高中数学苏教版第二章平面解析几何初步学业分层测评23

学业分层测评(二十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若点P(a，b，c)既在平面xOy内，又在平面yOz内，则a＋c＝________.【解析】点P在平面xOy与平面yOz的交线Oy上，由其上点的特征知a＝0，c＝0，b∈R.【答案】02．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，关于下列叙述：①点P关于x轴对称的点的坐标是P1(x，－y，z)；②点P关于yOz平面对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；③点P关于y轴对称的点的坐标是P3(x，－y，z)；④点P关于原点对称的点的坐标是P4(－x，－y，－z)．其中叙述正确的序号是________．【解析】由图形几何性质知①②③错，④正确．【答案】④3.图2­3­3如图2­3­3所示，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB＝4，BC＝1，BE＝3，CF＝4，按图建立空间直角坐标系，则G的坐标为________．【解析】∵长方体的对面互相平行，且被截面AEFG所截，∴交线AG∥EF.又∵BE＝3，CF＝4，∴DG＝1，故G的坐标为(0,0,1)．【答案】(0,0,1)4.图2­3­4如图2­3­4，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，已知点B1的坐标为(a，a，a)，则点D1【解析】由点B1的坐标为(a，a，a)知点D1的坐标为(0,0，a)．【答案】(0,0，a)5．已知点M到三个坐标平面的距离都是1，且点M的三个坐标同号，则点M的坐标为________．【解析】根据点M到三个坐标平面的距离均为1，结合点的对称性，知M(1,1,1)或(－1，－1，－1)．【答案】(1,1,1)或(－1，－1，－1)6．已知点P′在x轴正半轴上，OP′＝2，PP′在xOz平面上，且垂直于x轴，PP′＝1，则点P′和P的坐标分别为________，________.【导学号：60420233】【解析】由于P′在x轴的正半轴上，故点P′的坐标为(2,0,0)，又PP′在xOz平面上，且垂直于x轴，故P点坐标为(2,0，±1)．【答案】(2,0,0)(2,0，±1)7.图2­3­5正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为1，且|BP|＝eq\f(1,3)|BD′|，建立如图2­3­5所示的空间直角坐标系，则P点的坐标为________．【解析】如图所示，过P分别作平面xOy和z轴的垂线，垂足分别为E，H，过E分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为F，G，由于|BP|＝eq\f(1,3)|BD′|，所以|DH|＝eq\f(1,3)|DD′|＝eq\f(1,3)，|DF|＝eq\f(2,3)|DA|＝eq\f(2,3)，|DG|＝eq\f(2,3)|DC|＝eq\f(2,3)，所以P点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(1,3))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(1,3)))8.图2­3­6如图2­3­6,M­OAB是棱长为a的正四面体，顶点M在底面OAB上的射影为H，则M的坐标是________．【解析】由M­OAB是棱长为a的正四面体知Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a，\f(1,2)a，0))，A(0，a,0)，O(0,0,0)．又点H为△OAB的中心知Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)a，\f(1,2)a，0))，从而得M的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)a，\f(1,2)a，\f(\r(6),3)a)).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)a，\f(a,2)，\f(\r(6),3)a))二、解答题9．在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC【解】如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1连结BO，OO1，可得BO⊥AC，BO⊥OO1，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．∵各棱长均为1，∴OA＝OC＝O1C1＝O1A1＝eq\f(1,2)，OB＝eq\f(\r(3),2).∵A，B，C均在坐标轴上，∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0)).∵点A1，C1均在yOz平面内，∴A1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，1))，C1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1)).∵点B1在xOy面内的射影为点B，且BB1＝1，∴B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，1)).图2­3­710．如图2­3­7，已知长方体ABCD­A1B1C1D1，AB＝2，AA1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于点E，F为A1B1的中点，请建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F【解】∵ABCD­A1B1C1D1∴可以以顶点A为原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．∵AD⊥平面AA1B1B，∴∠ABD就是直线BD与平面AA1B1B所成的角，∠ABD＝30°，∴Rt△BAD中，由AB＝2，AE⊥BD，∠ABD＝30°可解得AD＝AB·tan30°＝2×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(2\r(3),3)，BD＝2AD＝eq\f(4\r(3),3)，AE＝1.过点E在平面ABCD内作AB的垂线EM，垂足为点M，∴Rt△AEM中，EM＝AE·sin60°＝eq\f(\r(3),2)，AM＝AE·cos60°＝eq\f(1,2).又长方体ABCD­A1B1C1D1中AA1＝1，F为A1B1的中点，∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，A1(0,0,1)，B1(2,0,1)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2\r(3),3)，0))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)，0))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，0))，F(1,0,1)．[能力提升]1．空间两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点的位置关系是________．【解析】由A，B两点的坐标可知关于y轴对称．【答案】关于y轴对称2．在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴的对称点在坐标平面xOz上的射影的坐标为________．【解析】点M关于y轴的对称点是M′(－4,7，－6)，点M′在坐标平面xOz上的射影是(－4,0，－6)．【答案】(－4,0，－6)3.图2­3­8如图2­3­8所示，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.试建立适当的空间直角坐标系，则写出A，B，C，D，P，E的坐标．A________，B________，C________，D________，P________，E________.【解析】如图所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，AP所在直线为z轴，与过点A与AB垂直的直线AG所在直线为y轴，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是A(0,0,0)，B(1,0,0)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)，0))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，0))，P(0,0,2)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)，0)).【答案】(0,0,0)(1,0,0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，0))(0,0,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)，0))(答案不唯一)4.图2­3­9如图2­3­9所示，AF，DE分别是圆O，圆O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8，BC是圆O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标．【解】因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，所以OE⊥平面ABC.又AF⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以OE⊥AF，OE⊥BC，又BC是圆O的直径，所以O