2021届上海市虹口区高三二模数学试卷

，则1．已知集合yx，则1．已知集合yxR，yy1高三数学

试卷（时间120分钟，满分150分）2021.4一．填题（1题每小题4分，题每小题分，本大题分）x2

．2n

33n

13．()的二项展开式中，常数是．x4．某班级要从4名男生和3名女生中选取名同学参加志愿者活动，则选出的3人中既有男生又要有女生的概率等于．5．给出下列命题：①若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；②若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行；③若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．其中所有正确命题的序号为．6．已知P为抛物C:到y轴的距离5，则

2px(0)上一点，P到抛物C的焦点的距离为，．1/13

7．sin

sin

值等于（k表示）．8．设函数fx)的定义域为D.若对于D内的任意x,x)，都有112(x)[()x)]称函数f(x)“Z函数有下列函数①f(x))2121③()；④f(x)x.其中“Z函数”的序号是（写出所有的正确序号）9已知直三棱柱的各棱长都相等体积等于18(cm

3

)若该三棱柱的所有顶点都在O的表面上，则O的体积等于________(

3

).．直坐标系xOy，定(,)，(,)折离112d()xy.设1

2

,n

2

Q)O(0,0)C，d(PO)，则d(QC)的取值范围．．已知MN为圆

2

2

的条径点(y)坐标满不组，PM取值范围是．

12．在数列

n

an

，当且仅

,k，若满足am

2

4

8

16m

，则m的最小值为_______.二．选题（每小题分，满分20分）13．双曲线x

2

3

的两条渐近线的夹角的大小等于……（）A

.CD.63614．已知函数

f(x)2sin(2x

)

，则“

2

”是“

f(x)

为偶函数”的（）条2/13

件A.充分非必要条件

.必要非充分条件

要条件

D.非充分也非必要条件15．复z满足，且使得关的方程x

有实根，则这样的复数

的个数为…………（）A.1个

.2个

.3个

D.4个16．在平面上，已知定点(2,0)，动点(sin

cos

．在区间,上变化时，动线段AP所形成图形的面积为……（）．A.2

4

.

3

3

.

D.6三．解题（本大题分76）17．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（）小题7分.）在三棱锥中，PCAC2，O是线段AC的中点，M是线段BC的中点．（1）求证：平面ABC（2）求直线PM与平所成的角的大小．3/13

18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（）小题7分.）aatR已知函数)gx)2x．aa（1）t，求不等式f(x)g(x)的解；（2）若函F()a

f()

2

t在区间上有零点，t的取值范围．19．（本题满分14分.第（1）小题6分，第（）小题8分.）如图某公园有一块直角三角形ABC的空地其

2

，

6

，AC千米，现要在空地上围出一块正三角形区DEF文化景观区，其DEF别在、、AB．DEC

.（1）

3

，DEF的边长；4/13

（2）多大时DEF的边长最小？并求出最小值20．（本题满分16分.第（1）小题4分，第（）小题6分，第（3）小题6分）已知椭C方程为2

2

.（）

M(,)是椭C上的点，证明：直线MM

xM2

y椭有且只有一M个公共点；（2）过点N2)两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为A、B，点N直线AB上的射影为Q求Q的坐标；5/13

（3互相垂直的两条直ll相交于点l、l都与椭C只有一个公共点，1212求点P的轨迹方程．21．（本题满分18分.（）小题分，第（2小题6分，第（3）小题8分）.若数意正整i，jij，都存在正整，使，nij则称数”．n（1）判断各项均等a的常数列是否具有“性P”，并说明理由；（2）若公比的无穷等比数”，求首项a的值；n1（3）若首a的无穷等差数”，求公d的值16/13

一.

虹口区学年度第二学期期中学生学习能力诊断测试高三数试题答案填空题1题每小4，7每小题分，本大满分）6k1.1,4；2.1；3.20；4.；5.②③；6.4；7.；72878.③④；9.；10.[1,22]；11.；12.512；3二选择题（小题分，满20）13.；14.AC；D三解答题（大题满76）17.分）:（1）BABC，AC，有

2

BC

2

AC

2

，从而有ABC

2

，且2.…………3分PAC是边长等2的等边三角形，POPO6.PB，从而有

2

2

BO

2

，

2

，BOBO，PO平面ABC.………7分（2）过MBO交BO，连.面ABCMNBOMN7/13

22422x22422x平面ABCMPN直线PM与平成的角.………………10分由（1）BOAC，从而N为线段的中点，MN

11，22PM

(2

7

，

MN14MPN714

，MPNarcsin

.所以直线PM与平面PBO所成的角的大小等

1414

.…分注：用空间向量解答的相应给分18.（14分）解：t不等式fx))可化log2log(2ax55x等式f()()解集，2

5，解得x，不等式f()(x)的解集为4综上所述：0，f()(x)的解集为，；a，f(xg(x)解集为4.…7分,（2）F(x)

f()

tx2t2t.…………8分tx

t，t

2

2)，∵x8/13

12t2∴x2)].……11txx1221设1,4，)得：或0，tx2tt解tt

2

.…………………分19.（14分）解：（1）的边长为米.11，CE，AEx.32在AEF中

3

3

，

3

，AEF为三角

1x解xa.232所DEF的边长等于a千米.………………6分3（2）的边长x米.xcos

，

……8分在中，

2，EFA3

，

xsin

cos

，解得

acos

7(

323sincos7

a37sin()2

，

当

时x2min9/13

a.……………分7

M12121122122M12121122122所以当

aarctan时边长取得最小值为千米.…分227（16y时线MM与椭有一个公共点.

xM2

y直，M当

M

时，由

xMy2xy2

x21得（)x2，y222M

xx2M4(MM，又Myy4yM

2M

，，从而方程组只有一组解，直线

xM2

y椭C的有且只有一个公共点.…………4分Mxxx（2）设A()B(,).则两条直线为y，，又N)22xx是它们的交点1y，22从而有(x,y(xy)坐标满足直22xx线方程y，所以直线：.……………8分2直线的方程为y222(x，由

xy2y2

解得

xy3

，即22Q()，……………分32(x由得2

x

x2(2

，由得，k23，……，相应的给分）（3）设P(y.010/13

当直ll有一条斜率不存在时(2,，xy.…………11分200当直线l与l的斜率设为k和k，由112

()22

得

)x

k(y)

x

y

kxy，由

[4(kx)])x2ykx000

，

整

理

得(2

)

y0

，

，和是有12kk2

2

xy2，所以点P的轨迹方程是xy.…………16分21.（18分）解：（1若数”，由已知对于任意正整i，jnij，，都存在正整k，使，所kij

,解a.…………3分所以aa时常数数列满“性质P的所有条件数列具“性质P；0时，数质P”.…分n（2）对于任意正整i，jij存在正整，使，即kija1

a1

i

1

j

a21

，kj，1

m

.……6分m时m

任意正整ijiji

j得2

mj

,j，ij是正整数，所以存在正整数kj使成立,数列具有“性P”.……8分kijm时，取ij，ij，正整k不存在，数11/13

m列不具有“性质P”.m综上所述m.……………分1（3）2d.对于任意的正整n,存在整，使a得nnd

2n

.…………12分对于任意的正整,存在整kk，使a，两式相减得2k1n2dak).n时，显然不合题意.d0时，a，是整数，从而得到公d也整数.…………14分n1d时，此数列是递减的等差数列，取满足

(m