2021届新高考数学多题一解篇03 辅助角公式(文理通用解析版)

22，22，届多一辅角篇【识备新课标人教A版修四第三章习题3.2B组第6题（1求函数

y3sinxcosx

的最大值与最小值；（2你能用a,b表示函数

yasinxx

的最大值和最小值吗？解析：（）＋cos＝a2

＋b2

（

＋cos，＋＋2因

2

a

2

b

，故令φ

，sin＝2＋b2

＋则＋cos＝

＋b（sinxcos＋cosxsinφ

＋b（sin+φ，（或令sin＝

，＝，＋＝＋b22＋b2

＋b－)温馨提示：、＋中是一个角，提取系数时，一般提取

a2

b2

，

角所在的象限由a,b的号确定，值tan

ba

确定，特别是当

ba

=

33

时，殊角，此时取

4

3

6

。2、对于形如

xaxx

的函数，在研究其最值、周期、单调、对称等性质时，都需要化为一个角的三角函数转的手段是利用三角函数的和、差角、半角公式结合辅助角公式后再利用三角函数的图象及性质去研究

x的性质。【进考【2019年考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系Oy，曲线C参数方程为（t为数）．以坐4

22标原点O为点轴的半轴为极轴建立极坐标系l的极坐标方程为

3sin

．（1求和l的角坐标方程；（）求C上点到l距的最小值．【答案】（1）

4

；

l

的直角坐标方程为x3；（）．【解析】（1）因为

11

22

，

t

，所以C直角坐标方程为

2

4

．

l

的直角坐标方程为23y

．（2由（）可设参数方程为（y

为参数，

）．C上点到l距离为

π2cos3sin377

．当

时，

3

取得最小值，故上的点到

l

距离的最小值为

7

．【名师点睛题查参数方程坐标方程与直角坐标方程的互化解圆上的点到直线距离最值问题解题中的最值问题通常用参数方程来表示椭圆上的点问题转化为三角函数的最值求问题．、【年考浙江卷】设函数

f)x

.（）知

[0,2

函数

f(x

)

是偶函数，求

的值；（）函数

y(x

)]2f(x)]24

的值域．【答案】（1）

π333或；2）,1]．【解析】（1）因为f

是偶函数，所以，对任意实x有x

，即

sincosx

cosxsin

故2sinxcos

，以cos

．又

)

，因此

π3或．

2xsin2sin1241242xsin2sin124124（2

f

π

1x232x222222

2x3

．因此，函数的值域是

[1

,1]

．【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能、【年考全国Ⅰ卷理数】△ABC内角，，的边分别为，，，设(sinsin

2

sin

2

AsinC

．（）若

2

，求C．【答案）AC

2

.【解析）由已知得2B2sinC，故正弦定理得b22bc．b由余弦定理得cosbc2

．因为

，所以A

．（）（）B，题设及正弦定理得

2sin

C

，即

31CC2sin，得cosC22

．由于0

，所以

，故

sinCsinsin

．

【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或之间的关系．(2018全卷)若f(x)cosxx

在[]

是减函数，则

的最大值是A

π

B

π

C．

3

D．

π【答案】A【解析】解法一f(x)sinx

πcos(

，且函数y

在区间[0,

]

上单调递减，则由≤x≤≤x≤f(x)4

在[]

上是减函数a≤4

≤，解法二因为x)cos

，所以f

xcosx

，则由题意知fxcosx≤

在[]

上恒成立，即

sinxcosx

，即x

≥0，在[a]

上恒成立，结合函数ysin()

≥04的图象可知有a≤

，解得a≤，以0≤，所以a的大值是

，故选．5新标Ⅰ直坐标系

中，曲线

C

的参数方程为

xy

，为数，线

l

的参数方程为

xty

(t为数．

(1)若

C与l的交点坐标；

若C的点到l距的最大值为

，求．【解析）曲线

的普通方程为

29

2

．当

时，直线

l

的普通方程为xy

．y由解得或yy

21xy25

，从而

与

l

的交点坐标为(3,0)

，(

)

．（）线

l

的普通方程为0

，故

上的点(3cos

到

l

的距离为d

|

17

．当

，的大值为

aa．由题设得1717

17，以；当

时，

的最大值为

．由题设得1717

，所以

．综上，或

．【例析基题：【例】当时函数5【答案】

f()sin2cosx

取得最大值,则

cos

．【解析】Ⅰ

f(x)

=

sin2cos=5(

5252sinx令cos，555

，则

f()=x

)5

，

当

k

kz，即x2

z时f()

取最大值，此时=

k

z

，∴

cos

=

=

=

5

.【例】为了得到函数ysinxcosx

的图象，可以将函数x的像A．右移C向左平移【答案】A

个单位B向右平移个单位D．向左平移

个单位个单位【解析】因为ycos3x

cos(3x)x)

