统计学 动态数列-1

第五章

动态数列1学习目的与要求目的：通过本章学习，掌握动态数列的种类和编制方法；掌握动态数列的水平分析指标和速度分析指标并能灵活运用；掌握静态平均数和动态平均数的区别和联系；掌握长期趋势预测的最小平方法。要求：每次上课前做必要的预习；课后练习及时完成；有疑问及时提出，及时解决。2本章主要内容第一节动态数列的编制※第二节动态数列的水平分析指标※第三节动态数列的速度分析指标第四节长期趋势的预测第五节季节变动的预测3第一节动态数列的编制一、动态数列（时间数列）的概念和作用1、概念：将一系列同类的统计指标按时间顺序排列起来，就形成一个动态数列或称时间数列。P1302、动态数列的作用（3点）P130※3、动态数列的构成要素1）时间：统计资料所属的具体时期或时点2）统计指标数值：又称之为发展水平。42001-2005我国粮食总产量和社会消费零售总额时间粮食总产量（万吨）社会消费品零售总额（亿元）2001452644305520024570648136200343070525162004469475950120054840167177时间统计指标数值统计指标数值5按照统计指标的性质不同，可以分为：绝对数动态数列相对数动态数列平均数动态数列时期数列时点数列基本数列派生数列二、动态数列的分类6（一）绝对数时间数列由一系列同类的总量指标按时间先后顺序排列起来所形成的动态数列。它反映事物在不同时间的规模大小、数量多少。1．时期数列时期数列的特点：1）指标可以累计相加2）指标值的大小与时期的长短有关3）统计时要靠连续不断的登记取得7由一系列同类的时点指标按时间先后顺序排列起来所形成的绝对数动态数列。例如，我国2001-2005年末人口数就是时点数列。时点数列的特点：1）指标不能累加2）指标值的大小与时间间隔没有直接联系3）指标数值是间隔一定时期登记取得的2.时点数列82001-2005年末全国人口数及自然增长率时间年末全国人口数（万人）人口自然增长率（‰）20011276276.9520021284536.4520031292276.0120041299885.8720051307565.89人口自然增长率从1990年的14.39‰降至2005年的5.89‰，降低幅度还是很大的。时点数列相对数时间数列9☆由一系列同类的相对指标按时间先后顺序排列起来所形成的动态数列。例：2001-2005年人口自然增长率数列。☆相对数时间数列用来反映社会经济现象的比例关系、结构、速度等的发展变化过程。※注意：相对数时间数列中的各个指标数值是不能相加的。因为每个相对指标对比的基础是不同的。（二）相对数时间数列10☆由一系列同类的平均指标按时间先后顺序排列起来所形成的动态数列。它反映社会经济现象一般水平的发展趋势。例如，我国1999-2005年全国职工年平均工资数列。P131※注意：平均数时间数列中的各个指标数值也是不能相加的。相加没有经济意义。三、时间数列的编制原则P133-134（三）平均数时间数列11动态数列的分析指标可归纳为两类：即水平分析指标和速度分析指标。本节介绍水平分析指标的计算方法。水平：是反映社会经济现象发展的绝对指标反映社会经济现象发展水平的指标有发展水平、平均发展水平、增减量和平均增减量。水平指标的关系图：※第二节动态数列的水平分析指标12水平指标的关系图水平基本指标增量指标增减量年距增减量增减1%的绝对值平均增减量累计发展水平平均发展水平逐期（环比）逐期（环比）增减量累计增减量13一、发展水平☆发展水平，是指动态数列中的每一项指标数值。它反映某种经济现象在一定时期或时点上所达到的水平，它是计算各种动态分析指标的基础。用a

i表示：

a0,

a1

,a2

,,an-1

,an最初水平最末水平中间水平14※基期水平：是对比时作为基准期的水平。

用通式来表示，即

a

i-1

※报告期水平：是要分析、研究时期的水平。用通式表示，即a

i

※注意：基期水平和报告期水平都是不固定的，它们会随着研究目的和研究时间的变更而作相应的改变。例如：我国2001-2005年末移动电话用户资料年份(t)20012002200320042005移动电话用户(万户)14522

