结构力学第六章

§6-1概述§6-2位移法的基本原理§6-3位移法的基本假设、基本未知量基本体系和典型方程§6-4

荷载作用下超静定刚架的计算举例§6-5对称性的应用§6-6温度改变及支座移动下的计算§6-7超静定结构讨论第六章位移法§6-1概述一、位移法的提出图示结构是六次超静定结构，但只有一个结点位移（受弯杆忽略其轴向变形）。力法——六个未知量位移法——用结点位移作为未知量，只有一个未知量二、单跨超静定梁的内力

单跨超静定梁的内力可用力法求出，它是位移法的计算基础，举例讨论如下：

(a)原结构(b)基本体系1、固端梁受支座转角作用力法典型方程为：

由图乘法由静定结构的支座沉陷位移计算公式：

解方程得令称杆AB的线刚度。当时，当时，SAB称为杆AB的A端抗弯劲度。由求杆端弯矩，并画出弯矩图（g)。，杆端剪力可求得，2、固端梁受支座线位移作用力法典型方程为：由图乘法：直接由几何关系判断解方程得：由得弯矩图（g),杆端剪力也可求得。令，当得弯矩图如图（h)所示。3、固端梁受荷载作用力法典型方程为：由图乘法：4、固端梁受变温作用力法典型方程为:解方程得：由得(g),杆端剪力也可求得，如图（g)所示。由图乘法：由静定结构在变温下的位移计算可得由得弯矩（g),剪力为零，轴力为一常数

将系数项和自由项代入力法典型方程，并求解得

杆端弯矩和剪力可将各种外来因素单独作用的结果叠加得。2、一端固定，一端铰支梁同时承受荷载，支座移动及温度改变作用时，将各种外来因素单独作用的结果叠加。3、一端固定，一端滑移支座梁同时承受荷载、支座移动及温度改变作用，将各种外来因素单独作用叠加。4、一端固定，一端平行于杆轴线的连杆约束的梁同时承受荷载、支座移动及温度改变作用时，因其在支座移动及温度改变下均不产生弯矩，仅荷载作用产生弯矩。此种基本杆件，实质与悬臂梁相同。结论：以上推导了各种单跨超静定梁在杆端位移、荷载、温度下的杆端弯矩、剪力表达式。由此可知，对于任一等截面直杆，只要知道杆件两端位移、荷载、温度，即可求出杆件两端弯矩、剪力，作出此杆件的弯矩图、剪力图。返回

§6—2位移法的基本原理

位移法是与力法对偶的一种超静定结构解法。

结点位移位移协调杆端位移位移协调杆端弯矩弯矩一、具有一个结点角位移的情况基本未知量——结点B角位移基本系基本系——在结点B附加一个刚臂（仅能控制转动不能控制移动的约束）=比较基本体系与原结构在约束处的受力状况，典型方程——表示结点B处的力矩平衡。求系数与自由项由图（e）由图（f）作弯矩图二、具有一个独立结点线位移情况基本系基本未知量——结点线位移。基本系—在结点1方向附加一个连杆。

设以向右为正，规定以同向为正。典型方程——表示结构上截面的剪力平衡条件。比较基本系与原结构在附加连杆处的受力情况系数与自由项由图由图将系数代入典型方程，解方程得作弯矩图三、位移法原理总结基本方程单跨超静定梁的组合体荷载结点位移基本系基本未知量超静定结构转化手段：附加约束加上结点位移等效条件：平衡条件返回一、基本假设和符号规定

基本假设；（1）不计轴向变形（受弯构件）（2）弯曲变形是微小的§6-3位移法的基本假设、基本未知量、基本体系和典型方程符号规定：结点的量习惯上采用：结点转角和刚臂反力矩，顺时针转向为正；结点水平线位移和附加连杆反力，向右为正；杆端的力顺时针转向为正（如下图）。弯矩、剪力转角线位移（或弦转角β）二、基本未知量位移法基本未知量1.结点角位移基本未知量数=结构刚结点数目注：1.铰结点的转角不作为基本的未知量；2.铰支座（包括连杆支座）的转角不作为基本的未知量。结点角位移结点线位移2.结点线位移基本未知量数=结构独立结点线位移数目注：支座的线位移不作为基本未知量三、基本体系在结构刚结点处附加一个刚臂；选定独立结点线位移处附加一个连杆。换铰法——把结构所有刚结点和固定支座都转换成铰，结构变成一个铰结体系。为保持该体系的几何不变所必须附加的最少连杆数，即为原结构的独立结点线位移数目。讨论:铰结点角位移和滑移支座线位移为什么不作为位移法的基本未知量？观察法换铰法独立结点线位移的确定（b)铰化体系四、典型方程根据基本体系上附加约束内的约束力为零的条件，建立位移法典型方程其中：劲度系数；自由项;为位移法的基本未知量对n个基本未知量的结构，其位移法典型方程为：劲度系数表示作用在基本系上引起的处附加约束内的反力（反力矩），由结点平衡或截面平衡条件求出。自由项表示荷载作用在基本体系上引起的处附加约束内的反力（反力矩），由结点平衡条件或截面平衡条件求出。劲度系数特点：五、结点位移

