高中数学人教A版2第一章导数及其应用单元测试 市一等奖

选修2-2第一章1.一、选择题1．(2023·潍坊高二检测)设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝eq\f(ex,x)，f(2)＝eq\f(e2,8)，则x＞0时，f(x)eq\x(导学号10510240)()A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值[答案]D[解析]∵函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝eq\f(ex,x)，∴[x2f(x)]′＝eq\f(ex,x)，令F(x)＝x2f(x)，则f′(x)＝eq\f(ex,x)，F(2)＝4·f(2)＝eq\f(e2,2).由x2f′(x)＋2xf(x)＝eq\f(ex,x)，得f′(x)＝eq\f(ex－2Fx,x3)，令φ(x)＝ex－2F(x)，则φ′(x)＝ex－2f′(x)＝eq\f(exx－2,x).∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x)的最小值为φ(2)＝e2－2F(2)＝0.∴φ(x)≥又x＞0，∴f′(x)≥0.∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴f(x)既无极大值也无极小值．故选D.2．(2023·开滦二中高二检测)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是eq\x(导学号10510241)()A．(0,1) B．(－∞，1)C．(0，＋∞) D．(0，eq\f(1,2))[答案]D[解析]f′(x)＝3x2－6b，∵f(x)在(0,1)内有极小值，∴在(0,1)内存在点x0，使得在(0，x0)内f′(x)<0，在(x0,1)内f′(x)>0，由f′(x)＝0得，x2＝2b>0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b>0,\r(2b)<1，))∴0<b<eq\f(1,2).3．函数f(x)＝x4－4x(|x|<1)eq\x(导学号10510242)()A．有最大值，无最小值 B．有最大值，也有最小值C．无最大值，有最小值 D．既无最大值，也无最小值[答案]D[解析]f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)且1∉(－1,1)，∴该方程无解，故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.4．已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集为eq\x(导学号10510243)()A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1,2)C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)[答案]D[解析]由f(x)的图象知，在(－∞，－1)上f′(x)>0，在(－1,1)上f′(x)<0，在(1，＋∞)上f′(x)>0，又x2－2x－3>0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，x2－2x－3<0的解集为(－1,3)．∴不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．5．若方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有解，则实数m的取值范围是eq\x(导学号10510244)()A．[－2,2] B．[0,2]C．[－2,0] D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[答案]A[解析]由题意方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有解，则－m＝x3－3x，x∈[0,2]，求实数m的取值范围可转化为求函数的值域问题．令y＝x3－3x，x∈[0,2]，则y′＝3x2－3，令y′>0，解得x>1，因此函数在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，又x＝1时，y＝－2；x＝2时，y＝2；x＝0，y＝0，∴函数y＝x3－3x，x∈[0,2]的值域是[－2,2]，故－m∈[－2,2]，∴m∈[－2,2]，故选A.6．已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)＜f(x)，且f(x＋2)为偶函数，f(4)＝1，则不等式f(x)＜ex的解集为eq\x(导学号10510245)()A．(－2，＋∞) B．(0，＋∞)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)[答案]B[解析]∵y＝f(x＋2)为偶函数，∴y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，∴y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(4)＝f(0)，又∵f(4)＝1，∴f(0)＝1，设g(x)＝eq\f(fx,ex)(x∈R)，则g′(x)＝eq\f(f′xex－fxex,ex2)＝eq\f(f′x－fx,ex)，又∵f′(x)＜f(x)，∴f′(x)－f(x)＜0，∴g′(x)＜0，∴y＝g(x)在定义域上单调递减，∵f(x)＜ex，∴g(x)＜1.又∵g(0)＝eq\f(f0,e0)＝1，∴g(x)＜g(0)，∴x＞0.故选B.二、填空题7．曲线y＝xex在点(0,0)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2－4x＋3＝0上的点的最近距离是\x(导学号10510246)[答案]eq\r(2)－1[解析]y′|x＝0＝(x＋1)ex|x＝0＝1，∴切线方程为y＝x，圆心(2,0)到直线的距离d＝eq\r(2)，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为eq\r(2)－1.8．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]既有极大值又有极小值，则a的取值范围是\x(导学号10510247)[答案](－∞，－1)∪(2，＋∞)[解析]f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令f′(x)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.