统计学9时间数列分析与预测

第9章时间数列分析与预测时间数列的编制时间数列的分析指标长期趋势的测定季节变动的测算循环变动的测算不规则变动的测算时间数列的预测方法19.1时间数列的编制9.1.1时间数列的意义和种类时间数列的意义我们通常把反映事物在时间上变化的统计数据，按时间顺序排列起来所形成的数列称为时间数列。基本要素现象所属的时间现象在不同时间上的统计数据时间数列的作用描述事物在过去时间的状态分析事物发展变化的过程和结果，探索其发展变化的规律性并据以预测未来可以利用不同的但有互相联系的数据进行对比分析或相关分析。2时间数列的种类按指标的形式划分总量指标时间数列是将总量指标在不同时间上的数值按时间先后顺序排列形成的数列。时期数列时点数列相对指标时间数列是将一系列同类相对指标值按时间先后顺序排列而形成的数列。平均指标时间数列是将一系列平均指标值按时间先后顺序排列而形成的数列。3表国内生产总值等时间序列年份国内生产总值(亿元)年末总人口(万人)人口自然增长率(‰)居民人均消费水平(元)19901991199219931994199519961997199818319.521280.425863.734500.746690.758510.568330.474894.279003.311433311582311717111851711985012112112238912362612476114.3912.9811.6011.4511.2110.5510.4210.069.5380389610701331178123112726294430944按指标变量的性质和数列形态划分随机性时间数列非随机性时间数列平稳性时间数列由确定性变量构成的时间数列，影响数列各期数值的因素是确定的，且各期数值总是保持在一定的水平上。趋势型时间数列各期数值逐期增加或减少，呈现一定的发展变化趋势的时间数列。季节性时间数列按月统计的各期数值随一年内季节变化而周期性波动的时间数列。59.1.2时间数列的编制原则注意时间单位（年、季、月等）的选择

注意数列前后指标的可比性

总体范围可比经济内容可比计算方法可比计算价格和计量单位可比69.2时间数列的分析指标9.2.1时间数列的水平分析指标发展水平发展水平又称发展量。它反映社会经济现象在各个时间上所达到的规模或水平。最初水平最末水平中间水平基期水平报告期水平7平均发展水平概念平均发展水平又称序时平均数。它是时间数列中各项发展水平的平均数，反映现象在一段时期中发展的一般水平。

平均发展水平与一般平均数的关系区别说明的内容不同。计算的依据不同。联系都是将研究现象的个别数量差异抽象化，概括地反映现象的一般水平。

平均发展水平的计算由总量指标时间数列计算8国内生产总值等时间数列年份国内生产总值(亿元)年末总人口(万人)人口自然增长率(‰)居民消费水平(元)19901991199219931994199519961997199818547.921617.826638.134634.446759.458478.167884.674772.479552.811433311582311717111851711985012112112238912362612481014.3912.9811.6011.4511.2110.5510.4210.069.5380389610701331178123112726294430949计算公式：

时期序列——间隔相等例1由前表第1栏数据可得1990—1998年期间我国国内生产总值年平均数为：10连续时点的时点数列例2，某商业银行某年1月13日—17日的存款余额（万元）分别为：766、664、843、578、639，则这5天的平均余额为：

=（766+664+843+578+639）/5=698（万元）11当间隔相等(f1=f2=…=fn-1)时，有a1a2a3anan-1间断时点的时点序列

—间隔相等12【例3】

根据前表中年末总人口数序列，计算1991～1998年间的年平均人口数。13间断时点的时点序列—间隔不相等a1a2a3ana4an-1f1f2f3fn-114表2某种股票1999年各统计时点的收盘价统计时点1月1日3月1日7月1日10月1日12月31日收盘价(元)15.214.217.616.315.8【例4】设某种股票1999年各统计时点的收盘价如表2，计算该股票1999年的年平均价格。15由相对指标或平均指标时间数列计算由相对数或平均数数列计算平均发展水平，应当符合该相对数或平均数本身的计算公式式中：代表相对指标或平均指标动态数列的序时平均数；代表分子数列的序时平均数；代表分母数列的序时平均数；数列和数列既可以是时期数列也可以是时点数列。16【例5】已知1994~1998年我国的国内生产总值及构成数据如表3。计算1994~1998年间我国第三产业国内生产总值占全部国内生产总值的平均比重表4我国国内生产总值及其构成数据年份19941995199619971998国内生产总值(亿元)

其中∶第三产业(亿元)