，所以将函数y2

的图象向右平移

个单位后，可得到yx)

的图象，故选．【例】若将函数f(x)cos2值是

的图象向右平移个位，所得图象关于y

轴对称，则的最小正A．

3B．D484【答案】C【解析】(x

sin(2)

函数)

的图象向右平移

个单位得(xsin(2

，由该函数为偶函数可知2

k3,Z，，以的小正值是为．228以坐为台查助公：【例新标Ⅰ直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为1

cos

．(1)

M为线1

上的动点点P线段OM上且足OMOP

求点P

的轨迹

C

2

的直角坐

标方程；(2)设点A的坐标为(2,

，点B

在曲线

C上求OAB面的最大值．2【解析）设

的极坐标为

(

0)

，的坐标为

(

1

(

1

．由椭圆知OP

，|OM

．由|OM|OP|

得

C

2

的极坐标方程

4cos

0)

．因此C的角标方程为2

2

2

4(

．（）点B的坐标为(

,B

(

B

0)

．由题设知OA|

，

B

，于是面S

3|OAAOB4cos)|)B32

23

．当

时，取最大值2．以面的最大值为23．以数程平考辅角式【例】已知曲线：

x2y2，线l：4

xyt

（t为数(Ⅰ)写曲C的参数方程，直线l的通方程；（Ⅰ曲C上一点作l角为的线，交l于A，的大值与最小值．【解析线程为

xy3sin

(数).

线通2xy（Ⅰ

C上任意一

l距离为

则

255sin(,其中锐角，tan.3053

(sin＋sin)＝＋[sinB＋A＋)]＝＋sinB＋cosB(sin＋sin)＝＋[sinB＋A＋)]＝＋sinB＋cosB33333233当s(得最大，最大值

in(取得最小值最小值为

5

以三形平考辅角式1【例】设Ⅰ的角A，，所的分别为，，，且acosC－c＝.2求的小；

若a1，求Ⅰ周的取值范围．11【解析】由aC－c＝得sinAcosCsin＝221又sin＝C)sincosC＋AC，所以sinC－sinC21π因为sinC≠0，以cos＝－.又为<，所以A＝.23asinB22(2)由正弦定理得＝＝sin，＝sinC.sinA3l＝＋＋＝＋

22233332＝＋所以sin

2ππππ2sin＋.因＝，以Ⅰ，，所以B＋Ⅰ，33B＋Ⅰ，.所Ⅰ的长的取值范为，＋.23以面量平考辅角式【例已知向量

a

函

f

的图像过点

和点

2

．（Ⅰm

的值；

3131（Ⅰ

yf

的图像向左平移

到数

y

的图像若

y

图像上各最高点到点

小为1求

yg

的单调递增区间．【解析Ⅰ已知

fx)sinx

，

f(x)过(

2(

，Ⅰ(

msin

cos

3

，f(

4cos3

，Ⅰ

3mn3222

解得

（Ⅰ（Ⅰf)

sin2xcosx2sin(2

由题意知()2sin(2

，设

的图象上符合题意的最高点为

x0由题意知

20

．所以

x0

，即到点(0,3)

的距离为1的高点为(0,2)

．将其代入

y

，又Ⅰ，因此

2

，2x2kk

，得

z，Ⅰfx

的单调增区间为[

kZ

．【例】已知向量x)

，

b(3,3)

，[0,

]

．（）

a

，求

的值）(x)

，求f()

的最大值和最小值以及对应的

的值．【解析因为x,sinx)

，

3)

，

a

，所以

cosx

．若

cosx，则sinx，sin矛盾，故x

．

44于是

．又x]

，所以x

．（）

f()(cosxx3)3x

π

.因为

x[0,]

，所以

x

π7[,]6

π3，从而cos(2

.于是，当

x

ππ，即x时，

f(x

取到最大值；当

x

ππx时，f()

取到最小值3．以角换平考辅角式【例】已知函数f(xtancoscos(x

.(Ⅰ)(x)

的定义域与最小正周期Ⅰ论f(x)

在区间

4

上的单调性．【解析】Ⅰ)

fx

的定义域为{|x

}

．3f()tancosxcos(x)4sinxx)34sin(cosx2

32sinxx3sin

xsin23(1cos2x)3sin3cos2x

所以f)

的最小正周期T

2

．

令

x

函数z

的单调递增区间是

,由

k

得

设

AkZ

，易知

A,4

．

22所以当时,f()在间,444

上单调递增在间

上单调递减．以线离平考辅角式【例】记

d

为点P

,sin

到直线xmy

的距离，当

，

变化时，

d

的最大值为A．【答案】C

B．C．．【解析】由题意可得

sinm2

msin

m2

2

mm2

sinm2

m2

|

m2（其中

cos

2

，

2

Ⅰsin(

,Ⅰ

|2m

≤d

2m2m

，

2m2

2m

，Ⅰm时d取最值3故选C【例】在直角坐标系

中，曲线C的数方程为

（为参数坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为)2．4（Ⅰ出C的通方程和的直角坐标方程；12（Ⅰ点P在上点在C上求|PQ|的最小值及此时P的角坐标．【解析Ⅰ

C

1

的普通方程为

3

，

C

2

的直角坐标方程为x0

.

