高中数学北师大版第二章解三角形单元测试学业分层测评14

学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h，15nmile/h，则14时两船之间的距离是()A．50nmile B．70nmileC．90nmile D．110nmile【解析】到14时，轮船A和轮船B分别走了50nmile，30nmile，由余弦定理得两船之间的距离为l＝eq\r(502＋302－2×50×30×cos120°)＝70nmile.【答案】B2．如图2­3­7所示，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于()图2­3­7A．100米 B．50eq\r(3)米C．50eq\r(2)米 D．50(eq\r(3)＋1)米【解析】设山高为h，则由题意知CB＝h，DB＝eq\r(3)h，所以eq\r(3)h－h＝100，即h＝50(eq\r(3)＋1)米．【答案】D3．如图2­3­8，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点仰角分别是β，α(α＜β)，则A点离地面的高度AB等于()图2­3­8\f(asinα·sinβ,sinβ－α) \f(asinα·sinβ,cosα－β)\f(asinα·cosβ,sinβ－α) D．eq\f(acosα·sinβ,cosα－β)【解析】在△ADC中，∠DAC＝β－α.由正弦定理得eq\f(a,sinβ－α)＝eq\f(AC,sinα)，∴AC＝eq\f(a·sinα,sinβ－α)，∴AB＝AC·sinβ＝eq\f(a·sinα·sinβ,sinβ－α).【答案】A4．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长()A．1千米 B．eq\r(2)千米\r(3)千米 D．2千米【解析】如图，∠BAO＝75°，C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.在△ABC中，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴AC＝eq\f(AB·sin∠ABC,sinC)＝eq\f(1×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝eq\r(2)千米．【答案】B5．(2023·四川高考)如图2­3­9，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于()图2­3­9A．240(eq\r(3)－1)m B．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)m D．30(eq\r(3)＋1)m【解析】如图，在△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60m，所以CD＝AD·tan60°＝60eq\r(3)(m)．在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，所以BD＝AD·tan15°＝60(2－eq\r(3))(m)．所以BC＝CD－BD＝60eq\r(3)－60(2－eq\r(3))＝120(eq\r(3)－1)(m)．【答案】C二、填空题6．某人向正东方向走xkm后向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好eq\r(3)km，那么x的值为______.【解析】如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝eq\r(3)，∠ABC＝30°.由余弦定理得(eq\r(3))2＝32＋x2－2×3·x·cos30°，即x2－3eq\r(3)x＋6＝0，解得x1＝eq\r(3)，x2＝2eq\r(3)，检验均符合题意．【答案】eq\r(3)或2eq\r(3)7．在200m的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为________．【解析】如图，设塔AB高为h，在Rt△CDB中，CD＝200m，∠BCD＝90°－60°＝30°，∴BC＝eq\f(200,cos30°)＝eq\f(400\r(3),3)(m)．在△ABC中，∠ABC＝∠BCD＝30°，∠ACB＝60°－30°＝30°，∴∠BAC＝120°.在△ABC中，由正弦定理得eq\f(BC,sin120°)＝eq\f(AB,sin30°)，∴AB＝eq\f(BC·sin30°,sin120°)＝eq\f(400,3)m.【答案】eq\f(400,3)m8．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.【解析】如图，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝eq\f(\r(3),3)×30＝10eq\r(3)(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝eq\r(900＋300－2×30×10\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\r(300)＝10eq\r(3)(m)．【答案】10eq\r(3)三、解答题9．A、B、C、D四个景点，如图2­3­10，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC＝15°.A、D相距2km，C、D相距(3eq\r(2)－eq\r(6))km，求A、B两景点的距离．图2­3­10【解】在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°，由正弦定理得eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠CBD)，即BD＝eq\f(CD·sin75°,sin60°)＝2.在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝2.即A、B两景点的距离为2km.10．据气象台预报，距S岛正东方向300km的A处有一台风中心形成，并以每小时30km的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270km以内的地区将受到台风的影响，问：S岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由.【导学号：67940044】图2­3­11【解】设台风中心经过t小时到达B点，由题意，∠SAB＝90°－30°＝60°，在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°，由余弦定理得：SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cos∠SAB＝3002＋(30t)2－2·300·30t·cos60°，若S岛受到台风影响，则应满足条件|SB|≤270，即SB2≤2702，化简得t2－10t＋19≤0，解得5－eq\r(6)≤t≤5＋eq\r(6)，所以从现在起，经过5－eq\r(6)小时S岛开始受到影响，5＋eq\r(6)小时后影响结束．持续时间为(5＋eq\r(6))－(5－eq\r(6))＝2eq\r(6)小时．即S岛受台风影响，从现在起，经过5－eq\r(6)小时台风开始影响S岛，持续2eq\r(6)小时．[能力提升]1．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50m B．100mC．120m D．150m【解析】设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq\r(3)h，根据余弦定理得(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.【答案】A2．甲船在岛A的正南B处，以4km/h的速度向正北航行，AB＝10km，同时乙船自岛A出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为()\f(150,7)min B．eq\f(15,7)hC．min D．h【解析】如图所示，当两船航行th时，甲船到D处，乙船到C处，则AD＝10－4t，AC＝6t，∠CAD＝120°或AD′＝4t－10，AC＝6t，∠CAD′＝60°.∴CD2＝(6t)2＋(10－4t)2－2×6t×(10－4t)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝28t2－20t＋100，∴当t＝eq\f(5,14)h时，CD2最小，即两船最近，t＝eq\f(5,14)h＝eq\f(150,7)min.【答案】A3．某同学骑电动车以24km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是________km.图2­3­12【解析】如题图，由题意知AB＝24×eq\f(15,60)＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，∴∠ASB＝45°，由正弦定理知eq\f(BS,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，∴BS＝eq\f(AB·sin30°,sin45°)＝3eq\r(2).【答案】3eq\r(2)4．如图2­3­13，一辆汽车从O点出发，沿海岸一条直线公路以100km/h的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O点南偏东方向距O点500km且在海岸距离为300km的海上M处有一快艇，与汽车同时出发，要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少必须以多大的速度行驶，才能把物品递送到司机手中？并求快艇以最小速度行驶时方向与OM所成的角．图2­3­13【解】如图所示，设快艇从M处以vkm/h的速度出发，沿MN方向航行，th后与汽车在N点相遇，在△MON中，MO＝500，ON＝100t，MN＝vt.设∠MON＝α，由题意知，sinα＝eq\f(3,5)，则cosα＝eq\f(4,5)，由余弦定理知MN2＝OM2＋ON2－2·OM·ON·cosα，即v2t2＝5002＋1002t2－2×500×100t×eq\f(4,5)，整理得，v2＝eq\b\lc\(\rc\)