高中数学苏教版1第2章圆锥曲线与方程2．2椭圆第2章222

2.2.2椭圆的几何性质1.掌握椭圆的几何图形和简单几何性质.(重点)2.能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题.(难点)[基础·初探]教材整理椭圆的几何性质阅读教材P31～P33例1以上部分，完成下列问题.1.椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点(±a,0)，(0，±b)(±b,0)，(0，±a)轴长长轴长＝2a，短轴长＝2b焦点(±c,0)(0，±c)焦距F1F2＝对称性对称轴x轴、y轴，对称中心(0,0)离心率e＝eq\f(c,a)(0＜e＜1)2.椭圆的离心率1.判断正误：(1)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a.()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.()(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆.()【解析】(1)×.椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的长轴长等于2a.(2)√.椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.(3)√.离心率e＝eq\f(c,a)越小c就越小，这时b就越接近于a，椭圆就越圆.【答案】(1)×(2)√(3)√2.椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1的离心率是________.【导学号：24830029】【解析】由方程可知a2＝25，a＝5，c2＝a2－b2＝25－16＝9，∴c＝3，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5).【答案】eq\f(3,5)[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型]已知椭圆方程求其几何性质已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝eq\f(\r(3),2)，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.【精彩点拨】把椭圆方程标准化→利用离心率求m的值→求a，b，c→求性质【自主解答】椭圆方程可化为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,\f(m,m＋3))＝1.∵m－eq\f(m,m＋3)＝eq\f(mm＋2,m＋3)>0，∴m>eq\f(m,m＋3)，即a2＝m，b2＝eq\f(m,m＋3)，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(\f(mm＋2,m＋3)).由e＝eq\f(\r(3),2)得eq\r(\f(m＋2,m＋3))＝eq\f(\r(3),2)，∴m＝1.∴椭圆的标准方程为x2＋eq\f(y2,\f(1,4))＝1.∴a＝1，b＝eq\f(1,2)，c＝eq\f(\r(3),2).∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点分别为F1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，0))，F2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0))；四个顶点分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))，B2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).用标准方程研究几何性质的步骤将椭圆方程化为标准形式⇓焦点位置⇓求出a，b，c⇓写出椭圆的几何性质[再练一题]1.求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.【解】把已知方程化成标准方程eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1，于是a＝4，b＝3，c＝eq\r(16－9)＝eq\r(7)，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(7),4)，两个焦点坐标分别是(－eq\r(7)，0)，(eq\r(7)，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3).由椭圆的几何性质求方程(1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为eq\f(\r(3),2)，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________.(2)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为eq\r(3)，则椭圆的标准方程为________.【精彩点拨】解决问题的关键是根据已知条件求出a2和b2.【自主解答】(1)设椭圆G的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，半焦距为c，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝12，,\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6，,c＝3\r(3).))∴b2＝a2－c2＝36－27＝9，∴椭圆G的方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2c，,a－c＝\r(3)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(3)，,c＝\r(3).))从而b2＝9，∴所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1.【答案】(1)eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1(2)eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1.1.利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常采用待定系数法.2.根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准、定参数”，一般步骤是：(1)求出a2，b2的值；(2)确定焦点所在的坐标轴；(3)写出标准方程.[再练一题]2.直线x－2y＋2＝0过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的方程为________.【解析】直线x－2y＋2＝0与x轴的交点为(－2,0)，即为椭圆的左焦点，故c＝2.直线x－2y＋2＝0与y轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故b＝1.故a2＝b2＋c2＝5，椭圆方程为eq\f(x2,5)＋y2＝1.【答案】eq\f(x2,5)＋y2＝1求椭圆的离心率(1)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的半焦距为c，若直线y＝2x与椭圆的一个交点P的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为________.【导学号：24830030】(2)已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x轴的距离等于短半轴长的eq\f(2,3)，则椭圆的离心率为________.【精彩点拨】(1)求出点P的坐标，利用点P在椭圆上其坐标满足椭圆的方程构建关于离心率e的方程，解方程可得离心率.(2)在焦点三角形PF1F2中利用椭圆的定义与勾股定理得到a，b【自主解答】(1)依题意有P(c,2c)，点P在椭圆上，所以有eq\f(c2,a2)＋eq\f(4c2,b2)＝1，整理得b2c2＋4a2c2＝a2b2，又因为b2＝a2－c2，代入得c4－6a2c2＋a4＝0，即e4－6e2＋1＝0，解得e2＝3－2eq\r(2)(3＋2eq\r(2)舍去)，从而e＝eq\r(2)－1.(2)方法一：设焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)，M是椭圆上一点，依题意设M点坐标为(c，eq\f(2,3)b).在Rt△MF1F2中，F1Feq\o\al(2,2)＋MFeq\o\al(2,2)＝MFeq\o\al(2,1)，即4c2＋eq\f(4,9)b2＝MFeq\o\al(2,1)，而MF1＋MF2＝eq\r(4c2＋\f(4,9)b2)＋eq\f(2,3)b＝2a，整理，得3c2＝3a2－2ab.