a020601

a126995

a233482

a339343

a415平均发展水平的关系图平均发展水平绝对数时间数列的平均发展水平相对数时间数列的平均发展水平平均数时间数列的平均发展水平时点数列时期数列连续时点间断时点间隔相等间隔不等间隔相等间隔不等两个时期数列对比两个时点数列对比一个时期数列和一个时点数列对比两个连续时点数列两个间断时点数列由静态平均数组成的平均数时间数列由动态平均数组成的平均数时间数列16二、平均发展水平(动态平均数或序时平均数)是将整个时间数列作为一个整体，对不同时期的发展水平加以平均而得到平均数。※静态平均数与动态平均数的比较：联系：P135区别：1）计算依据不同静态平均数是根据变量数列来计算的；动态平均数根据动态数列来计算的。17

2）抽象差异的性质不同静态平均数是将同一时间、同一总体的某一数量标志在各总体单位之间的数量差异抽象化；动态平均数是将同一指标在不同时间上的数量差异抽象化。18（一）根据绝对数时间数列计算动态平均数1、根据时期数列计算动态平均数由于时期指标具有累加性的特点，累加的结果表示更长一段时期的总量。因此，可以用简单算术平均数的方法计算其序时平均数。19我国2001-2005年粮食总产量资料如下：年份(t)20012002200320042005粮食总产量(万吨)45264

a145706

a243070

a346947

a448401

a5计算：五年期间我国粮食的平均产量。20

（1）连续时点数列①间隔相等的连续时点：简单算术平均数

2、根据时点数列计算动态平均数某工厂员工出勤情况统计资料如下：时间星期一星期二星期三星期四星期五人数(人)240244242249250计算：该厂员工本星期平均出勤人数为：公式：21②间隔不等的连续时点：加权算术平均数公式：22※（2）间断时点数列①间隔相等的间断时点数列当掌握的资料是间隔相等的期初或期末资料时，计算动态平均数时，假设时点指标在两个间断时点间的变动是均匀的。动态平均数分两步计算：第一步：计算出每一间隔的简单算术平均数；a

1

,

a

2

,a

3

,,a

n-1

,

a

n23第二步：将每一间隔的简单算术平均数再计算

简单算术平均数。☆根据n项时点指标只能计算出(n-1)项简单算术平均数。24例2：根据我国2001-2005年年末人口资料计算4年间的年平均人口。=516859.5÷4=129214.875（万人）年份年末人口数（万人）2001127627200212845320031292272004129988200513075625②间隔不相等的间断时点数列第一步：计算出每一间隔的简单算术平均数第二步：将每一间隔的简单算术平均数再按时间间隔用加权算术平均数的方法计算整个时间内的动态平均数。例题P13626※注意：相对数绝对不能直接相加用简单算术平均数的方法来计算动态平均数。切记！！！（二）根据相对数时间数列计算动态平均数（1）分子、分母均为时期数列（2）分子、分母均为时点数列（3）分子、分母为时期或时点数列27因为：1、分子、分母均为时期数列28例3：某企业2004年第三季度生产计划完成情

况见下表所示。

要求：计算其第三季度的平均计划完成程度。时间7月份8月份9月份a:实际产量（件）800900950b:计划产量（件）750800850c:产量计划完成%c=a/b106.7112.5111.8第三季度平均每月计划完成程度=291）分子、分母均为间隔相等的间断时点数列2、分子、分母均为时点数列基本公式：两个变形公式：根据掌握资料的情况来选择。30例题见教材P14231应该以间隔的长度为权数，采用加权算术平均数的方法。2）分子、分母均为间隔不等的间断时点数列32时间

1月末

3月末

9月末12月末a:生产工人数435452462576b:全体职工人数580580600720c:生产工人占全体职工的%75787780要求：计算该企业2003年11个月生产工人占全部职工人数的平均比重。例4：某企业2003年职工人数资料：2003年11个月生产工人占全部职工人数的平均比重33分子数列为时期数列，分母数列为时点数列例5：根据2001-2005国内生产总值和年末人口数，计算五年的人均国内生产总值。3、分子、分母为时期、时点数列年份国内生产总值(亿元)年末总人口数(万人)2000——1267432001973151276272002102398128453200311669412922720041365151299882005182321130756341、由静态平均数组成的平均数时间数列由于静态平均数时间数列的分子数列是总体标志总量，属于时期数列；其分母数列是总体单位总量，可能是时点数列，也可能是时期数列。因此，计算这种静态平均数时间数列的动态平均数和相对数时间数列的计算方法相同。（三）根据平均数时间数列计算动态平均数35例6：某厂2003年上半年工人劳动生产率资料如下表所示：求该厂上半年平均每人劳动生产率月份工业总产值（元）a

