高中数学人教A版1第三章导数及其应用单元测试 获奖作品

专题一导数的概念及运算在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不具备求导法则条件的式子，在求导前应先利用代数、三角恒等变换对函数式进行化简，再求导．例1利用导数的定义求函数f(x)＝eq\f(1,x＋2)的导数解析因为Δy＝eq\f(1,x＋Δx＋2)－eq\f(1,x＋2)＝eq\f(－Δx,x＋Δx＋2x＋2)，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－1,x＋Δx＋2x＋2)，所以f′(x)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))[eq\f(－1,x＋Δx＋2x＋2)]＝－eq\f(1,x＋2x＋2)＝－eq\f(1,x＋22)..（巩固训练）设函数f(x)在x0处可导，则lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0－Δx－fx0,Δx)等于()A．f′(x0)B．－f′(x0)C．f(x0)D．－f(x0)解析：lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0－Δx－fx0,Δx)＝－lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(f[x0＋－Δx]－fx0,－Δx)＝－f′(x0)．故选B例2求下列函数的导数：(1)y＝exlnx;(2)y＝eq\f(1＋sinx,1－cosx).解析(1)y′＝(ex)′lnx＋ex(lnx)′＝exlnx＋eq\f(ex,x).(2)y′＝eq\f(1＋sinx′1－cosx－1＋sinx1－cosx′,1－cosx2)＝eq\f(cosx1－cosx－1＋sinxsinx,1－cosx2)＝eq\f(cosx－sinx－1,1－cosx2)..（巩固训练）求下列函数的导数：(1)y＝x2＋tanx;(2)y＝xe－x.解析：(1)因为y＝x2＋tanx＝x2＋eq\f(sinx,cosx)，所以y′＝(x2)′＋(eq\f(sinx,cosx))′＝2x＋eq\f(cos2x－sinx－sinx,cos2x)＝2x＋eq\f(1,cos2x).(2)因为y＝xe－x＝eq\f(x,ex)，所以y′＝(eq\f(x,ex))′＝eq\f(ex－xex,ex2)＝eq\f(1－x,ex).专题二求切线的方程利用导数的几何意义是切点处切线的斜率求切线方程。有如下三种类型：①已知切点(x0，y0)，求切线方程；②已知切线的斜率k，求切线方程；③求过(x1，y1)的切线方程．其中①是基本类型，类型②和类型③都可转化为类型①进行处理．类型①，利用y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)直接求出切线方程．类型②，设出切点(x0，y0)，再由k＝f′(x0)，再由(x0，y0)既在切线上，又在曲线上求解；类型③，先设出切点(x0，y0)，利用k＝f′(x0)及已知点(x1，y1)在切线上求解．例3函数f(x)＝eq\f(lnx－2x,x)的图象在点(1，－2)处的切线方程为()A．2x－y－4＝0 B．2x＋y＝0C．x－y－3＝0 D．x＋y＋1＝0解析f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，则f′(1)＝1，故该切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.故选C.（巩固训练）曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为____________．【答案】4x－y－3＝0解析因为y′＝3lnx＋4，所以k＝y′|x＝1＝3ln1＋4＝4，又切点为(1,1)，所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.例4与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是()A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0解析对y＝x2求导得y′＝2x.设切点坐标为(x0，xeq\o\al(2,0))，则切线斜率为k＝2x0.由2x0＝2得x0＝1，故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0，故选D.（巩固训练）已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为________．答案：(1，0)解析：设点P的坐标为(x0，y0)，因为f′(x)＝4x3－1，所以4xeq\o\al(3,0)－1＝3，所以x0＝1.所以y0＝14－1＝0，所以即得P(1，0)．例5过点A(0,16)作曲线y＝x3－3x的切线，求此切线方程.解析因为点A(0,16)不在曲线y＝x3－3x上，设切点为M(x0，y0)，则有y0＝xeq\o\al(3,0)－3x0，又y′x＝x0＝3(xeq\o\al(2,0)－1)，故切线方程为y－(xeq\o\al(3,0)－3x0)＝3(xeq\o\al(2,0)－1)(x－x0)．所以A(0,16)在切线上，所以16－(xeq\o\al(3,0)－3x0)＝3(xeq\o\al(2,0)－1)(0－x0)，化简得xeq\o\al(3,0)＝－8，解得x0＝－2.所以切点为M(－2，－2)，切线方程为9x－y＋16＝0（巩固训练）已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为()A．x＋y－1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0解析∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xlnx上，∴设切点为(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋lnx，