高中数学高考二轮复习 2

1．（2023杭州市一质检）若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由诱导公式六，得cos(eq\f(π,2)+α)＝－sinα＝－eq\f(1,3)，故选B．2．（2023桂林市、防城港市联考）等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由诱导公式，得sin600°＝sin(360°＋240°)＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2)，故选D．3．（2023湛江市一模）“”是“”的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由α＝eq\f(π,3)，得sinα＝eq\f(\r(3),2)；反之，若sinα＝eq\f(\r(3),2)，则α＝eq\f(π,3)＋2kπ，或α＝eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，故选B．4．（2023揭阳市3月模拟）下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由sin(eq\f(π,2)+α)＝cosα，则y＝sin(eq\f(π,2)+α)是偶函数，但在[0，1]上是减函数；y＝1－2cos22x＝－(2cos22x－1)＝cos4x是偶函数，但在[0，1]上是减函数；y＝－x2是偶函数，但在[0，1]上是减函数；y＝|sin(π+α)|＝|sinα|是偶函数，但在[0，1]上是增函数，故选D．5．（2023福州市3月质检）在平面直角坐标系中，已知角的顶点与点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为，则的值是（）

A． B．0 C．D．1【答案】B【解析】由三角函数的定义，得cosα＝eq\f(\r(3),2)，sinα＝eq\f(1,2)，则α＝eq\f(π,6)，cos(α＋eq\f(π,3))＝coseq\f(π,2)＝0，故选B．6．（2023蚌埠市一质检）设，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由a＝tan130°＜0，b＝cos(cos0°)＝cos1，0＜cos1＜1，c＝(x2＋eq\f(1,2))0＝1，得a＜b＜c，故选B．7．（2023成都市二诊）已知为第三象限的角，且，则＝．【答案】2【解析】由α为第三象限的角，得sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(2\r(5),5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝2．8．（2023青岛市一模）已知函数，若，则．【答案】2【解析】f(m)＋f(－m)＝tanm＋sinm＋2023－tanm－sinm＋2023＝4030，又f(m)＝2，则f(－m)＝4028，故选B．9．（2023信阳市二调）若点P在角－eq\f(10π,3)的终边上，且P的坐标为(－1，y)，则y等于．【答案】B【解析】由三角函数的定义，得sin(－eq\f(10π,3))＝eq\f(y,\r((－1)2＋y2))，又sin(－eq\f(10π,3))＝sin(－4π＋eq\f(2π,3))＝sin(－4π＋eq\f(2π,3))＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)，且为第二象限角，则eq\f(y,\r((－1)2＋y2))＝eq\f(\r(3),2)，解得y＝eq\r(3)，或y＝－eq\r(3)（舍去），故y等于eq\r(3)．10．（2023湖北七市（州）3月联考）已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（-3，4），则sin（）=．【答案】【解析】由三角函数的定义，得cosθ＝－eq\f(3,5)，sinθ＝eq\f(4,5)，则sin(θ＋eq\f(π,4))＝sinθcoseq\f(π,4)＋cosθsineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),10)．xyPQOα11．（2023南京市、盐城市一模）在平面直角坐标系中，设锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点.记.xyPQOα（1）求函数的值域；（2）设的角所对的边分别为，若，且，，求.【解析】（1）由题意，得，则，因为，所以，故.（2）由，又，得，在中，由余弦定理得，即，解得.12．（2023莆田市3月质检）函数图象的一条对称轴方程为（）A．x＝－eq\f(π,2) B． C．x＝eq\f(π,8) D．x＝eq\f(π,4)【答案】A【解析】y＝sin(2x+eq\f(π,2))＝cos2x，把x＝－eq\f(π,2)代入，得y＝cos(－π)＝－1，则x＝－eq\f(π,2)是函数图象的一条对称轴，故选A．