平均人数（人）b

工人劳动生产率（元/人）c=a/b

1月份330000605500

2月份396500656100

3月份394400685800

4月份441000706300

5月份468000726500

6月份48300070690036变形方法：加权平均法

372、由动态平均数组成的平均数时间数列1）时间长度相等，可以用简单算术平均数的方法计算动态平均数。例7：2003年某煤矿各季度平均月产量资料季度一二三四平均月产量（万吨）180220230210要求：计算全年平均月产量（更长时间的序时平均数）382）时间长度不等，可以时期长度为权数，用加权算术平均数的方法计算动态平均数。例8：2003年某市各期间客车乘客容量的平均人次数资料如下表：期间（月份）1-23-67-910-1112月平均人次数(万人次)400250300280420=306.67（万人次）要求：计算全年平均每月人次数。39增减量＝报告期水平－基期水平＞0增长量

增减量＝报告期水平－基期水平＜0减少量由于采用的基期不同，增减量可以分成为：逐期（环比）增减量和累计增减量。1.逐期增减量=报告期水平–前一期水平

（一）增减量指标三、增量指标402.累计增减量=报告期水平–某一固定基期水平※3.逐期增减量与累计增减量之间的关系：逐期增减量之和等于累计增减量要求：计算并填写下表空白处的指标数值。年份(t)20012002200320042005移动电话用户（万户）14522

a0

20601

a126995

a2

33482

a3

39343

a4逐期增长量——累计增长量——41（二）年距增减量指标年距增减量=报告期水平–上年同期水平例10：2004年第一季度我国主要钢铁公司钢铁产量年距增长量资料如下：单位：万吨钢铁公司04年一季度03年一季度同期增长量宝钢517486.4？鞍钢272234？武钢220205.2？首钢197190.5？马鞍山18671.81？可以消除季节变动的影响，表明同比或同期增减的绝对数量42

（三）增减1%的绝对值

1.环比（逐期）增减1%的绝对值=2.定基（累计）增减1%的绝对值=（四）平均增减量平均增减量是将逐期增减量进行平均的结果4344※第三节动态数列的速度分析指标速度分析指标发展速度

增减速度平均发展速度平均增减速度=平均发展速度–1定基发展速度=a

i÷a

0

环比发展速度=a

i÷a

i-1

定基增减速度=a

i÷a

0–1环比增减速度=a

i÷a

i-1–1年距发展速度=a

ji÷a

(j-1)i

年距增减速度=a

ji÷a

(j-1)i–1几何平均法（水平法）方程式法（累计法）i=1,2,3,…,n；j—第j年，j=1,2,3,…,m45一、发展速度发展速度是社会经济现象报告期水平与基期水平对比而得出的相对指标。它表明报告期水平已经发展到基期水平的若干倍或百分之几。基本公式：发展速度的种类：由于对比的基期不同，发展速度又定基发展速度和环比发展速度之分。461.定基发展速度是现象在n期内总的发展速度，又称之为“总速度”。计算公式为：2.环比发展速度是报告期水平与前一期水平之比。计算公式471）定基发展速度等于环比发展速度的连乘积※3.定基发展速度与环比发展速度的关系2）两个相邻时期的定基发展速度之比，等于相应时期的环比发展速度。即：483）定基发展速度与环比发展速度的比较图是某月（或某季）发展水平与去年同月或同季发展水平对比的相对发展程度。定基发展速度环比发展速度4.年距发展速度49例11：我国2001-2005年移动电话用户资料年份(t)20012002200320042005移动电话用户（万户）14522

