高中数学苏教版本册总复习总复习 2023版第3章对数的运算性质

第2课时对数的运算性质1．掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算．(重点)2．了解换底公式．3．能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数解题．(难点)[基础·初探]教材整理1对数的运算性质阅读教材P75～P76，完成下列问题．1．符号表示如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)；(3)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.2．文字表述(1)两正数的积的对数等于这两个正数的对数的和；(2)两正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；(3)一个正数的n次幂的对数等于n倍的该数的对数．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)积、商的对数可以直接化为对数的和、差．()(2)logax·logay＝loga(x＋y)．()(3)loga(－2)4＝4loga(－2)．()【解析】根据对数的运算性质(1)只有正数积、商的对数才可以直接化为对数的和、差，(2)错误，(3)中－2不能作真数．【答案】(1)×(2)×(3)×2．(1)log225－log2eq\f(25,4)＝________；(2)log28＝________.【解析】(1)log225－log2eq\f(25,4)＝log225×eq\f(4,25)＝log24＝log222＝2log22＝2.(2)log28＝log223＝3log22＝3.【答案】(1)2(2)3教材整理2换底公式阅读教材P77～P78，完成下列问题．1．换底公式一般地，我们有logaN＝eq\f(logcN,logca)，(其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1)，这个公式称为对数的换底公式．2．与换底公式有关的几个结论(1)logab·logba＝1(a，b>0且a，b≠1)；(2)logambn＝eq\f(n,m)logab(a，b>0且a，b≠1，m≠0)．若lg5＝a，lg7＝b，用a，b表示log75＝________.【解析】log75＝eq\f(lg5,lg7)＝eq\f(a,b).【答案】eq\f(a,b)[小组合作型]对数运算性质的应用计算下列各式的值．(1)lg2＋lg5；(2)log535＋2logeq\f(1,2)eq\r(2)－log5eq\f(1,50)－log514；(3)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.【精彩点拨】根据对数的运算性质，先将式子转化为只含有一种或几种真数的形式再进行计算．【自主解答】(1)lg2＋lg5＝lg(2×5)＝lg10＝1.(2)原式＝log5eq\f(35×50,14)＋2logeq\f(1,2)2eq\f(1,2)＝log553－1＝2.(3)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2·32)]÷log64＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log6\f(6,3)))2＋log62log62＋log632))÷log622＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62·log63]÷2log62＝log62＋log63＝log6(2·3)＝1.1．对于同底的对数的化简要用的方法(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．2．注意对数的性质的应用，如loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N.3．化简的式子中有多重对数符号时，应自内向外逐层化简求值．[再练一题]1．计算下列各式的值：(1)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)；(2)lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2；(3)2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－5log53.【解】(1)法一：原式＝eq\f(1,2)(5lg2－2lg7)－eq\f(4,3)×eq\f(3,2)lg2＋eq\f(1,2)(2lg7＋lg5)＝eq\f(5,2)lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)lg2＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)(lg2＋lg5)＝eq\f(1,2)lg10＝eq\f(1,2).法二：原式＝lgeq\f(4\r(2),7)－lg4＋lg7eq\r(5)＝lgeq\f(4\r(2)×7\r(5),7×4)＝lg(eq\r(2)·eq\r(5))＝lgeq\r(10)＝eq\f(1,2).(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.化简：【精彩点拨】将需表示式子中的真数用已知的式子中的真数表示出来．【自主解答】(1)log2(28×82)＝log2[28×(23)2]＝log2(28＋3×2)＝log2214＝14.(2)lg24＝lg(3×8)＝lg3＋lg8＝lg3＋3lg2.这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．要特别注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN.[再练一题]2．化简：(1)logeq\r(2)(45×82)；(2)logeq\f(1,3)27－logeq\f(1,3)9；(3)用lgx，lgy，lgz表示lgeq\f(x2\r(y),\r(3,z)).【解】(1)logeq\r(2)(45×82)＝logeq\r(2)(210×26)＝logeq\r(2)216＝16logeq\r(2)2＝16×2＝32.(2)logeq\f(1,3)27－logeq\f(1,3)9＝logeq\f(1,3)eq\f(27,9)＝logeq\f(1,3)3＝－1.(3)lgeq\f(x2\r(y),\r(3,z))＝lgx2＋lgeq\r(y)－lgeq\r(3,z)＝2lgx＋eq\f(1,2)lgy－eq\f(1,3)lgz.