13．（2023桂林市、防城港市联考）函数的最小正周期是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由y＝sinxsin(eq\f(π,2)+x)＝sinxcosx＝eq\f(1,2)sin2x，得函数的周期为π，故选B．14．（2023上饶市一模）函数是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的偶函数【答案】B【解析】由f(x)＝2sin2(eq\f(π,4)－x)－1＝－cos2(eq\f(π,4)－x)＝－sin2x，得函数f(x)是奇函数，且f(x)的周期为π，故选B．15．（2023遂宁市二诊）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】A【解析】y＝sin3x+cos3x＝eq\r(2)sin(3x＋eq\f(π,4))＝eq\r(2)sin3(x＋eq\f(π,12))，则将y＝sin3x+cos3x的图象向右平移eq\f(π,12)个单位长度，得函数y＝eq\r(2)sin3x的图象，故选A．16．（2023江门市3月模拟）函数在区间上单调递增，常数的值可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】若φ＝eq\f(3π,2)，则f(x)＝sin(x＋eq\f(3π,2))＝－cosx，满足函数f(x)在区间(eq\f(π,3)，eq\f(2π,3))上单调递增，故选D．17.（2023厦门市3月质检）如图，函数f(x)＝Asin(2x＋φ)的图象过点(0，eq\r(3)），则f(x)的图象的一个对称中心是（）A．（－，0）B．（－，0）C．（，0）D．（，0）【答案】B【解析】由图象，得A＝2，又函数f(x)的图象过点(0，eq\r(3)），得sinφ＝eq\f(\r(3),2)，则φ＝eq\f(π,3)，把x＝－eq\f(π,6)代入，得y＝sin(－eq\f(π,3)＋eq\f(π,3))＝0，即(－eq\f(π,6)，0)是f(x)的图象的一个对称中心，故选B．18．（2023山西四诊）为得到函数的图象，可将函数的图象向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度（，均为正数），则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知，得m＝2k1π＋eq\f(π,3)，n＝2k2π＋eq\f(5π,3)(k1，k2∈N)，得|m－n|＝|2(k1－k2)π－eq\f(4π,3)|(k1，k2∈N)，则当k1－k2＝1时，|m－n|有最小值，最小值是eq\f(2π,3)，故选B．3O19．（2023合肥市一质检）函数的部分图象如图所示，则的解析式可以为（）3OA．B．C．D．【答案】D【解析】由图象，得A＝3，周期T＝2(eq\f(3π,2)＋eq\f(π,2))＝4π，则ω＝eq\f(2π,4π)＝eq\f(1,2)；又函数f(x)的图象过点(eq\f(π,2)，0），得sin(eq\f(π,4)＋φ)＝0，则φ＝eq\f(3π,4)，得f(x)＝3sin(eq\f(1,2)x＋eq\f(3π,4))，故选D．20．（2023长春市质监二）已知函数，若将其图象向右平移（）个单位后所得的图象关于原点对称，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知，得，将其图象向右平移个单位后解析式为，则，即，所以的最小值为，故选C．21．（2023东北四市联考）将函数的图象向右平移个单位后得到函数，则具有性质（）A．最大值为，图象关于直线对称B．在上单调递增，为奇函数C．在上单调递增，为偶函数D．周期为，图象关于点对称【答案】B【解析】将函数f(x)的图象向右平移eq\f(π,4)个单位后得g(x)＝cos(2x＋eq\f(π,2))＝－sin2x，则g(x)为奇函数，且g(x)在区间(0，eq\f(π,4))上单调递增，故选B．22．（2023湖北七市（州）3月联考）已知函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】B【解析】由图象，得A＝eq\r(3)，周期T＝2(eq\f(5π,6)－eq\f(π,3))＝π，则ω＝eq\f(2π,π)＝2；又函数f(x)的图象过点(eq\f(π,3)，0），得sin(eq\f(2π,3)＋φ)＝0，则φ＝－eq\f(2π,3)，得f(x)＝eq\r(3)sin(2x－eq\f(2π,3))＝eq\r(3)sin2(x－eq\f(π,3))，即把f(x)的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度得g(x)的图象，故选B．23．