a0

20601

a126995

a2

33482

a3

39343

a4环比发展速度——？？？？定基发展速度？？？？100%钢铁公司04年一季度03年一季度年距发展速度宝钢517486.4？鞍钢272234？武钢220205.2？首钢197190.5？马鞍山18671.81？50增减速度是根据增减量与其基期发展水平的对比而求得的相对指标。其计算公式为：二、增减速度当发展速度＞100%时，增减速度为正值，表示现象的增长速度常用“增加了”等词汇来描述或说明；51当发展速度＜100%时，增减速度为负值，表示现象的降低（或减少）速度常用“减少了”或“降低了”这样的词汇予以说明。增减速度的种类：由于对比的基期不同，增减速度可以分为：1.定基增减速度计算公式：522.环比增减速度※注意：定基增减速度≠环比增减速度的连乘积两者之间不存在直接的数学换算关系。53例12：我国2001-2005年移动电话用户资料年份(t)20012002200320042005移动电话用户（万户）14522

a0

20601

a126995

a2

33482

a3

39343

a4环比发展速度——定基发展速度环比增长速度——定基增长速度——100%要求：填写上表空白处的指标数值。543.年距增减速度是指年距增减量与上年同期发展水平对比的相对数。用于说明在上年同期水平基础上增加或减少的百分比或倍数。计算公式：年距增减速度可以消除季节变动的影响。55平均发展速度是各期环比发展速度的动态平均数。计算方法有几何平均法和方程式法两种。（一）几何平均法（水平法）三、平均发展速度

现象发展的总速度，不等于各年发展速度之和而等于各年环比发展速度的连乘积。因此，求环比发展速度的平均数，应按连乘法，用几何平均数公式来计算。56设X为各期的环比发展速度，则从最初水平

a0出发，以平均发展速度代替各期的环比发展速度，经过n期的发展，正好达到最末水平

an

，公式为：实际环比发展速度平均发展速度·······①·······②57例13：我国2001-2005年移动电话用户资料····③年份(t)20012002200320042005移动电话用户（万户）14522

a0

20601

a126995

a2

33482

a3

39343

a4环比发展速度——定基发展速度141.9%131.0%124.0%117.5%141.9%185.9%230.6%270.9%100%58适用范围：①只有当整个时期内现象的各期水平比较均匀地向同一方向发展时，平均发展速度才能反映现象发展变化的程度的一般水平。如果现象在研究的时期内出现了特殊的变化，时升时降，且升降幅度较大时，计算的平均发展速度就会降低其代表性，甚至失去实际意义。59②如果个别环比发展速度出现负值或

0时，不仅发展方向不同，而且经济意义也有本质的差别。例如，利润指标其正值是盈利，负值则为亏损，这已属于非同质现象了。至于

0

就更无意义了。遇到这种情况时，可以用总速度或分成几段计算其平均发展速度，然后再作具体分析。60方程式法的原理：从最初水平a0出发，各期按平均发展速度计算发展水平，则计算的各期发展水平累计总和，应与实际所具有的各期发展水平的累积总和相等。列出方程，再求解，便得出平均发展速度。设为平均发展速度，按计算的各期水平的假定值为：（二）方程式法（累计法）61在没有《平均增长速度查对表》的情况下，可以用计算器采用逐次逼近的方法直接求解高次方程。这种方法的基本思想是在高次方程正根各期的假定（计算）水平各期的实际水平一元高次方程62范围内进行试项，找出正根的区间范围，然后利用导函数切线法进行逼近，得出满足方程式的实根近似值。导函数的切线公式为：n=0,1,2,3,…逐项逼近值逼近值的函数值逼近值函数的一阶导数值切线逼近值63只要an+1

≠

an

，就以an+1代替an进行逼近试算，这样就可以步步逼近，在满足误差范围的条件下，直到an+1

=

an为止。寻找正

根区间以P178，第7题的乙工厂为例说明切线逼近法的运用。64根据下列方程式寻找正根区间：①＜065可见，落在[1，1.1]区间内。于是，可以用切线逼近法求解平均发展速度。切线逼近法的基本公式：＞0②66由于a1

≠

a0

，再用a1代替a0进行逼近试算由于a4=

a3=1.0453，逐次逼近试算就此结束平均发展速度（）=1.0453=104.53%67四、平均增减速度是各期环比增减速度的平均值。但是，它不能根据各期环比增减速度指标直接求得，而是要根据增减速度与发展速度之间的运算关系，先计算出平均发展速度指标，然后将其减去1或100%，即可求得平均增减速度。平均增减速度=平均发展速度–1＞0增长速度平均增减速度=平均发展速度–1＜0降低速度68五、运用平均发展速度时应注意的问题1.根据统计研究目的选择技术方法。几何平均法或方程式法P151-1522.要注意社会经济现象的特点。稳定地上升或下降——几何平均法；无规律地升降交替——方程式法。3.采用分段平均数来补充说明总平均数。4.注意速度指标与水平指标的结合运用。69第四节长期趋势的预测

