48－2x)2＝4x(24－x)2，∴V′(x)＝4(24－x)2＋8x·(24－x)(－1)，令V′(x)＝0可以得x＝8.答案：B2．某商品在最近30天的价格f(t)与时间t(天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0<t≤30，t∈N＋)，销售量g(t)与时间t(天)的函数关系是g(t)＝－t＋35(0<t≤30，t∈N＋)，则这种商品的销售金额的最大值为()A．406 B．506C．200 D．500解析：令F(t)＝f(t)g(t)＝(t＋10)(－t＋35)＝－t2＋25t＋350＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(25,2)))2＋eq\f(2025,4).∴t＝12或13时，F(t)max＝506.答案：B3．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为()A．10 B．15C．25 D．50解析：如图所示，设∠NOB＝θ，则矩形的面积是S＝5sinθ·2·5cosθ＝25sin2θ，故Smax＝25.答案：C4．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x20≤x≤400，,80000x>400，))则总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A．100 B．200C．250 D．300解析：总成本C＝20000＋100x，则总利润为P＝R－C＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x－\f(1,2)x2－200000≤x≤400，,60000－100xx>400，))P′＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300－x0≤x≤400，,－100x>400.))令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．体积为定值V0的正三棱柱，当它的底面边长为________时，正三棱柱的表面积最小．解析：设底面的边长为a，高为h，则V0＝eq\f(\r(3),4)a2h，∴h＝eq\f(4V0,\r(3)a2)，S＝eq\f(\r(3),4)a2×2＋3ah＝eq\f(\r(3),2)a2＋3a·eq\f(4V0,\r(3)a2)＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(8V0,a)))，∴S′＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－\f(8V0,a2)))，由S′＝0得a＝eq\r(3,4V0)，所以当底面的边长为a＝eq\r(3,4V0)时，正三棱柱的表面积最小．答案：eq\r(3,4V0)6．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产x的关系是R(x)＝－eq\f(x3,900)＋400x(0≤x≤390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是________．解析：由题意可得总利润P(x)＝－eq\f(x3,900)＋300x－20000(0≤x≤390)．∵P′(x)＝－eq\f(1,300)x2＋300，令P′(x)＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0，当300<x≤390时，P′(x)<0，所以当x＝300时，P(x)最大．答案：300三、解答题(每小题10分，共20分)7．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与产品的价格p(元/吨)之间的关系式为：p＝24200－eq\f(1,5)x2，且生产x吨的成本为R＝50000＋200x(元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)解析：每月生产x吨产品时的利润为f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(24200－\f(1,5)x2))x－(50000＋200x)＝－eq\f(1,5)x3＋24000x－50000(x≥0)f′(x)＝－eq\f(3,5)x2＋24000，令f′(x)＝0解得：x＝200或x＝－200(舍去)．因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使得f′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为：f(200)＝－eq\f(1,5)×(200)3＋24000×200－50000＝3150000(元)答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．8．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成，如图，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解析：设容器的高为xcm，容器的体积为V(x)cm3.则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4320x(0<x<24)．V′(x)＝12x2－552x＋4320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)(0<x<24)．令V′(x)＝0，得x1＝10，x2＝36(舍去)．当0<x<10时，V′(x)>0，V(x)是增函数；当10<x<24时，V′(x)<0，V(x)是减函数．因此，在定义域(0,24)内，只有当x＝10时函数V(x)取得最大值，其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19600(cm3)．故当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积是19600cm3.9．(10分)某报社印刷厂印刷报纸时，一页版面图文应占Scm2，应留上、下边宽都是acm，左、右边宽均为bcm的空白．若只考虑节约用纸，一页报纸的长、宽各应为多少？解析：如下图，设图文所占区域的长为xcm(x>0)，则宽为eq\f(S,x)cm.设纸的利用率为k，于是k＝eq\f(S,x＋2b\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S,x)＋2a)))＝eq\f(xS,x＋2b2ax＋S)(x>0)，则k′＝eq\f(2SbS－ax2,x＋2b2S＋2ax2)，令k′＝0，即bS－ax2＝0，解得x＝eq\r(\f(bS,a))或x＝－eq\r(\f(bS,a))(舍)．当0<x<eq\r(\f(bS,a))时，k′>0，k单调递增，当x>eq\r(\f(bS,a))时，k′<0，k单调递减，所以当x＝eq\r(\f(bS,a))时，k取得最