高中数学人教A版5用数学归纳法证明不等式 复习课

复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．数学归纳法的两个关注点．(1)关注用数学归纳法证题的步骤．第一步称“归纳奠基”，是递推链的起点；第二步称为“归纳递推”，是递推链具有传递性的保证．两步缺一不可，否则不能保证结论成立．(2)关注适用范围，数学归纳法适用于某些与正整数n有关的问题，这里n是任意的正整数，它可取无限多个值，但是，并不能说所有与正整数n有关的问题都可以用数学归纳法．2．数学归纳法的两个易错点．(1)在数学归纳法中，没有应用归纳假设．(2)归纳推理不到位．专题一数学归纳法在学习数学归纳法时，常会遇到两个困难，一是对其实质不容易理解，二是对归纳步骤的证明感到难以入手，其实在数学归纳法中只有两个步骤：归纳奠基，归纳递推，二是缺一不可．(1)不可缺第一步．有的同学会认为第二步有递推作用，且k可以取任意值，因此第一步就无关紧要，有没有均可．这是一种错误的认识，它忽略了第一步的奠基作用．因为如果没有n＝n0时成立，归纳假设也就没有了依据，递推性就建立在毫无根据的结论之上，当然也不可能得到正确的结论．(2)不可缺第二步．在刚接触数学归纳法时容易觉得，既然一个数学命题对开头的一些自然数成立，那么由n＝k成立推导出n＝k＋1成立是必然的，因此第二步流于形式，证与不证一个样．显然这是不正确的，原因在于没有认识到归纳步骤所起的递推作用，如果没有递推性，虽然一个数学命题对于开头的许多自然数都成立，但是对于后面的并不一定成立．因此我们不能把不完全归纳当做数学证明，用数学归纳法证明时不可缺第二步．[例1]求证对任意正整数n，有13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2成立．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，所以原等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即13＋23＋…＋k3＝(1＋2＋…＋k)2.在上式等号两边同时加上(k＋1)3，得13＋23＋…＋k3＋(k＋1)3＝(1＋2＋…＋k)2＋(k＋1)3＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(k（k＋1）,2)))eq\s\up12(2)＋(k＋1)3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋1,2)))eq\s\up12(2)[k2＋4(k＋1)]＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(（k＋1）（k＋2）,2)))eq\s\up12(2)＝[1＋2＋…＋k＋(k＋1)]2.所以当n＝k＋1时，13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2也成立．综合(1)(2)可知，对任何正整数n，原等式成立．归纳升华1．证明代数恒等式的关键是：第二步将式子转化成与归纳假设结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需要的形式——凑结论．2．证明不等式的题型多种多样，所以不等式的证明是一个难点，在由n＝k成立，推导n＝k＋1也成立时，过去讲过的证明不等式的方法在此都可以使用，如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考虑与原不等式等价的命题．3．利用数学归纳法证明整除性问题时，第二步一般先将n＝k＋1代入原式，然后将原式作适当的恒等变形，凑出归纳假设，这是证明的关键和难点．[变式训练]设an＝eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋…＋eq\r(n（n＋1）)(n∈N＋)，求证：eq\f(1,2)n(n＋1)＜an＜eq\f(1,2)(n＋1)2.证明：①当n＝1时，a1＝eq\r(2)，eq\f(1,2)n(n＋1)＝1，eq\f(1,2)(n＋1)2＝2，所以1＜eq\r(2)＜2，所以n＝1时，不等式成立．②假设当n＝k时不等式成立，即eq\f(1,2)k(k＋1)＜ak＜eq\f(1,2)(k＋1)2，当n＝k＋1时，eq\f(1,2)k(k＋1)＋eq\r(（k＋1）（k＋2）)＜ak＋1＜eq\f(1,2)(k＋1)2＋eq\r(（k＋1）（k＋2）)，eq\f(1,2)k(k＋1)＋eq\r(（k＋1）（k＋2）)＞eq\f(1,2)k(k＋1)＋(k＋1)＝eq\f(1,2)(k＋1)·(k＋2)＝eq\f(1,2)(k＋1)[(k＋1)＋1]，eq\f(1,2)(k＋1)2＋eq\r(（k＋1）（k＋2）)＝eq\f(1,2)(k＋1)2＋eq\r(k2＋3k＋2)＜eq\f(1,2)(k＋1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(3,2)))＝eq\f(1,2)(k＋2)2＝eq\f(1,2)[(k＋1)＋1]2，所以eq\f(1,2)(k＋1)[(k＋1)＋1]＜ak＋1＜eq\f(1,2)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时，不等式也成立．