高中数学人教B版第二章平面向量学业分层测评23

学业分层测评(二十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为()A.－1 B.1 D.－1或2【解析】向量(1－m,1)是直线的方向向量，所以斜率为eq\f(1,1－m)，则eq\f(1,1－m)＝－eq\f(m,2)，解得m＝－1或m＝2.【答案】D2.已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以ABCD为顶点的四边形是()A.梯形B.邻边不相等的平行四边形C.菱形D.两组对边均不平行的四边形【解析】因为eq\o(AD,\s\up13(→))＝(8,0)，eq\o(BC,\s\up13(→))＝(8,0)，所以eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\o(BC,\s\up13(→))，因为eq\o(BA,\s\up13(→))＝(4，－3)，所以|eq\o(BA,\s\up13(→))|＝5，而|eq\o(BC,\s\up13(→))|＝8，故为邻边不相等的平行四边形.【答案】B3.在△ABC中，若eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→)))＝eq\o(OG,\s\up13(→))，则点G是△ABC的()A.内心 B.外心C.垂心 D.重心【解析】因为eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→)))＝eq\o(OG,\s\up13(→))，所以eq\o(GA,\s\up13(→))－eq\o(GO,\s\up13(→))＋eq\o(GB,\s\up13(→))－eq\o(GO,\s\up13(→))＋eq\o(GC,\s\up13(→))－eq\o(GO,\s\up13(→))＝3eq\o(OG,\s\up13(→))，化简得eq\o(GA,\s\up13(→))＋eq\o(GB,\s\up13(→))＋eq\o(GC,\s\up13(→))＝0，故点G为三角形ABC的重心.【答案】D4.在△ABC中，D为BC边的中点，已知eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(AC,\s\up13(→))＝b，则下列向量中与eq\o(AD,\s\up13(→))同方向的是()\f(a＋b,|a＋b|) \f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)\f(a－b,|a－b|) \f(a,|a|)－eq\f(b,|b|)【解析】因为D为BC边的中点，则有eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→))＝2eq\o(AD,\s\up13(→))，所以a＋b与eq\o(AD,\s\up13(→))共线，又因为eq\f(a＋b,|a＋b|)与a＋b共线，所以选项A正确.【答案】A5.如图2­4­4所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10N，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米，则力F做的功为()图2­4­4焦耳 焦耳\r(3)焦耳 焦耳【解析】设小车位移为s，则|s|＝10米，WF＝F·s＝|F||s|·cos60°＝10×10×eq\f(1,2)＝50(焦耳).故选B.【答案】B二、填空题6.在边长为1的正三角形ABC中，eq\o(AB,\s\up13(→))·eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))·eq\o(CA,\s\up13(→))＋eq\o(CA,\s\up13(→))·eq\o(AB,\s\up13(→))＝________.【导学号：72023071】【解析】eq\o(AB,\s\up13(→))·eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))·eq\o(CA,\s\up13(→))＋eq\o(CA,\s\up13(→))·eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))·(eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CA,\s\up13(→)))＋eq\o(BC,\s\up13(→))·eq\o(CA,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))·eq\o(BA,\s\up13(→))－eq\o(CA,\s\up13(→))·eq\o(CB,\s\up13(→))＝－eq\o(AB,\s\up13(→))2－|eq\o(CA,\s\up13(→))||eq\o(CB,\s\up13(→))|cos60°＝－12－1×1×eq\f(1,2)＝－eq\f(3,2).【答案】－eq\f(3,2)7.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图2­4­5所示，已知物体的重力大小为10N，则每根绳子的拉力大小是________.图2­4­5【解析】因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10N.【答案】10N三、解答题8.已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点.(1)求直线DE，EF，FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在直线的方程.【解】(1)由已知得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2).