高中数学人教A版第一章解三角形 课后提升作业一

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课后提升作业一正弦定理(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2023·广州高二检测)在△ABC中,sinA=sinB,则必有()=B ≠B=B或A=C-B +B=π【解析】选A.因为asinA=bsinA=sinB,所以a=b,故A=B.2.满足a=4,b=3和A=45°的△ABC的个数为() D.无数多个【解析】选B.因为A=45°<90°,a=4>3=b,所以△ABC的个数为1.3.在△ABC中,sinA=sinC,则△ABC一定是()A.直角三角形 B.等腰三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形【解析】选B.设asinA=bsinB=又sinA=sinC,即ak=ck所以△ABC一定是等腰三角形.4.(2023·聊城高二检测)在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB=()A.±223 B.223【解析】选C.由正弦定理可知asinA=b即15sin60°=10sinB,解得sinB=因为b<a,A=60°,所以B为锐角,故cosB=1-sin2【误区警示】解答本题易出现选D的错误答案,导致出现这种错误的原因是忽略了b<a的条件.5.在△ABC中,若c=2acosB,则△ABC的形状为()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形 D.不等边三角形【解析】选B.由正弦定理知c=2RsinC,a=2RsinA,故sinC=2sinAcosB=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB.所以sinAcosB=cosAsinB,即sin(A-B)=0,所以A=B.所以△ABC为等腰三角形.6.(2023·包头高二检测)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=8,B=60°,C=75°,则b等于()2 3 6 D.32【解析】选C.因为B=60°,C=75°,所以A=45°,因为asinA=bsinB,所以822=7.(2023·上饶高二检测)有分别满足下列条件的两个三角形①B=30°,a=14,b=7;②B=60°,a=10,b=9.那么下列判断正确的是()A.①②都只有一解 B.①②都有两解C.①有两解,②有一解 D.①有一解,②有两解【解析】选D.①因为B=30°,a=14,b=7,所以由正弦定理asinA=bsinB,得sinA=所以A=90°,可得三角形只有一解;②因为B=60°,a=10,b=9,所以由正弦定理asinA=bsinB,得sinA=asinB因为B=60°,a>b,0°<A<180°,所以角A有两个值满足sinA=538.(2023·广州高二检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cosA=13A.229 B.223 C.1【解析】选C.在△ABC中,因为cosA=13,所以sinA=1-cos2A=223,由b=3c得sinB=3sinC=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=223cosC+13sinC,得cosC=2二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2023·北京高考)在△ABC中,a=3,b=6,A=2π3,则B=【解题指南】利用正弦定理求解,注意角B的范围.【解析】由正弦定理得3sin2π3=6sinB,所以sinB=22答案:π10.(2023·许昌高二检测)△ABC的三内角A,B,C的对边边长分别为a,b,c,若a=x,b=2,B=45°,且此三角形有两解,则x的取值范围是________.【解析】由AC=b=2,要使三角形有两解,就是要使以C为圆心,半径为2的圆与BA有两个交点.当A=90°时,圆与AB相切;当A=45°时交于B点,也就是只有一解,所以45°<A<135°,且A≠90°,即22<sinA<1,由正弦定理得asinB=bsinA.可得:a=x=bsinAsinB因为22sinA∈(2,22),所以x的取值范围是(2,22).答案:(2,22)三、解答题(每小题10分,共20分)11.在锐角三角形ABC中,A=2B,a,b,c所对的角分别为A,B,C,求ab【解析】在锐角三角形ABC中,A,B,C<90°,即B<90°,由正弦定理知:ab=sinAsinB=sin2BsinB故ab的取值范围是(2,312.(2023·南昌高二检测)设函数f(x)=12sinx+3(1)求函数f(x)的最小正周期和值域.(2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)=32,且a=3【解析】(1)因为f(x)=12sinx+32cosx=sin所以f(x)的最小正周期为2π.因为x∈R,所以x+(2)由(1)知f(A)=sinA+所以sinA+π3因为0<A<π,所以π3<A+π3<故A+π3=2π3,所以又a=32b,asinA=bsinB,所以32b又0<B<π,所以B=π2所以C=π-A-B=π-π3-π2=【能力挑战题】(2023·湖南高考)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA,且B为钝角.(1)证明:B-A=π2(2)求sinA+sinC的取值范围.【解析】(1)由a=btanA及正弦定理,得sinAcosA=ab所以sinB=cosA.又B为钝角,π2+A∈πsinB=cosA=sinπ2所以B=π2+A,即B-A=π(2)由(1)知C=π-(A+B)=π-2A+π2所以A∈0,于