高中数学人教A版第三章函数的应用函数与方程

第三章3.1．下列图象表示的函数中没有零点的是eq\x(导学号69174959)(A)[解析]没有零点就是函数图象与x轴没有交点，故选A．2．方程log3x＋x＝3的解所在的区间为eq\x(导学号69174961)(C)A．(0,2) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)[解析]令f(x)＝log3x＋x－3，则f(2)＝log32＋2－3＝log3eq\f(2,3)＜0，f(3)＝log33＋3－3＝1＞0，所以方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2,3)，故选C．3．已知曲线y＝(eq\f(1,10))x与y＝x的交点的横坐标是x0，则x0的取值范围是eq\x(导学号69174963)(A)A．(0，eq\f(1,2)) B．(eq\f(1,2)，2) C．(eq\f(1,2)，1) D．(1,2)[解析]设f(x)＝(eq\f(1,10))x－x，则f(0)＝1>0，f(eq\f(1,2))＝(eq\f(1,10))eq\s\up7(\f(1,2))－eq\f(1,2)＝eq\r－eq\r<0，f(1)＝eq\f(1,10)－1<0，f(2)＝(eq\f(1,10))2－2<0，显然只有f(0)·f(eq\f(1,2))<0，选A．4．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为eq\x(导学号69174969)(C)A．至多有一个 B．有一个或两个C．有且仅有一个 D．一个也没有[解析]若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)<0得零点只有一个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，如有两个零点，则必有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．5．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1008个，则f(x)的零点的个数为eq\x(导学号69174971)(D)A．1008 B．1009 C．2023 D．[解析]由于奇函数图象关于原点对称且它在(0，＋∞)内的零点有1008个，所以它在(－∞，0)内的零点也有1008个，又f(x)的定义域为R，所以f(0)＝0.即0也是它的零点，故f(x)的零点共有2023个．6．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)·(x－a)的两个零点分别位于区间eq\x(导学号69174972)(C)A．(b，c)和(c，＋∞)内 B．(－∞，a)和(a，b)内C．(a，b)和(b，c)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内[解析]由于a＜b＜c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－a)(b－c)＜0，f(c)＝(c－b)(c－a)＞0，根据零点的存在性定理可知，函数的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选C．7．函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为\x(导学号69174965)[解析]∵y＝f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴四个根之和为0.8．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2－x－1，x≤0，,3x－4，x＞0))的零点的个数为\x(导学号69174966)[解析]当x≤0时，令2x2－x－1＝0，解得x＝－eq\f(1,2)(x＝1舍去)；当x＞0时，令3x－4＝0，解得x＝log34，所以函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2－x－1，x≤0，,3x－4，x＞0))有2个零点．9．对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a－b≤1，,b，a－b＞1，))设函数f(x)＝(x2－2)*(x－1)，x∈R，若方程f(x)＝c恰有两个不同的解，则实数c的取值范围是__(－2，－1]∪(1,2]\x(导学号69174974)[解析]由题意知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2－1≤x≤2，,x－1x＜－1或x＞2.))画出f(x)的图象，数形结合可得实数c的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]．三、解答题10．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个负零点，求实数a的取值范围.eq\x(导学号69174967)[解析]当a＝0时，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0得x＝－1符合题意．当a>0时，此函数图象开口向上，又f(0)＝－1<0，结合二次函数图象知成立．当a<0时，此函数图象开口向下，又f(0)＝－1<0，从而有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝1＋4a＝0，,－\f(－1,2a)<0，))即a＝－eq\f(1,4)，综上可知实数a的取值范围为a＝－eq\f(1,4)或a≥0.[警示]本题常犯的错误有：(一)是认定f(x)为二次函数，忽视对a＝0的讨论；(二)是a≠0时对“有且仅有一个负零点”的含义不清导致转化不等价．11．已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)有两个零点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围.eq\x(导学号69174968)[解析]设f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)，如图，有两种情况．第一种情况，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋2＞0，,f1＜0，))解得－2＜m＜－eq\f(1,2).第二种情况，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋2＜0，,f1＞0，))此不等式组无解．综上，m的取值范围是－2＜m＜－eq\f(1,2).12．已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4].eq\x(导学号69174976)(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域；(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点？[解析](1)依题意：f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]，其图象如图所示．(2)∵函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点，∴方程f(x)