7.4 二项分布与超几何分布(精讲)

二分与几分（讲思维导常见考1/

42433234243323考一二分【例全高二课时练）高尔钉板在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行水间隔相等的圆柱形铁钉如图)，并且每排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层5个出口处各放置一个容器接住小.（1理论上，小球落入4号器的概率是多少？（2一数学兴趣小组取3个球进行试验，设其中落入4号容器的小球的个数为，求的布列.【答案）

）布列答案见解析【解析）记“小球落入4号器”为事件A

，若要小球落入4号容，则需要在通过的四层中有三层向右，一层向左，∴理论上，小球落入4号容器的率P)

34

.（2落入4号器的小球的个数X的有可能取值为0，2，(0)01

2764

，1127(11，44642/

23333122333312k3320k20Ck3320(2)21，641(3)364X的分布列为

，X

0123P

2764

2764

964

164【一隅三反】1重庆市第七中学校高月考）若随机变量

～4,

，则

E

（）A．2【答案】

BCD．5【解析】因为

1～B2

，所以

4

12

，以E

.故选：2选全高二单测试）已知随机变量

1

，若使

P(X)

的值最大，则等（）A．5【答案】BC

BC

D【解析】令

C

k

202

，得k，即当6时，

PX(X)

；当

时，

((

；当

时，

PP()

，所以

(X和PX

的值最大.故选：.3/

21210102，10101000310100021210102，1010100031010003江苏淮安市·淮阴中高二期末）江苏实行的“新高考方案：32”式其中统考科目：“3”语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣”首先在在物理、历史门科目中选择一门”再从思想政治、地理、化学、生物4门目中选择2门校，根据统计选物理的学生占整个学生的

34

且在选物理的条件下择理的概率为选历史的条件下，选地理的概率为

．（1求该校最终选地理的学生率；（2该校甲、乙、丙三人选地的人数设为随机变量．①求随机变量X2的概率；②求X的概率分布列以及数学期望．【答案）

）；分布列见解，

2110

.【解析）该校最终选地理的生为事件A因此，该校最终选地理的学生为；

，

31474410

；（2①由题意可知，

7B3,

，所以，

X

3

3441；101000②由于

B

，则

310

3

27，10003

1891000

，3

4413

343

，所以，随机变量的分布列如下表所示X

0

1

PE

71010

271894413431000100010001000．4/

224213313333444224213313333444444陕西渭南市）已知某物种子每粒成功发芽的概率都为，植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独.假某次试验种子发芽，称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败.（1第一小组做了四次试验，该小组恰有两次失败的概率；（2第二小组做了四次试验，试验成功与失败的次数的差的绝对值为X，求的布列及数学期望【答案）

）案见解析；.【解析）记“该小组有两次败”为事件A

，24P(A27

.（2由题意可知X的可能取值为0，4.P(4

827

，PX4

，8181P(X4)0.81故X的布列为：X

024P

827

4081

1781(X)

8401714827

.考二超何布【例全高二单元测）现对某高校6名篮运动员在多次训练比赛中的得分进行统，将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下区[10内频率/组距0.0125)规定分数在10，20)，[20，30)，[30，40)的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16名动员作为该高校的篮球运动员表．5/

321321（1求a的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数；（2若从篮球运动员代表中选三人，求其中含有一级运动员人数X的分布列；（3若从该校篮球运动员中有回地选三人，求其中含有一级运动员人数Y的期望．【答案）a，4人）案见解析

34

.【解析）由频率分布直方图(0.0625＋0.0500＋0.0375＋＝1∴＝0.0250.其中为一级运动员的概率(0.0125＋0.0375)×5＝0.25∴选出篮球运动员代表中一级运动员为＝4．（2由已知可得X的能取值分别为0，1，3，CP(X＝0)＝＝，C316CP(X＝1)＝124＝，C316CP(X＝2)＝1＝，C70C3P(X＝3)＝＝，C314016∴X的布列为X

0123P

11332870

11401（3由已知得～(3,)，4∴(＝np＝3×

1＝，46/

∴含有一级运动员人数的望

34

.【一隅三反】1全国高二课时练习）冠肺炎疫情期间，为了更有效地进行防控，各地学校都发出延期开学的通知.很多学校及老师为响应各教育行政部门实行“停课不停学”的号召，让学生们在家通过收看网络直播的方式进行学习，已知高一某班共有学生21人其中男生12人女生9人现采用分层抽样的方法从中抽取7人，试他们对网络课程学习的效果，效果分为优秀和不优秀两种，优秀得2分不优秀分.（1应抽取男生女各多少人？（2若抽取的7人，人的试效果为优秀3人为不优秀，现从这7人随机抽取3人（i用X表示抽取的3人得分之，求随机变量x的分布列及数学期望；（ii）设事件A为抽取的人中，既有测试效果为优秀的，也有为不优秀的件发的概率【答案）4人）分布列答案见解析，数学期望：