又c2＝a2－b2∴3b＝2a.∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(4,9).∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,9)，∴e＝eq\f(\r(5),3).法二：设Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(2,3)b))，代入椭圆方程，得eq\f(c2,a2)＋eq\f(4b2,9b2)＝1，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(5,9)，∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3)，即e＝eq\f(\r(5),3).【答案】(1)eq\r(2)－1(2)eq\f(\r(5),3)求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq\f(c,a)求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq\f(c,a)求解.(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围.[再练一题]3.点F为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一个焦点，若椭圆上存在点A使VAOF为正三角形，那么椭圆的离心率为________.【解析】由题意，可设椭圆的焦点坐标为(c,0)，因为△AOF为正三角形，则点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(\r(3),2)c))在椭圆上，代入得eq\f(c2,4a2)＋eq\f(3c2,4b2)＝1，即e2＋eq\f(3e2,1－e2)＝4，得e2＝4－2eq\r(3)，解得e＝eq\r(3)－1.【答案】eq\r(3)－1[探究共研型]直线与椭圆的综合应用探究1已知直线y＝kx＋m和椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，如何判断直线与椭圆的位置关系？【提示】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1))得(a2k2＋b2)x2＋2kma2x＋a2(m2－b2)＝0，设该二次方程的判别式为Δ，若Δ＞0，则直线与椭圆有两个交点；若Δ＝0，则直线与椭圆有一个交点；若Δ＜0，则直线与椭圆没有交点.探究2如果直线与椭圆有两个交点，那么直线与椭圆交点的横坐标与探究1中得到的关于x的二次方程有什么关系？【提示】探究1中得到的关于x的二次方程(a2k2＋b2)x2＋2kma2x＋a2(m2－b2)＝0的两个根分别是直线与椭圆交点的横坐标.探究3设直线与椭圆有两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M，那么如何求线段AB的长和M的坐标？【提示】方法一：解方程(a2k2＋b2)x2＋2kma2x＋a2(m2－b2)＝0，可得x1，x2，由y＝kx＋m可得y1，y2，即得A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标，然后利用两点间距离公式和中点坐标公式可求线段AB的长和M的坐标.方法二：根据韦达定理，采取“设而不求”思路解决问题.即AB＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(x1－x22＋kx1＋m－kx2－m2)＝eq\r(x1－x22＋kx1－kx22)＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1－x22)＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)，点M的坐标可直接利用韦达定理求解.上述两种方法，第一种方法运算太过繁琐，一般采用第二种方法求解此类问题.已知点A(0，－2)，椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为eq\f(2\r(3),3)，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.【自主解答】(1)设F(c,0)，由条件知，eq\f(2,c)＝eq\f(2\r(3),3)，得c＝eq\r(3).又eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).将y＝kx－2代入eq\f(x2,4)＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>eq\f(3,4)时，由根与系数的关系得：x1＋x2＝eq\f(16k,4k2＋1)，x1x2＝eq\f(12,4k2＋1).从而|PQ|＝eq\r(k2＋1)|x1－x2|＝eq\f(4\r(k2＋1)·\r(4k2－3),4k2＋1).又点O到直线PQ的距离d＝eq\f(2,\r(k2＋1)).所以△OPQ的面积S△OPQ＝eq\f(1,2)d·|PQ|＝eq\f(4\r(4k2－3),4k2＋1).设eq\r(4k2－3)＝t，则t>0，S△OPQ＝eq\f(4t,t2＋4)＝eq\f(4,t＋\f(4,t)).因为t＋eq\f(4,t)≥4，当且仅当t＝2，即k＝±eq\f(\r(7),2)时等号成立，且满足Δ>0.所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝eq\f(\r(7),2)x－2或y＝－eq\f(\r(7),2)x－2.椭圆是圆锥曲线中重要的一种曲线，它可以同其它章节知识结合考查，如不等式、三角函数及平面向量，特别是与直线方程，解决这类问题时要注意方程思想、函数思想及转化思想，其中利用方程中根与系数的关系构造方程或函数是常用的技巧.[再练一题]4.已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，短轴一个端点到右焦点的距离为2.(1)求该椭圆的方程；(2)若P是该椭圆上的一个动点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，求eq\o(PF1,\s\up12(→))·eq\o(PF2,\s\up12(→))的最大值与最小值.【解】(1)设椭圆的半焦距为c，由题意eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，且a＝2，得c＝eq\r(3)，b＝1，∴所求椭圆方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)设P(x，y)，由(1)知F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，则eq\o(PF1,\s\up12(→))·eq\o(PF2,\s\up12(→))＝(－eq\r(3)－x，－y)·(eq\r(3)－x，－y)＝x2＋y2－3＝x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,4)))－3＝eq\f(3,4)x2－2，∵x∈[－2,2]，∴当x＝0，即点P为椭圆短轴端点时，eq\o(PF1,\s\up12(→))·eq\o(PF2,\s\up12(→))有最小值－2；当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，eq\o(PF1,\s\up12(→))·eq\o(PF2,\s\up12(→))有最大值1.[构建·体系]1.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于eq\f(1,2)，则C的方程是________.【解析】由题意知c＝1，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以a＝2，b2＝a2－c2＝3.故所求椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.【答案】eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝12.已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是________.【导学号：24830031】【解析】∵直线x＋2y＝2过(2,0)和(0,1)点，∴a＝2，b＝1，∴c＝eq\r(3)，椭圆焦点坐标为(±eq\r(3)，0).【答案】(±eq\r(3)，0)3.若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍.则m的值为________.【解析】将原方程变形为x2＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1.由题意知a2＝eq\f(1,m)，b2＝1，∴a＝eq\r(\f(1,m))，b＝1.∴eq\r(\f(1,m