因为函数f(x)有极大值和极小值，所以方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8>0，解得a>2或9．已知函数f(x)＝x4＋9x＋5，则f(x)的图象在(－1,3)内与x轴的交点的个数为\x(导学号10510248)[答案]1[解析]因为f′(x)＝4x3＋9，当x∈(－1,3)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－1,3)上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝5>0，所以f(x)在(－1,3)内与x轴只有一个交点．三、解答题10．(2023·昆明高二检测)设函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－ax＋2lnx(a∈R)在x＝1时取得极值.eq\x(导学号10510249)(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．[解析](1)f′(x)＝x－a＋eq\f(2,x)，因为当x＝1时f(x)取得极值，所以f′(1)＝0，即1－a＋2＝0，解得a＝3，经检验，符合题意．(2)由(1)得：f(x)＝eq\f(1,2)x2－3x＋2lnx，∴f′(x)＝x－3＋eq\f(2,x)＝eq\f(x－1x－2,x)，(x>0)，令f′(x)>0解得0<x<1或x>2，令f′(x)<0解得1<x<2，∴f(x)的单调递增区间为(0,1)，(2，＋∞)；单调递减区间为(1,2).一、选择题1．若函数f(x)在定义域R内可导，f＋x)＝f－x)且(x－1)f′(x)＜0，a＝f(0)，b＝f(eq\f(1,2))，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是eq\x(导学号10510250)()A．a>b>c B．c>a>bC．c>b>a D．b>a>c[答案]D[解析]∵(x－1)f′(x)＜0，∴当x＞1时，f′(x)＜0，此时函数f(x)单调递减；当x＜1时，f′(x)＞0，此时函数f(x)单调递增．又f＋x)＝f－x)，∴f(x)＝f(2－x)，∴f(3)＝f[2－(－1)]＝f(－1)，∵－1＜0<eq\f(1,2)，∴f(－1)＜f(0)＜f(eq\f(1,2))，∴f(3)<f(0)<f(eq\f(1,2))，∴b＞a＞c，故选D.2．定义在R上的函数f(x)满足：f(x)＋f′(x)＞1，f(0)＝4，则不等式exf(x)＞ex＋3(其中e为自然对数的底数)的解集为eq\x(导学号10510251)()A．(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(3，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(3，＋∞)[答案]A[解析]设g(x)＝exf(x)－ex，(x∈R)，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]，∵f(x)＋f′(x)＞1，∴f(x)＋f′(x)－1＞0，∴g′(x)＞0，∴y＝g(x)在定义域上单调递增，∵exf(x)＞ex＋3，∴g(x)＞3，又∵g(0)＝e0f(0)－e0∴g(x)＞g(0)，∴x＞0，故选A.二、填空题3．函数y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为\x(导学号10510252)[答案]－1[解析]y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)，令y′＝0解得x＝eq\f(1,3)或x＝－1.当x＝－2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝2；当x＝eq\f(1,3)时，y＝eq\f(22,27)；当x＝1时，y＝2.所以函数的最小值为－1.4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)＝0，当x>0时，有eq\f(xf′x－fx,x2)>0，则不等式x2f(x)>0的解集是\x(导学号10510253)[答案](－1,0)∪(1，＋∞)[解析]令g(x)＝eq\f(fx,x)(x≠0)，∵x>0时，eq\f(xf′x－fx,x2)>0，∴g′(x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数，又f(1)＝0，∴g(1)＝f(1)＝0，∴在(0，＋∞)上g(x)>0的解集为(1，＋∞)，∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴在(－∞，0)上g(x)<0的解集为(－1,0)，由x2f(x)>0得f(x)>0，∴f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞三、解答题5．设函数f(x)＝ex－eq\f(k,2)x2－\x(导学号10510254)(1)若k＝0，求f(x)的最小值；(2)若k＝1，讨论函数f(x)的单调性．[解析](1)k＝0时，f(x)＝ex－x，f′(x)＝ex－1.当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上单调减小，在(0，＋∞)上单调增加，故f(x)的最小值为f(0)＝1.(2)若k＝1，则f(x)＝ex－eq\f(1,2)x2－x，定义域为R.∴f′(x)＝ex－x－1，令g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1，由g′(x)≥0得x≥0，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，由g′(x)<0得x<0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，∴g(x)min＝g(0)＝0，即f′(x)min＝0，故f′(x)≥0.所以f(x)在R上单调递增．6．(2023·德州高二检测)已知函数f(x)＝x－2lnx－eq\f(a,x)＋1，g(x)＝ex(2lnx－x).eq\x(导学号10510255)(1)若函数f(x)在定义域上是增函数，求a的取值范围；(2)求g(x)的最大值．[解析](1)由题意得x＞0，f′(x)＝1－eq\f(2,x)＋eq\f(a,x2).由函数f(x)在定义域上是增函数得，f′(x)≥0，即a≥2x－x2＝－(x－1)2＋1(x＞0)．因为－(x－1