根据①②可知对任意的n∈N＋，不等式eq\f(1,2)n(n＋1)＜an＜eq\f(1,2)(n＋1)2恒成立．专题二归纳、猜想、证明思想的应用归纳、猜想、证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再利用数学归纳法证明，由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，因此务必要保持猜想的正确性，同时要注意数学归纳法步骤的书写．[例2]数列{an}满足Sn＝2n－an.(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)的猜想．(1)解：当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，所以a1＝1.当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，所以a2＝eq\f(3,2).当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，所以a3＝eq\f(7,4).当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，所以a4＝eq\f(15,8).由此猜想an＝eq\f(2n－1,2n－1)(n∈N*)．(2)证明：①当n＝1时，a1＝1，结论成立．②假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，结论成立，即ak＝eq\f(2k－1,2k－1).当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，即ak＋1＝2＋ak－ak＋1，所以ak＋1＝eq\f(2＋ak,2)＝eq\f(2＋\f(2k－1,2k－1),2)＝eq\f(2k＋1－1,2k)，这表明当n＝k＋1时，结论成立．由①②知猜想的通项公式an＝eq\f(2n－1,2n－1)成立．归纳升华此类猜想数列通项公式的题，是通过利用递推关系来完成n＝k＋1的证明的．[变式训练]数列{an}满足a1＝1，an＝eq\r(2aeq\o\al(2,n－1)＋1)(n∈N＋，n≥2)．(1)写出数列{an}的前五项；(2)猜测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．解：(1)a1＝1，a2＝eq\r(3)，a3＝eq\r(7)，a4＝eq\r(15)，a5＝eq\r(31).(2)猜想an＝eq\r(2n－1)(n∈N＋)．下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝eq\r(21－1)＝1，显然成立．②假设当n＝k时结论成立，即ak＝eq\r(2k－1).当n＝k＋1时，ak＋1＝eq\r(2aeq\o\al(2,k)＋1)＝eq\r(2（2k－1）＋1)＝eq\r(2k＋1－1).这表明当n＝k＋1时，结论成立．由①②知，结论对所有的正整数都成立．专题三转化和化归思想把所要证的平面几何问题转化，运用数学归纳法来解决，这体现了转化和化归的思想．一般将待解决的平面几何问题进行转化，使之化为我们熟悉的或容易解决的问题．[例3]设平面α内有n条直线，这n条直线把平面α分成互不垂叠的区域个数的最大值为f(n)，求f(n)的解析式，并用数学归纳法证明．解：设平面α内k(k≥1)条直线把平面α分成区域个数的最大值为f(k)，则第k＋1条直线与前k条直线最多有k个交点，因此第k＋1条直线最多可以被分成k＋1段，每一段可把所在的区域分为两部分，所以比原来的区域增加k＋1个，即有f(k＋1)＝f(k)＋k＋1，所以f(k＋1)－f(k)＝k＋1.于是f(2)－f(1)＝2，f(3)－f(2)＝3，…，f(n)－f(n－1)＝n.把以上n－1个等式相加得f(n)－f(1)＝2＋3＋…＋n.因为f(1)＝2，所以f(n)＝f(1)＋(2＋3＋…＋n)＝eq\f(1,2)(n2＋n＋2)．下面用数学归纳法证明：(1)n＝1时，一条直线可以把平面分成2个，即f(1)＝2，而eq\f(1,2)(n2＋n＋2)＝eq\f(1,2)(1＋1＋2)＝2，所以命题成立．(2)假设n＝k时，f(k)＝eq\f(1,2)(k2＋k＋2)成立，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)＝eq\f(1,2)(k2＋k＋2)＋(k＋1)＝eq\f(1,2)(k2＋2k＋1＋k＋3)＝eq\f(1,2)[(k＋1)2＋(k＋1)＋2]，所以命题仍成立．由(1)(2)知，当n∈N*时，f(n)＝eq\f(1,2)(n2＋n＋2)成立．归纳升华有关几何图形的性质、公式等与自然数n有关的命题，主要是抓住递推关系，明确要证明的表达式，然后转化用数学归纳法进行证明．[变式训练]用数学归纳法证明：任意凸多边形都可以变成一个和它等面积的三角形．证明：(1)当n＝3时，命题显然成立；(2)假设当n＝k(k≥3，k∈N＋)时，命题成立，即任意凸k边形都可以变成一个和它等面积的三角形．则当n＝k＋1时，对于