高中数学人教B版第二章函数函数 优秀

第二章2.1.3第A级双基巩固一、选择题1．函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则有eq\x(导学号65164376)(A)A．f(1)≥25 B．f(1)＝25C．f(1)≤25 D．f(1)>25[解析]∵f(x)＝4x2－mx＋5的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝eq\f(m,8)，由f(x)在区间[－2，＋∞)上为增函数，∴eq\f(m,8)≤－2，即m≤－16.又f(1)＝4－m＋5＝9－m≥25.2．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(a>0)．若x1<x2，x1＋x2＝0，则eq\x(导学号65164377)(C)A．f(x1)>f(x2)B．f(x1)＝f(x2)C．f(x1)<f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定[解析]f(x1)－f(x2)＝axeq\o\al(2,1)＋2ax1＋4－axeq\o\al(2,2)－2ax2－4＝a(x1－x2)(x1＋x2)＋2a(x1－x2∵a>0，x1<x2，x1＋x2＝0，∴f(x1)－f(x2)＝2a(x1－x2∴f(x1)<f(x2)．3．已知函数f(x)在其定义域R上单调递增，则满足f(2x－2)<f(2)的x的取值范围是eq\x(导学号65164378)(D)A．(－∞，0) B．(2，＋∞)C．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)[解析]∵函数f(x)在其定义域R上单调递增，∴2x－2<2，∴x<2，故选D．4．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是eq\x(导学号65164379)(C)A．2 B．－2C．2或－2 D．0[解析]当a＞0时，函数y＝ax＋1在[1,2]上单调递增，∴ymin＝a＋1，ymax＝2a∴2a＋1－a∴a＝2.当a＜0时，函数y＝ax＋1在[1,2]上单调函数递减，∴ymin＝2aymax＝a＋1，∴a＋1－2a∴a＝－2.综上可知a＝±2.二、填空题5．函数y＝－eq\f(a,x)在(0，＋∞)上是减函数，则y＝－2x2＋ax在(0，＋∞)上的单调性为__单调递减\x(导学号65164380)[解析]∵函数y＝－eq\f(a,x)在(0，＋∞)上是减函数，∴a<0.又函数y＝－2x2＋ax的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x＝eq\f(a,4)<0，∴函数y＝－2x2＋ax在(0，＋∞)上单调递减．6．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋61≤x≤2,x＋7－1≤x≤1))，则f(x)的最大值、最小值分别为__10,6__.eq\x(导学号65164381)[解析]函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，∴函数f(x)的最大值为f(2)＝10，最小值为f(－1)＝6.三、解答题7．已知f(x)是定义在[－2,1]上的增函数，若f(t－1)<f(1－3t)，求t的取值范围.eq\x(导学号65164382)[解析]∵函数f(x)是定义在[－2,1]上的增函数，且f(t－1)<f(1－3t)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤t－1≤1,－2≤1－3t≤1,t－1<1－3t))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤t≤2,0≤t≤1,t<\f(1,2)))，即0≤t<eq\f(1,2).故t的取值范围为0≤t<eq\f(1,2).8．求函数f(x)＝eq\f(1,1－x)的单调区间.eq\x(导学号65164383)[解析]设x1、x2是任意两个实数，且x1<x2，则Δx＝x2－x1>0，Δy＝f(x2)－f(x1)＝eq\f(1,1－x2)－eq\f(1,1－x1)＝eq\f(x2－x1,1－x21－x1).∵x2－x1＝Δx>0，∴当1<x1<x2时，1－x1<0,1－x2<0，∴(1－x2)(1－x1)>0，∴Δy>0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(1，＋∞)上是增函数．当x1<x2<1时，1－x1>0,1－x2>0，∴(1－x2)(1－x1)>0，∴Δy>0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，1)上是增函数．综上可知，函数f(x)＝eq\f(1,1－x)的单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)．B级素养提升一、选择题1．函数y＝|x|在(－∞，a]上是减函数，则a的取值范围是eq\x(导学号65164384)(D)A．a>0 B．a≥0C．a<0 D．a≤0[解析]如图所示：∴函数y＝|x|的单调减区间为(－∞，0]，要使y＝|x|在(－∞，a]上是减函数，则有a≤0.2．设(a，b)、(c，d)都是f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为eq\x(导学号65164385)(D)A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定[解析]根据函数单调性的定义，所取两个自变量必须在同一单调区间内，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而x1、x2分别在两个单调增区间，故f(x1)与f(x2)的大小不能确定，选D．二、填空题3．已知函数y＝ax和y＝eq\f(b,x)在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx＋c在(－∞，0)上是__增__函数.eq\x(导学号65164386)[解析]∵y＝ax和y＝eq\f(b,x)在(0，＋∞)上都是减函数，∴a<0，b>0，结合二次函数图象可得，函数y＝ax2＋bx＋c在(－∞，0)上是增函数．4．设函数f(x)满足；对任意的x1、x2∈R，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是__f(－3)>f(－π)\x(导学号65164387)[解析](x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可得函数为增函数．∵－3>－π，∴f(－3)>f(－π)．三、解答题5．求函数y＝eq\r(x－1)－eq\f(1,x)的最小值.eq\x(导学号65164388)[解析]因为x－1≥0，且x≠0，所以x≥1，则函数f(x)的定义域为[1，＋∞)．又y＝eq\r(x－1)在[1，＋∞)上单调递增，而y＝eq\f(1,x)在[1，＋∞)上单调递减，所以函数y＝－eq\f(1,x)在[1，＋∞)上单调递增，所以函数y＝eq\r(x－1)－eq\f(1,x)在[1，＋∞)上单调递增．所以当x＝1时，ymin＝eq\r(1－1)－eq\f(1,1)＝－1，故所求的最小值为－1.C级能力拔高1．已知函数f(x)对任意x、y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－eq\f(2,3).eq\x(导学号65164389)(1)求证：f(x)是R上的单调递减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．[解析](1)证明：设x1、x2是任意的两个实数，且x1<x2，则Δx＝x2－x1>0，∵x>0时，f(x)<0，∴f(x2－x1)<0，又∵x2＝(x2－x1)＋x1，∴f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，∴f(x2)<f(x1)．∴f(x)是R上的单调递减函数．(2)解：由(1)可知f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)．而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－2.∴函数f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.2．已知函数f(x)＝eq\f(2,x－2)(x∈[3,6])．(1)讨论函数f(x)在[3,6]上的单调性，并证明你的结论；(2)求函数f(x)的最大值与最小值.eq\x(导学号65164390)[解析](1)取任意x1、x2∈[3,6]，且x1＜x2，∴Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f(x2)－f(x1)＝eq\f(2,x2－2)－eq\