（2023马鞍山市一质检）将函数f(x)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x的图象向左平移eq\f(π,6)个单位得到函数g(x)的图象，则函数g(x)是（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数【答案】B【解析】f(x)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋eq\f(π,6))，将函数f(x)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x的图象向左平移eq\f(π,6)个单位得g(x)＝2sin[2(x＋eq\f(π,6))＋eq\f(π,6)]＝2sin(2x＋eq\f(π,2))＝2cos2x，则函数g(x)是周期为π的偶函数象，故选B．24．（2023开封市二模）函数f(x)＝sin(ωx+φ)（x∈R，ω>0，|φ|<eq\f(π,2)）的部分图象如图所示，如果x1、x2∈(－eq\f(π,6)，eq\f(π,3))，且f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）等于（） A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(2),2) C．eq\f(\r(3),2)D．1【答案】B【解析】由图象，知周期T＝2(eq\f(π,3)＋eq\f(π,6))＝π，则ω＝eq\f(2π,π)＝2；又函数f(x)的图象过点(－eq\f(π,6)，0），得sin(－eq\f(π,3)＋φ)＝0，则φ＝eq\f(π,3)，得f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,3))，当x1、x2∈(－eq\f(π,6)，eq\f(π,3))，且f（x1）＝f（x2），得点(x1，0）与点(x2，0）关于直线x＝eq\f(1,2)(－eq\f(π,6)＋eq\f(π,3))＝eq\f(π,12)对称，即x1+x2＝eq\f(π,6)，则f（x1+x2）＝sin(eq\f(π,3)＋eq\f(π,3))＝eq\f(\r(3),2)，,故选B．25．（2023内江市四模）如图，某地一天中时至时的温度变化曲线近似满足函数（其中，），则估计中午时的温度近似为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由图象，得A＝eq\f(1,2)(30－10)＝10，b＝eq\f(1,2)(30＋10)＝20，周期T＝2(14－6)＝16，则ω＝eq\f(2π,16)＝eq\f(π,8)；又函数f(x)的图象过点(10，20），得10sin(eq\f(5π,4)＋φ)＋20＝20，则φ＝－eq\f(5π,4)，得f(x)＝10sin(eq\f(π,8)x－eq\f(5π,4))＋20，f(12)＝10sin(eq\f(3π,2)－eq\f(5π,4))＋20＝10×eq\f(\r(2),2)＋20≈27，故选B．xyOAB26．（2023咸阳市一模）如右图所示为函数()的部分图象,两点之间的距离为,且f(1)=0，则（）xyOABA．B．C．D．【答案】A【解析】由已知两点之间的距离为，得周期T＝2×eq\r(52－42)＝6，则ω＝eq\f(2π,6)＝eq\f(π,3)；又f(1)=0，得2sin(eq\f(π,3)＋φ)＝0，则φ＝eq\f(2π,3)，得f(x)＝2sin(eq\f(π,3)x＋eq\f(2π,3))，则f(－1)＝2sin(－eq\f(π,3)＋eq\f(2π,3))＝eq\r(3)，故选A．27．（2023广州市一模）已知函数的图象经过点．（1）求实数的值；（2）设，求函数的最小正周期与单调递增区间．【解析】（1）因为函数的图象经过点，所以．即．即．解得．（2）由（1）得．所以．所以的最小正周期为．因为函数的单调递增区间为，所以当时，函数单调递增，即时，函数单调递增．所以函数的单调递增区间为．28．（2023湖北八市联考）已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中点A为图象上的最高点，点B，C为图象与x轴的两个相邻交点，且△ABC是边长为4的正三角形．（Ⅰ）求与的值；（Ⅱ）若，且，求的值．【解析】（Ⅰ）解：由已知可得， BC==4，，由图象可知，正三角形ABC的高即为函数的最大值，得．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 即∵， ∴∴， ∴ ．29．（2023嘉兴市一模）已知函数．求函数的最小正周期；当，求函数的值域．【解析】（I），所以，的最小正周期．（Ⅱ）由（I）可知，，，，.所以，的值域为．30．（2023湛江市一模）已知函数f(x)＝Asin(ωx+φ)（ω＞0，A＞0，φ∈(0，eq\f(π,2))）．的部分图象如图所示，其中点P是图象的一个最高点．(1)求函数的解析式；(2)已知且，求．【解析】(1)由函数最大值为2，得A=2，由图可得周期，由，得．又，及，得，．（2），．31．（2023开封市二模）若sinθ+cosθ＝eq\r(2)，则tan(θ+eq\f(π,3))的值是() A．1 B．−3−eq\r(2) C．