（Ⅰ题，可设点的角坐标为(

，因为C是线，2所以PQ的小值，即为到的离d)2

的最小值，

2|)

．当且仅当k

Z)

时，d()

取得最小值，最小值为2，此时P

的直角坐标为()

．【踪习1、函数()3)(sinx)

的最小正周期是A．

Bπ

C

D．π【答案】B【解析】由题意得f(x)2T．故选．

)x)2sin(23

)

，故该函数的最小正周期2、设函数xsin(2

cos(2)4

，则A．(在Byf(Cyf()在

)

单调递增，其图象关于直线单调递增，其图象关于直线x单调递减，其图象关于直线

对称对称对称D．(

在

(0,

)

单调递减，其图象关于直线

x

对称【答案】D【解析】Ⅰ

f()

cos(2)=2sin(2)cos2x42

，

所以x

在(0,)

单调递减，对称轴为

2x

k，即x(kZ

．3、函数

2x

2

x

的最小正周期为

.【答案】

【解析】

y

3111sin2x2x=sin2xcos2sin(222

，所以其最小正周期

．4、

中，

BAC

，则+2的大值为____【答案】

7【解析据

ABACABCsinsinAsinB

C

同

BC

因此

AB4sinAC

4sin3sin(

．5、函数fxsinx

的最小正周期是，调减区间是______．【答案】

、

[

78

(

)【解析】

f(x)

sin(22

，故最小正周期为，调递减区间为

3[(Z

)．6、设

xx

，若对任意实数都有f实数a的值范围是．【答案】

a【解析】

f()

sin3xcos32sin(3

得

f(x

故

a

．7、设f(x)

=

x

，其中a,R，f(x()

对一切则x恒成，则

11Ⅰ(

)

；Ⅰ

f＜f)

；Ⅰ

f(x)

既不是奇函数也不是偶函数Ⅰ

f)

的单调递增区间是

k63

；Ⅰ经点(a)

的直线与函数f()

的图像不相交以上结论正确的是【答案】ⅠⅠ

(写出所有正确结论的编．【解析】

)sincos2xa2x

（其中

因此对一切

x

，f()f()|恒立以sin(()(xa2)3

．1111而()2)

，所以Ⅰ；|f(

717sin|sin，|f()|asin5

，所以f(

7f)|5

，故Ⅰ；Ⅰ正确；Ⅰ：由函数f)

2

2

x)

和f()a2sin(2x)

的图（图略可知不存在经过点()

的直线与函数x

的图象不相交，故Ⅰ．8、设常数

，函数fxasin2

2

x

．(1)若fx

为偶函数，求

的值；(2)若f()

，求方程

f(x)2

在区【解析】f(x)

为偶函数，则对任意xR，有(x)f()

；即

asin2cos2xsin2())

简

asin2

对任意

xR

成立

a

；(2)

f()sin(2)2cos2()，以a3，44故

f(x

2xx

．则方程

f(x

，即

32x

，

所以

3sinx

x

，化简即为

，即

x)

5，解得x24

，k

若求该方程在[

上有解，则k

],]

，即k或；

或1，对应的x的分别为：

、、．9、设函数(x

，中0已知f()26

．（Ⅰ

；（Ⅰ函yf)

的图象上各点的横坐标伸长为原来的2（纵坐标不变将得到的图象向左平移

个单位，得到函数ygx

的图象，求gx)[

3]4

上的最小值．【解析Ⅰ因为f(x

2

，所以

f(

1331cossincos3(sin22

))因为f()

，所以

，

k

，故

，

k

，又

0

，所以

．（Ⅰ（Ⅰ(x)sin(2

，所以()3sin(x

)3x)3

．因为

x[

]

，所以

x]33

，当

12

，即

x

时，()

取得最小值

．x10、知函数()sincos2sin．22(Ⅰ)求f()的最小正周期；(Ⅰ)求fx)在间[上的最小值．

【解析Ⅰ因为fx

2sin(1cos2

2sin(x2

，所以f()

的最小正周期为．（Ⅰ为

，所以

3．，即4442

34

时，f()

取得最小值．所以(x)

在区间

f(

．、设向量a

sinx（I）若|a

，求x的；（II）函数f(求()

的最大值．【解析由

2

3x)

2

x

2

2

x

，b(cos)2x)，a得4sin

x

，又x[0,

],从

，所以x

.（）(x)

x