比重(%)46690.714930.031.958510.517947.230.768330.420427.530.174894.224033.332.179003.326104.332.8

分子分母均为时期性总量指标17计算结果

第三产业国内生产总值的平均数全部国内生产总值的平均数第三产业国内生产总值所占平均比重18

例6表4中数据是我国1990年到1997年年末全国从业人员资料。计算1991年到1997年的年平均第三次产业从业人员在全国从业人员中所占比重。年份9091929394959697年末从业人数（万人）年末第三次产业从业人数（万人）第三次产业从业人数比重（%）63909647996555466373696006711967947118281297912979154561685117901183751224719.818.56885818.921.223.024.0826.026.4

分子分母均为时点性总量指标19

第三次产业从业人数占总从业人数的比重是相对数时间数列，它由两个时点数列产生，且时间间隔相同，故应用首末折半法分别求出总从业人数的年平均数和第三次产业从业人数的年平均数，再将二者对比。2021增长量是以绝对数形式表示的速度分析指标，是两个不同时期发展水平之差。增长量＝报告期水平－基期水平逐期增长量累计增长量逐期增长量与累计增长量的关系累计增长量等于相应的逐期增长量之和两相邻时期累计增长量之差，等于相应时期的逐期增长量年距增长量22平均增长量水平法总和法239.2.2时间数列速度分析指标发展速度发展速度是指报告期水平与基期水平的比值环比发展速度定基发展速度定期发展速度与环比发展速度之间的关系定基发展速度等于各相应的环比发展速度的连乘积相邻时期的定基发展速度相除等于相应的环比发展速度，年距发展速度反映本期发展水平与上年同期对比发展的相对水平，以消除季节变动的影响。24增长速度环比增长速度定基增长速度定基增长速度与环比增长速度之间没有直接的换算关系。但发展速度与增长速度可以相互换算，即：增长速度＝发展速度－１（或100％）年距增长速度年距增长速度=年距发展速度-125速度的表现形式和文字表述一般表示用%、倍数，也有用‰、翻番数表示翻番数与倍数的区别从基期到报告期翻m番，则有：发展速度—发展为、相当于、增长到、减少到、下降为…报告期水平增长为基期水平的…%；以基期水平为100%，报告期水平增长为…%.增长速度—提高（了）、减少（了）、下降（了）、…报告期水平比基期水平增长（了）的…%；以基期水平为100%，报告期水平增长（了）…%。26发展速度与增长速度的计算例子表5第三产业国内生产总值速度计算表年份19941995199619971998国内生产总值(亿元)14930.017947.220427.524033.326104.3发展速度(%)环比定基—100120.2120.2113.8136.8117.7161.0108.6174.8增长速度(%)环比定基——20.220.213.836.817.761.08.674.8【例7】

根据前表中第三产业国内生产总值序列，计算各年的环比发展速度和增长速度，及以1994年为基期的定基发展速度和增长速度。

27平均速度平均发展速度几何平均法方程法（累积法）累积法的特点：各期计算水平的总和等于各期实际水平的总和，各期计算的定基发展速度的总和等于各期实际定基发展速度的总和。几何平均法和方程法计算平均发展速度的实质、数理根据与应用场合各不相同，在选用计算平均发展速度的方法时，应根据所研究现象的特点来确定。如果是侧重于所研究现象最末期发展水平，应采用几何平均法。若是侧重于所研究现象各年发展水平的累计总和，应采用方程法。28平均增长速度平均增长速度＝平均发展速度-１（100%）增长１%的绝对值29

例7：我国2000年欲在1980年国内生产总值的基础上翻2番。问年平均增长速度至少为多少才能达此目标？水平法平均发展速度与平均增长速度的算例30

例8：1982年末我国人口是10.15亿人，人口净增长率14.49‰，如果按此速度增长，2000年末将有多少亿人？若2000年末要将人口控制在12亿人以内，人口年均净增长率应控制在多少？319.2.3应用时间数列分析指标时应注意的问题不宜计算速度的情况当时间序列中的观察值出现0或负数时，不宜计算速度。速度与绝对水平的结合分析在有些情况下，不能单纯就速度论速度，要注意速度与绝对水平的结合分析。32长期趋势变动T指现象在一个相当长时期内持续发展变化的总趋势。季节变动S一年内由于社会、政治、经济、自然因素的影响，形成的以一定时期为周期的有规律的重复变动。循环变动C以若干年（或季、月）为一定周期的有一定规律性的周期波动。不规则变动I由于临时性、偶然性的因素引起的非周期性或趋势性的随机变动。9.3长期趋势的测定