−1+eq\r(2) D．−2−eq\r(3)【答案】D【解析】由sinθ+cosθ＝eq\r(2)，得(sinθ+cosθ)2＝(eq\r(2))2，即2sinθcosθ＝1，∴eq\f(2sinθcosθ,sin2θ+cos2θ)＝1，则eq\f(2tanθ,tan2θ+1)＝1，解得tanθ＝1，则tan(θ+eq\f(π,3))＝eq\f(tanθ＋taneq\f(π,3),1－tanθtaneq\f(π,3))＝−2−eq\r(3)，故选D．32．（2023广州市一模）设为锐角，若，则．【答案】eq\f(eq\r(2),10)【解析】由α为锐角，得sin(α＋eq\f(π,6))＝eq\r(1−cos2(α＋eq\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，则sin(α－eq\f(π,12))＝sin[(α＋eq\f(π,6))－eq\f(π,4)]＝sin(α＋eq\f(π,6))coseq\f(π,4)－cos(α＋eq\f(π,6))sineq\f(π,4)＝eq\f(eq\r(2),10)．33．（2023厦门市一质检）已知=.【答案】−3【解析】由sinα＝2cosα，得tanα＝2，∴tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(tanα＋taneq\f(π,4),1－tanαtaneq\f(π,4))＝−3．34．（2023内江市四模）若，则．【答案】eq\f(3,10)【解析】tan(eq\f(π,4)−θ)＝eq\f(taneq\f(π,4)＋tanθ,1－taneq\f(π,4)tanθ)＝eq\f(1,2)，解得tanθ＝−eq\f(1,3)，∴sinθcosθ＝eq\f(sinθcosθ,sin2θ+cos2θ)＝eq\f(tanθ,tan2θ+1)＝eq\f(3,10)．35．（2023扬州市调研）已知，则＝．【答案】eq\f(1,7)【解析】由α∈(0，π)，得sinα＝eq\r(1−cos2α)＝eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4)，则tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(tanα＋taneq\f(π,4),1－tanαtaneq\f(π,4))＝eq\f(1,7)．36．（2023泉州市单科质检）已知，则=___________【答案】−eq\f(24,25)【解析】由sin(eq\f(π,2)+θ)＝eq\f(3,5)，得cosθ＝eq\f(3,5)，由θ∈(eq\f(3π,2)，2π)，得sinθ＝−eq\r(1−cos2θ)＝−eq\f(4,5)，则sin2θ＝2sinθcosθ＝−eq\f(24,25)．37．（2023丽水市一模）设，，，．则的值是．【答案】【解析】tanα＝eq\f(2taneq\f(α,2),1－tan2eq\f(α,2))＝eq\f(4,3)，由α∈(0，π)，得α∈(0，eq\f(π,2))，cosα＝eq\r(eq\f(1,1＋tan2α))＝eq\f(3,5)，sinα＝cosαtanα＝eq\f(4,5)，由α，β∈(0，π)，sin(α＋β)＝eq\f(5,13)＜eq\f(1,2)，得0＜α＋β＜eq\f(π,6)，或eq\f(5π,6)＜α＋β＜π，又tanα＝eq\f(4,3)＞1，则α＞eq\f(π,4)，eq\f(5π,6)＜α＋β＜π，∴cos(α＋β)＝−eq\r(1−sin2(α＋β))＝−eq\f(12,13)，则cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα－sin(α＋β)sinα＝−eq\f(16,65)．38．（2023扬州市调研）已知A()是单位圆（圆心为坐标原点O，半径为1）上任一点，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交单位圆于点B()，已知m＞0，若的最大值为3，则m＝＿＿＿＿．【答案】【解析】设∠xOA＝α，由三角函数的定义，得yA＝sinα，yB＝sin(α＋eq\f(π,3))，则myA－2yB＝msinα－2sin(α＋eq\f(π,3))＝(m－1)sinα＋eq\r(3)cosα，其最大值为eq\r((m－1)2＋3)＝3，解得m＝eq\r(3)＋1．39．（2023揭阳市3月模拟）已知函数（1）求函数的定义域和最小正周期；（2）若求的值．【解析】（1）由解得，所以函数的定义域为，的最小正周期．（2）解法1：由且，∴-解法2：由得，代入得，∴，又，∴40．（2023惠州市一调）已知.(1)求的值；(2)求的值．【解析】（1）∵，则，∴，∴．（2）原式．41．（2023深圳市一模）函数（）的最小正周期是．（1）求的值；（2）若，且，求的值．【解析】（1）的周期，即，，由，得，即．．（2）由得，又，，，．．42．（2023合肥市一质检）已知函数的图像关于直线对称（1）求的值；（2）若，求的值43．（2023武汉市二月调研）已知函数（Ⅰ）求的值;（Ⅱ）求函数的最小正周期和最小值。.44．