一、长期趋势的因素分析二、间隔扩大法三、移动平均法四、最小平方法70一、长期趋势的因素分析（一）动态数列变动的影响因素动态数列所反映某一数量特征的发展变化是由多种复杂因素共同作用的结果，可将动态数列中的影响因素大致归纳为4类，即长期趋势T、季节变动S、循环变动C和不规则变动I。711.长期趋势（Trend）是指现象在一个相当长的时期内，受某种稳定性因素影响所呈现出的上升或下降趋势，也可以表现为只围绕某一常数值而无明显增减变化的水平趋势。长期趋势依其变动的具体形式不同，可以概括地划分为线性趋势和非线性趋势两类。在经济管理中，长期趋势往往反映了经济总量或经营规模的增长过程及其基本特征，因而长期趋势模型又称为增长模型。

722.季节变动（SeasonalFluctuation）是指现象受季节更替的影响，以一年为周期随着时间的变动而呈现的周期性波动。引起季节变动的原因既有自然因素，如气候变化、气象环境等；也有人为因素，如节假日、风俗习惯等。季节变动比较明显的行业有：农业、交通运输业、旅游业、商业、建筑业等。733.循环变动（CyclicalFluctuation）是指社会经济现象围绕长期趋势的一种高低往复、周而复始的规则性变动。循环变动不以一年为周期，通常是由于经济环境、经济因素的变动，及其相互作用而引发的规律性波动。744.不规则变动（IrregularVariations）即为剩余变动，是指动态数列中除了长期趋势（T）、季节变动（S）和循环变动（C）之外的，受随机的、偶然的、突然发生的、不规则的因素引起的一种非趋势性、非周期性的变动。75（二）动态数列变动因素的测定模型将长期趋势（T）、季节变动（S）、循环变动（C）和不规则变动（I）从动态数列中分离出来，然后将这些因素按照一定的方式组合起来，构成反映事物及其某一数量特征发展变化的某种模型，就是动态数列变动因素的测定模型。根据对动态数列中变动因素之间相互关系的不同假设，可以组成两类动态数列变动因素的测定模型：加法模型和乘法模型。761.加法模型：当动态数列中的T、S、C和I呈现出相互独立的关系时，动态数列的总变动（Y）表现为4种因素变动的总和。即：

Y=T+S+C+I在加法模型中，T、S、C和I均为绝对数。2.乘法模型：当动态数列中的T、S、C和I呈现出相互影响的关系时，动态数列的总变动（Y）表现为4种因素变动的连乘积。即：

Y=T·S·C·I其中：Y、T为绝对数，S、C和I是相对数。77二、间隔扩大法（时距扩大法）间隔扩大法的基本思想是将原有数列中各期指标数值按照较长的时间间隔加以归并，形成新的时间数列，以消除偶然因素和季节变动的影响，显现出社会经济现象的长期变动趋势。78

1999—2002年某地工业增加值798081三、移动平均法

移动平均法的基本思想是对原数列中的指标值按一定时间跨度移动，计算出一系列新的序时平均数，形成新的时间数列，以消除偶然因素和季节变动的影响，显示出长期趋势。821.移动平均的项数越多，对数列的平滑修匀作用越大，效果越好。2.平均项数为奇数，只需一次平均；平均项数为偶数，则需进行二次平均。3.数列中包含有周期变动的，平均项数必须与周期长度相同。4.移动平均后，新数列项数比原数列项数少。