9.3.1时间数列的构成要素与模型时间数列的构成要素3334公元前1046年—2001年中国人口变动时间序列（单位：亿）351962年1月——1975年12月平均每头奶牛月产奶量序列361949-2004年我国人口自然增长率变动趋势图最常用的模型乘法模型加法模型379.3.2长期趋势的测定时距扩大法概念时距扩大法是将时距较短的时间数列整理为时距较长的时间数列，以消除较小时距单位内偶然因素的影响，从而显示现象变动的基本趋势。

方法总数扩大法（时期数列）平均数扩大法（时期、时点数列）

38移动平均法概念移动平均法是对原时间数列按一定项数逐次递移，并计算其序时平均数，这些序时平均数形成的新数列消除或削弱了原数列中由于短期偶然因素影响而形成的差异，达到对原始序列进行修匀的目的，从而显示现象在较长时期的基本发展趋势。特点移动平均的时距项数的大小要根据时间序列的特点来定。移动平均时距项数为奇数时，只需一次移动平均，其平均值作为移动平均项数中间一期的数值；移动平均时距项数为偶数时，移动平均值无法对正某一时期，需再进行一次相邻两平均值的移动平均，才能使平均值对正某一时期，这称为移正平均。移动平均法适用于分析时间序列的长期趋势，但一般不适合对现象未来的发展趋势进行预测。

39数学模型法线性趋势直线趋势方程：根据最小二乘法得到求解和的标准方程为解得：40非线性趋势二次曲线当现象发展的趋势为抛物线形态时，即数列的二阶差分大体相同时，可配合二次曲线（senconddegreecurve）。其一般方程为：41根据最小二乘法(leastsquaremethod)求解参数的标准方程为：取时间序列的中间时期为原点，则有42指数曲线当现象的长期趋势每期大体上按相同的增长速度递增或递减变化时，可拟合为指数曲线方程：为确定指数曲线中的参数，可采取“线性化”手段将其化为对数直线形式，即两端取对数，得：再取反对数即求得参数的估计值。439.3.3趋势线的选择进行定性分析绘制散点图分析数据特征分段拟合最小均方误差分析44简捷计算法：取时间序列的中间时期为原点解得：459.4季节变动的测算

9.4.1季节变动及其测算目的通过对客观现象季节变动的分析和研究，可以认识其变化规律、预测未来，为当前和未来的行动决策提供依据。通过测定季节变动还能够消除时间序列中的季节变动，使之成为不包含季节变动的时间数列，以便更好地分析其他因素的影响。46季节变动分析的方法直接平均法

直接平均法计算季节指数的步骤计算同月(或同季)的平均数计算全部数据的总月(总季)平均数计算季节指数(S)

计算调整系数，得出调整后的季节指数。47【例】

已知我国1978～1983年各季度的农业生产资料零售额数据如下表。试用按季平均法计算各季的季节指数。农业生产资料零售额季节指数计算表年份销售额(亿元)一季度二季度三季度四季度全年合计19781979198019811982198362.671.574.875.985.286.588.095.3106.3106.0117.6131.179.188.596.495.7107.3115.464.068.768.569.978.490.3293.7324.0346.0347.5388.5423.3合计456.5644.3582.4439.82123.0同季平均76.08107.3897.0773.3088.46季节指数(%)86.01121.39109.7382.86100.0048趋势剔除法先将序列中的趋势和循环变动予以消除，再计算季节指数。计算季节指数的步骤步骤1计算移动平均趋势值(T*C)。步骤2将原数列各项数据除以移动平均数列对应时间的各项数据，从序列中剔出趋势值(Y/T*C)。步骤3将消除了趋势变动和循环变动的数列重新按前述方法计算季节指数(S)。499.4.3季节变动的调整消除季节变动的直接方法是将原时间序列除以相应的季节指数，即：509.5循环变动的测算9.5.1循环变动及其测算目的

为了从数量上揭示客观现象循环变动的规律性。为了深入研究不同现象周期性循环波动的内在联系，以便于分析引起循环变动的原因。通过对循环规律的认识，对事物今后的发展作出科学预测，为制定有效遏制循环变动不利影响的决策方案提供依据。9.5.2循环变动的测算方法直接法剩余法519.4.2季节变动分析的原理与方法季节变动分析的原理

将季节变动规律归纳为一种典型的季节模型。

季节模型由季节指数所组成，各指