（2023茂名市一模）已知函数，．（1）求f（x）的解析式；（2）若，求的值．45．（2023肇庆市3月模拟）已知向量，，，函数.（1）求函数的表达式；（2）求的值；（3）若，，求的值.【解析】（1）∵，，，∴，即函数.（2）（3）∵，又，∴，即.∵，∴.∴，.∴.46．（2023广州市一模）在△中，角，，所对的边分别为，，，若，则为()A．B．C．D．【答案】B【解析】由正弦定理得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，即eq\f(c,b)＝eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(2sinBcosB,sinB)＝2cosB，故选B．47．（2023桂林市、防城港市联考）已知，，分别为的三个内角、、的对边，若，，，则角等于（）A．或B．C．D．【答案】D【解析】由正弦定理，有eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\f(b·sin60°,a)＝eq\f(2eq\r(2)×\f(\r(3),2),2\r(3))＝eq\f(\r(2),2)，又b＜a，则B＝45°，故选D．48．（2023南昌市一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝eq\f(3,5)，则b等于（）A．eq\f(5,3)B．eq\f(10,7)C．eq\f(5,7)D．eq\f(5eq\r(2),14)【答案】C【解析】由cosA＝eq\f(3,5)，得sinA＝eq\r(1−cos2A)＝eq\f(4,5)，则sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(7eq\r(2),10)，由正弦定理，有eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)，得b＝eq\f(c·sinB,sinC)＝eq\f(5,7)，故选C．49．（2023湛江市一模）在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC=()A．B．C．D．【答案】C【解析】在△ABC中，cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2×AB×AC)＝−eq\f(1,2)，∴∠BAC＝eq\f(2π,3)，故选C．50．（2023青岛市一模）已知的三边分别为，则的面积为()A．B．C．D．【答案】B【解析】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a＝4，b＝5，c＝6，由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(16＋25－36,2×4×5)＝eq\f(1,8)，∴sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))\s\up12(2))＝eq\f(3\r(7),8)，则的面积为S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×4×5×eq\f(3\r(7),8)＝eq\f(15\r(7),4)，故选B．51．（2023信阳市二调）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为,若△ABC的面积为,且，则等于（）(A) (B) (C)(D)【答案】C【解析】在△ABC中，S△ABC＝eq\f(1,2)absinC，则absinC＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，由余弦定理，有a2＋b2－c2＝2abcosC，∴absinC＝2ab(1＋cosC)，即sinC＝2(1＋cosC)，则2sineq\f(C,2)coseq\f(C,2)＝2×2cos2eq\f(C,2)，得taneq\f(C,2)＝2，tanC＝eq\f(2taneq\f(C,2),1－tan2eq\f(C,2))＝－eq\f(4,3)，故选C．52．（2023肇庆市3月模拟）在锐角中，AB=3，AC=4，其面积，则BC=A． B．或 C．D．【答案】D【解析】由S△ABC＝eq\f(1,2)×AB×AC×sinA＝eq\f(1,2)×3×4×sinA＝3eq\r(3)，得sinA＝eq\f(\r(3),2)，即A＝eq\f(π,3)，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝32＋42－2×3×4×eq\f(1,2)＝13，则BC＝eq\r(13)，故选D．53．（2023武汉市二月调研）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b2＝a2＋bc，A＝eq\f(π,6)，则内角C=（）A．B.C.D.