高中数学北师大版5第一章不等关系与基本不等式 优秀奖

第一章§2一、选择题1．实数a、b满足ab<0，那么()A．|a－b|<|a|＋|b| B．|a＋b|≥|a－b|C．|a＋b|<|a－b| D．|a－b|<||a|－|b||解析：由ab<0，不妨设a>0，b<0，所以|a＋b|＝||a|－|b||，|a－b|＝|a|＋|b|，|a＋b|<|a－b|答案：C2．不等式eq\f(|a＋b|,|a|＋|b|)<1成立的充要条件是()A．a、b都不为零 B．ab<0C．ab为非负数 D．a、b中至少有一个不为零解析：由绝对值不等式|a＋b|≤|a|＋|b|∴eq\f(|a＋b|,|a|＋|b|)≤1，当a，b同号或其中一个为零时取等号．∴ab<0.答案：B3．若|x－a|<m，|y－a|<n，则下列不等式一定成立的是()A．|x－y|<2m B．|x－y|<2C．|x－y|<n－m D．|x－y|<n＋m解析：|x－a|<m，|y－a|<n，∴|x－a|＋|y－a|<m＋n.∵|x－a|＋|y－a|≥|(x－a)－(y－a)|＝|x－y|，∴|x－y|<m＋n.答案：D4．已知函数f(x)＝－2x＋1，对任意ε使得|f(x1)－f(x2)|<ε成立的一个充分非必要条件是()A．|x1－x2|<ε B．|x1－x2|<eq\f(ε,2)C．|x1－x2|<eq\f(ε,3) D．|x1－x2|>eq\f(ε,3)解析：∵f(x)＝－2x＋1，∴|f(x1)－f(x2)|＝|－2x1＋1＋2x2－1|＝|2x1－2x2|＝2|x1－x2|<ε，∴|x1－x2|<eq\f(ε,2)∴|x1－x2|<eq\f(ε,3)⇒|x1－x2|<eq\f(ε,2).答案：C二、填空题5．若不等式|x＋5|＋|x＋7|＜a的解集为非空集合，则实数a的取值范围是________．解析：由|x＋5|＋|x＋7|＝|x＋5|＋|－x－7|≥|x＋5－x－7|＝|－2|＝2，∴a＞2.答案：(2，＋∞)6．以下三个命题：①若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；②若a、b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；③若|x|＜2，|y|＞3，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＜eq\f(2,3)，其中正确命题的序号是________．解析：①|a|－|b|≤|a－b|＜1，所以|a|＜|b|＋1；②|a＋b|－|a－b|≤|(a＋b)＋(a－b)|＝|2a所以|a＋b|－2|a|≤|a－b|；③|x|＜2，|y|＞3，所以eq\f(1,|y|)＜eq\f(1,3)，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＝|x|·eq\f(1,|y|)＜eq\f(2,3).故三个命题都正确．答案：①②③三、解答题7．已知|A－a|＜eq\f(ε,3)，|B－b|＜eq\f(ε,3)，|C－c|＜eq\f(ε,3)，求证：|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|＜ε.证明：|A＋B＋C－(a＋b＋c)|＝|(A－a)＋(B－b)＋(C－c)|≤|A－a|＋|B－b|＋|C－c|＜eq\f(ε,3)＋eq\f(ε,3)＋eq\f(ε,3)＝ε.8．已知f(x)＝eq\r(1＋x2)定义在区间[－1,1]上，设x1，x2∈[－1,1]且x1≠x2.求证：|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|.证明：|f(x1)－f(x2)|＝eq\f(|x1－x2||x1＋x2|,\r(1＋x\o\al(2,1))＋\r(1＋x\o\al(2,2)))，∵|x1＋x2|≤|x1|＋|x2|，eq\r(1＋x\o\al(2,1))＋eq\r(1＋x\o\al(2,2))>|x1|＋|x2|，∴|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|.9．设f(x)＝ax2＋bx＋c，当|x|≤1时，总有|f(x)|≤1，求证：|f(2)|≤7.证明：∵|x|≤1时，有|f(x)|≤1，∴|f(0)|＝|c|≤1，|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1.又f(1)＝a＋b＋c，f(－1)＝a－b＋c，∴|f(