将系数项和自由项代入位移法方程，解出结点位移。返回由杆端弯矩绘弯矩图，由杆件和结点平衡条件求杆端剪力和轴力，作剪力图和轴力图。六、最后的内力、内力图

§6-4对称性的利用对称结构可利用下列性质取一半结构进行计算：1.结构对称，在对称荷载作用下，其变形、位移、内力、反力均对称；2.结构对称，在反对称荷载作用下，其变形、位移、内力、反力均反对称；奇数跨对称荷载偶数跨对称荷载奇数跨反对称荷载偶数跨反对称荷载返回

§6-5温度改变及支座移动下的计算

用位移法计算受温度改变及支座移动作用下的超静定结构，与受荷载作用时的不同之处是典型方程的自由项，用FRkt或FRkc来代替FRkp，其它计算与受荷载时的相同。计算同荷载作用下一样计算。一、温度改变(设温度膨胀系数α）现计算FR1t、FR2t:

为中性轴上温度改变引起附加约束上的反力矩或反力；为杆件内外温度差引起附加约束上的反力矩或反力二、支座移动现计算FR1c、FR2c：返回§6-6转角挠度法转角挠度法基本未知量的确定（刚结点角位移和独立结点线位移）同附加刚臂和附加连杆法。图示刚架为常数，基本结点未知位移各杆端弯矩求出未知结点位移后，代入杆端弯矩式可求得各杆端弯矩。由各杆端弯矩作出原结构的弯矩图。其中：根据结点C、E的力矩平衡条件及截面m-m以上部分隔离体的力的平衡条件

例作图示钢架弯矩图。解：1.位移未知量2.列弯矩的转角位移方程：

3.列平衡方程并求解：其中：代入有关数据并整理：求解得：4.求各杆端弯矩：

5.作最后弯矩图：例作图示刚架弯矩图。2.列弯矩的转角位移方程：解：1.确定基本未知量：由于横梁,AB、CD杆只能水平移动，无角位移，，只有一个线位移3.列平衡方程并求解：其中：代入方程：有脱离体：4.求各杆端弯矩、作M图：解：1.基本未知量，基本系如图：2.典型方程：例确定图示钢架用位移法解的基本未知量，作单位弯矩图，并求出系数项和自由项。为求图，先求时各杆的相对位移，由图用速度顺心法。2.单位位移弯矩图、荷载弯矩图：求系数项：求时，先求出，由图自由项计算：求时，先求

返回位移法计算步骤：1.确定基本未知量，建立基本系，列出典型方程；2.作单位位移图及荷载弯矩图，计算劲度系数及自由项;3.求解典型方程，得基本未知量；4.根据叠加原理作内力图并校核。§6-7位移法计算举例一、平行柱钢架例计算图示结构内力，绘内力图（EI=C).解：1.基本未知量基本系如图典型方程2.作单位位移弯矩图，荷载弯矩图：系数计算：自由项计算：3.求解典型方程其中4.作最后内力图：叠加原理作弯矩图，由M图作FQ图、FN图例计算图示结构内力并绘制弯矩图。解：1.基本系未知量、基本系：2.典型方程;2.单位弯矩图，荷载弯矩图：系数计算：自由项计算：3.接典型方程得：4.做最后弯矩图：迭加原理作弯矩图对无穷大的杆件杆端弯矩由结点平衡例计算图（a)所示刚架，做弯矩图。EI=常数。解：1.基本未知量及基本系2.典型方程3.单位弯矩图和荷载弯矩图，分别如图（c)、(d)、(e)4.解典型方程得5.最后弯矩图由叠加原理作出弯矩图二、斜杆刚架例作图示斜杆刚架的弯矩图，各杆EI=C.解：1.基本未知量基本系如图：

典型方程：2.单位弯矩图、荷载弯矩图作图时应先求出各杆两端的相对线位移，这里介绍速度瞬心法：（1）将基本体系改变为铰接体系；（2）沿附加连杆方向给单位线位移；（3）求各杆相对线位移值。当绘出，由图示几何关系：系数计算：求k33先由杆AB、BC求出FQAB、FQBC；求出结点B求出FNBC=25.5;由杆CD求出FQCD=23.45;由结点C求出K33；自由项计算：FR3P求法同求k33过程：3.解典型方程：4.作最后弯矩图：由迭加原理作出弯矩图。解：1.基本未知量例确定图示刚架用位移法解的基本未知量，作单位弯矩图，并求出系数项和自由项。基本系如图2.典型方程为求图，先求时各杆的相对位移，由图用速度瞬心法。2.单位位移弯矩图、荷载弯矩图：求系数项：求时，先求出，由图自由项计算：求时，先求

返回例作图指示结构的M图、FN图、FQ图。

作出弯矩图，由弯矩图求出每杆两端剪力，作剪力图，由结点平衡求出各杆轴