【答案】B【解析】在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即a2－b2＝c2－2bccosA，由已知，得a2－b2＝－bc，则c2－2bccoseq\f(π,6)＝－bc，即c＝(eq\r(3)－1)b，由正弦定理，得sinC＝(eq\r(3)－1)sinB＝(eq\r(3)－1)sin(eq\f(5π,6)－C)，化简，得sinC－cosC＝0，解得C＝eq\f(π,4)，故选B．54．（2023山西四诊）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在△ABC中，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(eq\r(3)bc,2bc)＝eq\f(\r(3),2)，则A＝eq\f(π,6)，又b＝eq\r(3)a，由正弦定理，得sinB＝eq\r(3)sinA＝eq\f(\r(3),2)，则B＝eq\f(π,3)，或B＝eq\f(2π,3)，当B＝eq\f(π,3)时，△ABC为直角三角形，选项C、D成立；当B＝eq\f(2π,3)时，△ABC为等腰三角形，选项A成立，故选B．55．（2023合肥市一质检）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则_____．【答案】eq\f(π,2)【解析】在△ABC中，因为b＝2a，由正弦定理，得sinB＝2sinA，则sin(A＋eq\f(π,3))＝2sinA，化简，得eq\f(3,2)sinA－eq\f(\r(3),2)cosA＝0，即eq\r(3)sin(A－eq\f(π,6))＝0，解得A＝eq\f(π,6)，则B＝A＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)．56．（2023茂名市一模）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝3，C＝120º，△ABC的面积S＝，则c为_____．【答案】7【解析】由S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×3×b×sin120º＝eq\f(15\r(3),4)，得b＝5，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝32＋52－2×3×5×(－eq\f(1,2))＝49，则c＝7．57．（2023开封市二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且C=eq\f(3,4)π，sinA=eq\f(\r(5),5)，c-a=5–eq\r(10)，则b=．【答案】eq\r(5)【解析】在△ABC中，由正弦定理，得得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，即eq\f(c,a)＝eq\f(sinC,sinA)＝eq\f(\r(10),2)，又c-a=5–eq\r(10)，得c＝5，a=eq\r(10)，由sinA=eq\f(\r(5),5)，得cosA＝eq\r(1−sin2A)＝eq\f(2\r(5),5)，cosB＝－cos(A＋C)＝－cosAcosC＋sinAsinC＝eq\f(3\r(10),10)．则b2＝a2＋c2−2accosB＝10＋25−2×5×eq\r(10)×eq\f(3\r(10),10)＝5，则b＝eq\r(5)．58．（2023长春市质监二）在中，，．求角的值；设，求．【解析】(1)，．(2)因为，而，且为锐角，可求得，所以在△中，由正弦定理得，． 59.（2023遂宁市二诊）已知函数，其中A、B、C是的三个内角，且满足，（1）求的值；（2）若，且，求的值。【解析】（1）因为，所以，又，从而，所以．（2），因为所以，从而或（舍去），由正弦定理知，所以．60．（2023东北四市联考）的内角，，的对边分别为，，，，．（1）求角；（2）若，求的面积．【解析】（1），．（2），，，．61．（2023青岛市一模）设的内角所对的边分别为，已知，.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求的面积.【解析】（Ⅰ），，，．（Ⅱ）由，，，得，由得，从而，，故，所以的面积为．62．（2023肇庆市3月模拟）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且角A、B都是锐角，a=6，b=5，.（1）求和的值；（2）设函数，求的值.【解析】（1）由正弦定理，得.∵A、B是锐角，∴，，由，得．（2）由（1）知，∴．63．（2023丽水市一模）在中，内角，，的对边分别为，，，已知．(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)若，且是锐角三角形，求实数的取值范围．【解析】(Ⅰ)由题意得，．(Ⅱ)，为锐角三角形，且，．64．（2023泉州市单科质检）在梯形ABCD中，AB∥CD．