设点M(x，y)是直线DE上的任意一点，则eq\o(DM,\s\up13(→))∥eq\o(DE,\s\up13(→))，eq\o(DM,\s\up13(→))＝(x＋1，y－1)，eq\o(DE,\s\up13(→))＝(－2，－2)，∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，即x－y＋2＝0为直线DE的方程.同理可得直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.(2)设点N(x，y)是CH所在直线上的任意一点，则eq\o(CN,\s\up13(→))⊥eq\o(AB,\s\up13(→))，eq\o(CN,\s\up13(→))·eq\o(AB,\s\up13(→))＝0，eq\o(CN,\s\up13(→))＝(x＋6，y－2)，eq\o(AB,\s\up13(→))＝(4,4)，∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，即x＋y＋4＝0为所求高线CH所在直线的方程.9.在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1).(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)求eq\o(AB,\s\up13(→))和eq\o(AC,\s\up13(→))夹角的余弦值；(3)是否存在实数t满足(eq\o(AB,\s\up13(→))－teq\o(OC,\s\up13(→)))·eq\o(OC,\s\up13(→))＝eq\o(OA,\s\up13(→))·eq\o(OC,\s\up13(→))，若存在，求t的值；若不存在，说明理由.【解】(1)由题意知eq\o(AB,\s\up13(→))＝(3,5)，eq\o(AC,\s\up13(→))＝(－1,1)，则eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→))＝(2,6)，eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\o(AC,\s\up13(→))＝(4,4)，所以|eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→))|＝2eq\r(10)，|eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\o(AC,\s\up13(→))|＝4eq\r(2)，故所求的两条对角线的长分别为2eq\r(10)，4eq\r(2).(2)cos∠BAC＝eq\f(\o(AB,\s\up13(→))·\o(AC,\s\up13(→)),|\o(AB,\s\up13(→))||\o(AC,\s\up13(→))|)＝eq\f(2,\r(34)×\r(2))＝eq\f(\r(17),17)，所以eq\o(AB,\s\up13(→))和eq\o(AC,\s\up13(→))夹角的余弦值为eq\f(\r(17),17).(3)存在.由题设知：eq\o(OA,\s\up13(→))＝(－1，－2)，eq\o(OC,\s\up13(→))＝(－2，－1)，eq\o(AB,\s\up13(→))－teq\o(OC,\s\up13(→))＝(3＋2t,5＋t).假设存在实数t满足(eq\o(AB,\s\up13(→))－teq\o(OC,\s\up13(→)))·eq\o(OC,\s\up13(→))＝eq\o(OA,\s\up13(→))·eq\o(OC,\s\up13(→))，所以(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝4，从而5t＝－15，所以t＝－3.[能力提升]1.(2023·德州高一检测)点O是平面ABC内的一定点，P是平面ABC内的一动点，若(eq\o(PB,\s\up13(→))－eq\o(PC,\s\up13(→)))·(eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→)))＝(eq\o(PC,\s\up13(→))－eq\o(PA,\s\up13(→)))·(eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→)))＝0，则点O为△ABC的()A.内心 B.外心C.重心 D.垂心【解析】因为(eq\o(PB,\s\up13(→))－eq\o(PC,\s\up13(→)))·(eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→)))＝0，则(eq\o(OB,\s\up13(→))－eq\o(OC,\s\up13(→)))·(eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→)))＝0，所以eq\o(OB,\s\up13(→))2－eq\o(OC,\s\up13(→))2＝0，所以|eq\o(OB,\s\up13(→))|＝|eq\o(OC,\s\up13(→))|.同理可得|eq\o(OA,\s\up13(→))|＝|eq\o(OC,\s\up13(→))|，即|eq\o(OA,\s\up13(→))|＝|eq\o(OB,\s\up13(→))|＝|eq\o(OC,\s\up13(→))|，所以O为△ABC的外心.【答案】B2.如图2­4­6，ABCD是正方形，M是BC的中点，将正方形折起使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求△AEM的面积.图2­4­6【解】如图，建立直角坐标系，显然EF是AM的中垂线，设AM与EF交于点N，则N是AM的中点，又正方形边长为8，所以M(8,4)，N(4,2).设点E(e,0)，则eq\o(AM,\s\up13(→))＝(8,4)，eq\o(AN,\s\up13(→))＝(4,2)，eq\o(AE,\s\up13(→))＝(e,