高中数学人教A版1直线与圆的位置关系 第4节

第二讲第四节一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列说法中正确的是()A．圆的切线上的一点与圆心的连线垂直于切线B．一个圆的两条切线必相交C．和三角形各边所在的直线都相切的圆一定是三角形的内切圆D．以等腰三角形的顶点为圆心，底边上高为半径的圆与底边相切答案：D2．如图所示，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC＝eq\f(1,2)BC，则sin∠MCA＝()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(5),5)解析：由弦切角定理，得∠MCA＝∠ABC．∵sin∠ABC＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(AC,\r(AC2＋BC2))＝eq\f(AC,\r(5)AC)＝eq\f(\r(5),5)，故选D．答案：D3．如图，AB为⊙O直径，CD切⊙O于D，AB的延长线交CD于点C，若∠CAD＝25°，则∠C为()A．45° B．40°C．35° D．30°解析：连结BD，∵AB为直径，∴∠BDA＝90°.又∵CD为⊙O的切线，切点为D，由弦切角定理知∠BDC＝∠CAD＝25°.∴∠CDA＝90°＋25°＝115°，在△ACD中，∠C＝180°－∠A－∠CDA＝180°－25°－115°＝40°，∴选B．答案：B4．如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为()A．2 B．3C．2eq\r(3) D．4解析：连接BC．∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，由弦切角定理可知，∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD，∴eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,AC)，∴AC2＝AB·AD＝6×2＝12，∴AC＝2eq\r(3)，故选C．答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知如图，PA切⊙O于点A，PCB交⊙O于C、B两点，且PCB过点O，AE⊥BP交⊙O于E，则图中与∠CAP相等的角是________、________.解析：其中：∠B、∠AEC都与∠CAP相等，连接OA、OE，则△AOE为等腰三角形．∵OC⊥AE，∴OC垂直平分AE，∴△ACE为等腰三角形，∴∠EAC＝∠AEC＝∠CAP.答案：∠EAC∠AEC6．如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.解析：连接OC，∵PC切⊙O于C点，∴OC⊥PC．∵PB＝OB＝2，OC＝2.∴PC＝2eq\r(3).∵OC·PC＝OP·CD．∴CD＝eq\f(2×2\r(3),4)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图所示，△ABT内接于⊙O，过点T的切线交AB的延长线于点P，∠APT的平分线交BT、AT于C、D．求证：△CTD为等腰三角形．证明：∵PD是∠APT的平分线，∴∠APD＝∠DPT.又∵PT是圆的切线，∴∠BTP＝∠A．又∵∠TDC＝∠A＋∠APD，∠TCD＝∠BTP＋∠DPT，∴∠TDC＝∠TCD，∴△CTD为等腰三角形．8．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6，BC＝4，求AE.解析：(1)证明：在△ABE和△ACD中，AB＝AC，∠ABE＝∠ACD，∠BAE＝∠EDC，∵BD∥MN，∴∠EDC＝∠DCN，∵直线MN是圆的切线，∴∠DCN＝∠CAD，∴∠BAE＝∠CAD，∴△ABE≌△ACD．(2)∵∠EBC＝∠BCM，∠BCM＝∠BDC，∴∠EBC＝∠BDC＝∠BAC，BC＝CD＝4.又∠BEC＝∠BAC＋∠ABE＝∠EBC＋∠ABE＝∠ABC＝∠ACB，∴BC＝BE＝4，设AE＝x，易证△ABE∽△DCE，∴eq\f(DE,x)＝eq\f(DC,AB)＝eq\f(4,6)⇒DE＝eq\f(2,3)x，又AE·EC＝BE·ED，EC＝6－x，∴4·eq\f(2,3)x＝x(6－x)，可得x＝eq\f(10,3).eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是∠ACB的平分线交AE于点F，交AB于D点．(1)求∠ADF的度数；(2)若AB＝AC，求AC∶BC．解析：(1)∵AC为圆O的切线，∴∠B＝∠EAC，又DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠DCB，∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋ACD，即∠ADF＝∠AFD，又因为BE为圆O的直径，∴∠DAE＝90°，∠ADF＝eq\f(1,2)(180°－∠DAE)＝45°.(2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACE，∴△ACE∽△BCA，∴eq\f(