换底公式及其应用(1)已知3a＝5b＝c，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，则c的值为________．(2)已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.①求p；②证明：eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,2y).【精彩点拨】用换底公式统一底数再求解．【自主解答】(1)由3a＝5b＝c，得a＝log3c，b＝log5c，所以eq\f(1,a)＝logc3，eq\f(1,b)＝logc5.又eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，所以logc3＋logc5＝2，即logc15＝2，c＝eq\r(15).【答案】eq\r(15)(2)①设3x＝4y＝6z＝k(k＞1)，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，由2x＝py，得2log3k＝plog4k，解得p＝2log34.②证明：eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,log6k)－eq\f(1,log3k)＝logk6－logk3＝logk2，而eq\f(1,2y)＝eq\f(1,2log4k)＝eq\f(1,2)logk4＝logk2.故eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,2y).1．换底公式即将底数不同的对数转化成底数相同的对数，从而进行化简、计算或证明．换底公式应用时，一般换成以10为底的常用对数，或以e为底的自然对数，但也应该结合已知条件来确定．2．换底公式推导出的两个恒等式：(1)logamNn＝eq\f(n,m)logaN；(2)logab·logba＝1，要注意熟练应用．[再练一题]3．计算：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)．【解】原式＝(log253＋log2252＋log235)(log52＋log5222＋log5323)＝(3log25＋log25＋eq\f(1,3)log25)·(log52＋log52＋log52)＝eq\f(13,3)·log25·3log52＝13.对数运算在实际问题中的应用2023年我国国民生产总值为a亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年，我国国民生产总值是2023年的2倍？(已知lg2≈0，lg3≈1，lg≈4，精确到1年)【精彩点拨】认真分析题意，找出其中各量之间的关系，列出式子，并利用对数运算求解．【自主解答】设经过x年，我国国民生产总值是2023年的2倍．经过1年，总产值为a(1＋8%)，经过2年，总产值为a(1＋8%)2，……经过x年，总产值为a(1＋8%)x.由题意得a(1＋8%)x＝2a，即两边取常用对数，得lg＝lg2，则x＝eq\f(lg2,lg≈eq\f0,4)≈9(年)．答：约经过9年，国民生产总值是2023年的2倍．解对数应用题的步骤[再练一题]4．2000年我国国内生产总值(GDP)为89442亿元，如果我国的GDP年均增长%左右，按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年后，我国GDP才能实现比2000年翻两番的目标？(lg2≈0，lg≈6，结果保留整数)．【解】假设经过x年实现GDP比2000年翻两番的目标，根据题意，得89442×(1＋%)x＝89442×4，即＝4，故x＝4＝eq\f(lg4,lg≈.答：约经过19年以后，我国GDP才能实现比2000年翻两番的目标．[探究共研型]含对数式的方程的解法探究1对数的运算性质有哪些？【提示】logaMN＝logaM＋logaN，logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN，logab＝eq\f(logcb,logca)，logaMn＝nlogaM，logambn＝eq\f(n,m)logab.探究2解对数方程logaM＝logaN，应注意什么？【提示】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(M＝N，,M>0，,N>0.))已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))的值．【精彩点拨】根据对数的运算性质得到x，y的关系式，解方程即可．【自主解答】lgx＋lgy＝lg(xy)＝2lg(x－2y)＝lg(x－2y)2，由题知，xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))2－5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＋4＝0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)－4))＝0，故eq\f(x,y)＝1或4.又当x＝y时，x－2y＝－y<0，故舍去，∴eq\f(x,y)＝4.∴logeq\f(1,2)eq\f(x,y)＝logeq\f(1,2)4＝－2.解含对数式的方程应注意两点：(1)对数的运算性质；(2)对数中底数和真数的范围限制．[再练一题]【解】原方程等价于3(2log3x)－4log42x2－12＝0，即3log3x2－4log4x－12＝0，∴x2－x－12＝0，∴(x＋3)(x－4)＝0，∴x＝4或－3.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,x2>0，))∴x＝4，即原方程的解为x＝4.1．log227·log34＝________；log23·log310·lg8＝________.【解析】log227·log34＝log233·log322＝(3log23)·(2log32)＝6.log23·log310·lg8＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg10,lg3)·eq\f(lg8,lg10)＝eq\f(lg8,lg2)＝log28＝3.【答案】632．已知lg2＝a，lg7＝b，那么log898＝________.【解析】log898＝eq\f(lg98,lg8)＝eq\f(2lg7＋lg2,3lg2)＝eq\f(a＋2b,3a).【答案】eq\f(a＋2b,3a)3．若log5eq\f(1,4)·log4