奇数平均，首尾各少（n-1）/2项偶数平均，首尾各少n/2项特点：83应用最小平方法研究事物的发展趋势，需要借助一定的数学模型，对原有的动态数列拟合一条最接近实际数值的趋势线来进行修匀和预测。拟合的趋势线必须满足以下两个条件：①②这是最小平方法的中心思想（原理）。yc—趋势线的估计值y—原数列的实际数值※四、最小平方法（最小二乘法）84最小平方法既可以拟合趋势直线，也可以拟合趋势曲线。所以它是分析长期趋势的十分普遍和理想的方法。（一）直线方程的拟合直线方程的特征：如果事物的发展，其逐期增长量基本相等，则可以考虑拟合一条趋势直线。直线方程的一般形式为：85我们可以根据已经掌握的y和t历史资料，运用最小平方法求出待定参数a和b。计算方法是根据，要使Q为最小值，则要求Q对a和b的一阶偏导数，并令其等于0，就可以推导出两个联立方程：86为了计算方便，我们可以对时间t进行简化假设：2种方法：87①当动态数列的时间项数为奇数时，可以假设t的中间项为时间原点0，即：19972003这时，时间项数的排列顺序依次为：

······，–

3，–

2，–1，0，1，2，3，······②当动态数列的时间项数为偶数时，可以假设正中间相邻两个时间的中点为时间的原点0即：88这时，时间项数的排列顺序依次为：……，–

5，–

3，–1，1，3，5，……上述假设使时间

t

的取值正负抵消，使Σt=

0，则基本联立方程可以简化为：

举例说明：89例15：某企业97—03年的产品销售额资料如下表所示：年份销售额(y)时间(t)y·tt2yc199784-3-252982.641998

89（5）-2-178489.141999

95（6）-1-95195.642000

101（6）000102.142001

108（7）11081108.642002

115（7）22304115.142003

123（8）33699121.64合计(Σ)715—18228714.98要求：用最小平方法拟合趋势方程，并计算2004年的趋势值。（金额单位：万元）9091由上表可知：Σy=715,Σty=182,Σt

2=28,n=7

将上述资料代入简化的联立方程组中，可得

a=102.14b=6.50

将a、b代入直线方程式中，可得将各年的t

值代入上列方程式中，可得各年的趋势值yc

。可以看出Σy与Σyc基本一致。2004年的销售额：即当t=4时，yc=102.14+6.5×4=128.14（万元）

92（二）抛物线方程的拟合抛物线方程的特征：如果事物的发展，其逐期增长量的增长量（即各期的二级增长量）基本相等，则可以考虑拟合一条趋势曲线——抛物线方程。抛物线方程的一般形式为：抛物线方程的二级增长量是相等的，具体计算过程见下表：

yc=102.14+6.5×4=128.14（万元）该数值可作为制定下一年销售计划的参考93时间(t)逐期增长量二级增长量1a+b+c——2a+2b+4cb+3c—3a+3b+9cb+5c2c4a+4b+16cb+7c2c5a+5b+25cb+9c2c6a+6b+36cb+11c2c…………………抛物线方程二级增长量计算表94抛物线方程中，有a、b、c三个待定参数，根据最小平方法的基本原理，同样用对a、b、c求一阶偏导数的方法，可以推导出由三个方程组成的基本联立方程组：95为了简化计算，我们同样可以对时间t

进行假设，方法同直线方程。通过假设，使Σt=0，Σt

3=0，则上述基本联立方程可以简化为：举例说明：96例16:某企业93—03年产品销量资料如下表所示：单位：万件时间销售量（y）逐期增长量二级增长量t19931000——-519941200200—-41995144024040-31996172128141-21997204031938-1199824023624301999280340139120003243440392200137254824232002424652139420034808562415合计28628——097时间销售量(y)tt

2t

4t·yy·t

219931000-525625-50002500019941200-416256-48001920019951440-3981-43201296019961721-2416-3442688419972040-111-204020401998240200000199928031112803280320003243241664861297220013725398111175335252002424641625616984679362003480852562524040120200Σ28628011019584188630352098通过求解：a=2401.61，b=380.78，c=20.09则抛物线方程式为：y

c=2401.61+380.78

t+20.09

t

2由上表可知：Σy=28628,Σty=41886,n=11Σt

2=110,Σyt

2=303520,Σt

4=1958,

28628=11a+110c41886=110b303520=110a+1958c99当需要预测该企业2004年产品销售量时，设定时间t=6，并将其代入上式，即可得出预测的2004年的销售量为：2401.61+380.78×6+20.09×36=5409.53（万件）（三）指数方程的拟合如果事物的发展，其环比发展速度（环比增长速度）基本相等，则可以考虑拟合一条趋势曲线——指数方程。100指数方程的一般形式为：

y

c=

a·b

t