如果分别以下列各选项所给的内容作为已知条件，那么其中不能确定BD长度的选项是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】选项A，设AC∩BD＝O，由已知∠ABD＝45°，∠ACD＝30°，由正弦定理，有eq\f(OA,OB)＝eq\f(OC,OD)＝eq\f(sin45°,sin30°)＝eq\r(2)，又AC＝4，则可求得BD的长；选项B，设AC∩BD＝O，分别在∆AOB和∆COD中，利用正弦定理可求得OB、OD的长；选项C，在∆ACD中，利用余弦定理可求得AD的长及∠ADC，然后在∆ABD中，利用余弦定理可求得BD的长；选项D，只是确定CD与∠ABD和∠ACD，只要满足AB∥CD则可构成梯形，即BD的长度不确定，故选D．65．（2023深圳市一模）在中，分别为所对的边，若函数有极值点，则的范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数f(x)的导函数f′(x)＝x2＋2bx＋(a2＋c2－ac)，则函数f(x)有极值点，则∆＝(2b)2－4(a2＋c2－ac)≥0，得a2＋c2－b2≤ac，由余弦定理，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)≤eq\f(1,2)，则B≥eq\f(π,3)，故选D．66．（2023遂宁市二诊）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为,，此时气球的高是，则河流的宽度等于【答案】【解析】过A点向地面作垂线，垂足为D，则在Rt△ADB中，∠ABD＝75°，AD＝60m，∴AB＝eq\f(AD,sin75°)＝eq\f(60,eq\f(eq\r(6)＋eq\r(2),4))＝60(eq\r(6)－eq\r(2))(m)，在△ABC中，∠ACB＝30°，∠BAC＝75°－30°＝45°，AB＝60(eq\r(6)－eq\r(2))m，由正弦定理得，BC＝eq\f(ABsin45°,sin30°)＝120(eq\r(3)－1)(m)，故河流的宽度BC为120(eq\r(3)－1)m．67．（2023武汉市二月调研）设△ABC中的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acosC＋eq\f(\r(3),2)c＝b，则角A=________．【答案】eq\f(π,6)【解析】在△ABC中，因为acosC＋eq\f(\r(3),2)c＝b，由正弦定理，得sinAcosC＋eq\f(\r(3),2)sinC＝sinB，又sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，则eq\f(\r(3),2)sinC＝cosAsinC，因为sinC≠0，得cosA＝eq\f(\r(3),2)，则A＝eq\f(π,6)．68．（2023嘉兴市一模）在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝1，BC＝eq\r(13)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))，则AC＝；AD＝．【答案】3，eq\f(\r(7),3)【解析】在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA，即13＝1＋AC2－2×1·ACcos120°，化简，得AC2＋AC－12＝0，解得AC＝3，或AC＝－4（舍去），∴cosB＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2×AB×BC)＝eq\f(5\r(13),26)，由eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))，BC＝eq\r(13)，得BD＝eq\f(\r(13),3)，在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcosB＝eq\f(7,9)，则AD＝eq\f(\r(7),3)．69．（2023福州市3月质检）的内角所对的边分别是．若，则的值为．【答案】2【解析】过点A作AD⊥BC，交CB的延长线于D，则CD＝ACcosC，BD＝ABcos(π－B)，∴AB＝CD－BD＝ACcosC－ABcos(π－B)＝bcos15°＋ccos105°，则的值为2．70．（2023杭州市一质检）在△中，内角所对的边分别为.已知（I）求角A的大小（II）若求△的周长的取值范围.71．（2023厦门市3月质检）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝，AC=3，BC＝2，P是△ABC内的一点．（I)若P是等腰直角三角形PBC的直角顶点，求PA的长；（II）若∠BPC＝，设∠PCB＝θ，求△PBC的面积S（θ）的解析式，并求S(θ)的最大值．72．（2023咸阳市一模）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S＝accosB．