6）.7【解析）因为采用分层抽样方法进行抽样，所以应抽取女生

7

9人抽取男421

人（2）随机变量的有可能取值为3，4，6.(X3)

C11C4，P(4)3CC377

，P(X5)

C3044，P43CC7

，所以随机变量的布列为X

3456P

135

1235

1835

435数学期望

(X)

11233353535

.（ii）由（i）知

()PX4)(X

12183535

，故事件A

发生的概率为

67

.2绵市·四川省绵阳油中学）某校五四青年艺术节选拔主持人，现有来自高一年级参赛选名，其中男生2名;高二年级参选手4，其中男生.从这8名赛选手中随机选择4人成搭档参7/

2222赛.（Ⅰ）设A为事件“选出的4人恰有2名生，且这2名生来自同一个年级事件发的概率（Ⅱ）设X为选出的4人男生的人数，求随机变量X分布列和数学期望【答案）

635

（Ⅱ）分布列见解析，数学期望

【解析）已知有

C

22623C8

6，所以事件A发生的概率为.35（Ⅱ）随机变量X的所可能取为1，2，3，4

Ck45C8

1,2,3,4

所以随机变量X的分布列为X

1

1P14所以随机变量X的数学期望

3377135147142

.

1143北京东城区）为了解生自主学习期间完成数学套卷的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下.（1从这班学生中任选一名男，一名女生，求这两名学生完成套卷数之和为4的率？（2若从完成套卷数不少于4套的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X，求随机变量X的布列和数学期望；（3试判断男学生完成套卷数方差

与女学生完成套卷数的方差s1

的大小（只需写出结论）【答案）

796

（2）详见解析（）

21【解析）设事件4,

：从这个班级的学生中随机选取一名男,名女,这两名学生完成套卷数之和为8/

由题意可知

11296

.（2完成套卷数不少于4本学生共人其男学生人数为4人,故的值为0,1,2,3,4.由题意可得

C4C8

；

C44C8

；

C44C8

；P

X

C3C44C8

；

C4C8

.所以随机变量的布列为X

0124P

170

835

1835

835

170随机变量的值2(3).1

116170707070

.考三二分与超何布合用【3浙台州市高二期中年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活，消费每超过元含600元，可抽奖次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一.方案一：从装10个形状大完全相同的小球(其中球2个，白球1个，黑球7个的奖盒中，一次性摸出3个其中奖规则为：若摸到2个红和1个球，享受免单优惠；若摸出个红和1个球则打5折；摸1个白球2个球打7折余情况不打方案二装有10个形状大小完全相同的小球其中红3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球连摸次每摸到1次球，立减200元（1若两个顾客均分别消费了600元且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概；（2若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？9/

【答案）

114400

）择第二种方案更合算.【解析）选择方案一若享受免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A，则

C121C10

，所以两位顾客均享受到免单的概率为

；（2若选择方案一，设付款金为元则可的取值为、CC2，PX50027，C31010

、

、

.

CC71，PC10

77120120

.故X的布列为，所以

XP

500700017712040120177911000910120120120

（元）

100091120若选择方案二，设摸到红球的个数为，款金额为Z，

Z

，由已知可得

3Y~3,

，故

31010

，所以

E200

（元）因为

E抽方案更合.【一隅三反】1辽大连市）学校游活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个球2个球，乙箱子里装有1个白2个黑球，这些除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸2个，若摸出的白球不少于2个，获奖次游戏结束后将球放回原箱）（1求在1次戏中，①摸出3个白的概率；②获奖的概率；10/

32410221010343241022101034（2求在4次戏中获奖次数X的布列及数学期望【答案）①，②）布列见解析，.105

(X

.【解析）设“在次戏中摸出i个白球”为事件

(i0,1,2,3),iC11(A)·2①C255②设“在1次戏中获奖”为事，则

2

，又

C2P(A)·2C25

C1132C25

且，互，所以

()P()(A)23

1172510

（2由题意可知X的有可能取值为0，1，3，4，由（1）

()

，

()()

310

，(B

4

38110000

，(P(B)4

()

3

710

3

1892500

，(2))4

2

13235000()4

()

310292500(X所以X的分列是

724011010000X0123P

81189132310292401100002500500025001000011/14

01233230，01233230，显然

7~B，10

，所以X的学期望E(X)=

．2广东云浮市）甲、乙某公司应聘面该公司的面试方案:应聘者从6道选题中次性随机抽取3道，照答对题目的个数为标准进行筛.已知道备题中应聘者甲有4道能正确完成2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是

，且每题正确完成与否互不影.(1)分别求甲、乙两人正确完成试题数的分布列，并计算其数学期;(2)请分析比较甲、乙两人谁的试通过的可能性较?【答案】(1)甲乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2；(2)甲过面试的概率较大．【解析）设X为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量，依题意可得：

XH

，∴

P(X

C

12C4，(4，(3)C5CC6

，∴X的布列为：X

123P

15

35

15∴

1312555

．Y~B3,

，12∴Y，1，27279P(Y2)

23

12427

，Y3

∴Y的布