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第二章§1、2一、选择题1.已知3x+y=10,则x2+y2的最小值为()A.eq\f(1,10) B.1C.10 D.100答案:C2.设实数x,y满足3x2+2y2≤6,则2x+y的最大值为()A.eq\r(11) B.4C.2eq\r(3) D.eq\r(13)解析:由柯西不等式知(2x+y)2≤(eq\f(4,3)+eq\f(1,2))(3x2+2y2)≤eq\f(11,6)×6=11,∴2x+y≤eq\r(11).答案:A3.已知a,b,c,d,e是满足a+b+c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16的实数,则e的最大值为()A.3 B.4C.5 D.eq\f(16,5)解析:∵(a+b+c+d)2≤4(a2+b2+c2+d2),∴(8-e)2≤4(16-e2),∴0≤e≤eq\f(16,5).答案:D4.下面几个不等式正确的个数是()(1)a,b,c,d∈R,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2;(2)a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da(a,b,c,d∈R);(3)若a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,则a2+b2+c2≥eq\f(1,3);(4)若a,b∈(0,+∞),则(a+b)(eq\f(1,a)+eq\f(1,b))≥4.A.1个 B.2个C.3个 D.4个答案:D二、填空题5.方程eq\r(4x+3)+2eq\r(1-2x)=eq\r(15)的解为________.解析:将原方程变形为:15=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)·\r(2x+\f(3,2))+2·\r(1-2x)))2≤[(eq\r(2))2+22]·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2x+\f(3,2))))2+\r(1-2x)2))=15,其中等号成立的充要条件是eq\f(\r(2x+\f(3,2)),\r(2))=eq\f(\r(1-2x),2),解得x=-eq\f(1,3).答案:x=-eq\f(1,3)6.已知a∈R,若关于x的方程x2+x+|a-eq\f(1,4)|+|a|=0有实数,则a的取值范围是________.解析:∵二次方程x2+x+|a-eq\f(1,4)|+|a|=0有实根,则由Δ=1-4(|a-eq\f(1,4)|+|a|)≥0得|a-eq\f(1,4)|+|a|≤eq\f(1,4),由绝对值的几何意义知,0≤a≤eq\f(1,4).故填0≤a≤eq\f(1,4).答案:0≤a≤eq\f(1,4)三、解答题7.设a,b,c为正实数,求证:eq\f(1,a3)+eq\f(1,b3)+eq\f(1,c3)+abc≥2eq\r(3).证明:因为a,b,c为正实数,由平均不等式可得eq\f(1,a3)+eq\f(1,b3)+eq\f(1,c3)≥3eq\r(3,\f(1,a3)·\f(1,b3)·\f(1,c3)),即eq\f(1,a3)+eq\f(1,b3)+eq\f(1,c3)≥eq\f(3,abc).所以eq\f(1,a3)+eq\f(1,b3)+eq\f(1,c3)+abc≥eq\f(3,abc)+abc.而eq\f(3,abc)+abc≥2eq\r(\f(3,abc)·abc)=2eq\r(3),所以eq\f(1,a3)+eq\f(1,b3)+eq\f(1,c3)+abc≥2eq\r(3).8.设a,b,c,d为正数,a+b+c+d=1,求a2+b2+c2+d2的最小值.解析:∵a,b,c,d为正数,∴由柯西不等式得(a2+b2+c2+d2)(12+12+12+12)≥(a+b+c+d)2.∵a+b+c+d=1,∴4(a2+b2+c2+d2)≥1,即a2+b2+c2+d2≥eq\f(1,4).∴a2+b2+c2+d2的最小值为eq\f(1,4).9.已知:α、β、γ为空间向量.求证|α-β|+|β-γ|≥|γ-α|.证明:|α-β|+|β-γ|≥|γ-α|.证明:设α=(a1,a2,a3),β=(b1,b2,b3),γ=(c1,c2,c3),则α-β=(a1-b1,a2-b2,a3-b3),β-γ=(b1-c1,b2-c2,b3-c3),γ-α=(c1-a1,c2-a2,c3-a3),则|α-β|=eq\r(a1-b12+a2-b22+a3-b32),|β-γ|=eq
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