高中数学苏教版第一章立体几何初步单元测试 2023版第1章章末分层突破

章末分层突破[自我校对]①球②斜二测画法③公理3④平行⑤相交⑥[0°，90°]⑦[0°，180°]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________空间几何体的体积及表面积几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台体，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的应用，注意分割与组合的合理应用；关注展开与折叠问题．如图1－1，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．图1－1(1)证明MN∥平面PAB；(2)求四面体N－BCM的体积．【精彩点拨】(1)利用线面平行的判定定理进行证明，即通过线线平行证明线面平行；(2)先求出点N到平面BCM的距离及△BCM的面积，然后代入锥体的体积公式求解．【规范解答】(1)证明：由已知得AM＝eq\f(2,3)AD＝2.如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝eq\f(1,2)BC＝2.又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为eq\f(1,2)PA.如图，取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\r(5).由AM∥BC得M到BC的距离为eq\r(5)，故S△BCM＝eq\f(1,2)×4×eq\r(5)＝2eq\r(5).所以四面体N－BCM的体积VN－BCM＝eq\f(1,3)×S△BCM×eq\f(PA,2)＝eq\f(4\r(5),3).[再练一题]1．如图1－2，三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.图1－2(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A－MBC的体积．【解】(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CD⊥平面ABD.(2)法一：由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD.∵AB＝BD＝1，∴S△ABD＝eq\f(1,2).∵M是AD的中点，∴S△ABM＝eq\f(1,2)S△ABD＝eq\f(1,4).由(1)知，CD⊥平面ABD，∴三棱锥C－ABM的高h＝CD＝1，因此三棱锥A－MBC的体积VA－MBC＝VC－ABM＝eq\f(1,3)S△ABM·h＝eq\f(1,12).(2)法二：由AB⊥平面BCD知，平面ABD⊥平面BCD，又平面ABD∩平面BCD＝BD，如图，过点M作MN⊥BD交BD于点N，则MN⊥平面BCD，且MN＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)，又CD⊥BD，BD＝CD＝1，∴S△BCD＝eq\f(1,2)，∴三棱锥A－MBC的体积VA－MBC＝VA－BCD－VM－BCD＝eq\f(1,3)AB·S△BCD－eq\f(1,3)MN·S△BCD＝eq\f(1,12).直线、平面平行的判定和性质1.判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒α∥β)．2．证明面面平行的方法：(1)利用面面平行的定义；(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．如图1－3，E，F，G，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1图1－3求证：(1)GE∥平面BDD1B1；(2)平面BDF∥平面B1D1H.【精彩点拨】(1)取B1D1的中点O，证明四边形BEGO是平行四边形．(2)证B1D1∥平面BDF，HD1∥平面BDF.【规范解答】(1)取B1D1的中点O，连结GO，OB，易证OG綊eq\f(1,2)B1C1，BE綊eq\f(1,2)B1C1，∴OG綊BE，四边形BEGO为平行四边形，∴OB∥GE.∵OB⊂平面BDD1B1，GE⊄平面BDD1B1，∴GE∥平面BDD1B1.(2)由正方体性质得B1D1∥BD，∵B1D1⊄平面BDF，BD⊂平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.连结HB，D1F，易证HBFD1是平行四边形，得HD1∥BF.∵HD1⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，∴HD1∥平面BDF.∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.[再练一题]2.如图1－4，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝图1－4求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.【证明】(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC－A1B1C1所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.直线、平面垂直的判定和性质空间垂直关系的判定方法：(1)判定线线垂直的方法①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；②线面垂直的性质(若a⊥α，b⊂α，则a⊥b)．(2)判定线面垂直的方法①线面垂直的定义(一般不易验证任意性)；②线面垂直的判定定理(a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，m∩n＝A⇒a⊥α)；③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)；④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α)；⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ)．(3)面面垂直的判定方法①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．如图1－5所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．图1－5求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.【精彩点拨】取EC中点F，CA中点N，连结DF，MN，BN.(1)证△DFE≌△ABD，(2)证BN⊥ECA，(3)证DM⊥平面ECA.【规范解答】(1)如图所示，取EC的中点F，连结DF，易知DF∥BC，∵EC⊥BC，∴DF⊥EC.在Rt△DEF和Rt△DBA中，∵EF＝eq\f(1,2)EC＝BD，FD＝BC＝AB，∴Rt△DFE≌Rt△ABD，故DE＝DA.(2)取CA的中点N，连结MN，BN，则MN綊eq\f(1,2)EC，∴MN∥BD，即N点在平面BDM内．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.∵BN在平面MNBD内，∴平面MNBD⊥平面ECA，即平面BDM⊥平面ECA.(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.又DM⊂平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.[再练一题]3．如图1－6，四棱锥P－ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC的中点．(1)求证：AP∥平面MBD；(2)若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD.【导学号：41292056】图1－6【解】(1)如图，连结AC交BD于点O，连结OM.因为底面ABCD是平行四边形，所以点O为AC的中点．又M为PC的中点，所以OM∥PA.因为OM⊂平面MBD，AP⊄平面MBD，所以AP∥平面MBD.(2)因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD⊥AD.因为AD⊥PB，PD∩PB＝P，PD⊂平面PBD，PB⊂平面PBD，所以AD⊥平面PBD.因为BD⊂平面PBD，所以AD⊥BD.因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD.又因为BD⊥AD，AD∩PD＝D，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，所以BD⊥平面PAD.平面图形的翻折问题空间几何中的翻折问题是几何证明，求值问题中的重点和难点，在高考中经常考查．(1)解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．(2)在解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形．如图1－7，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝eq\f(1,2)AP，D是AP的中点，E，F分别为PC，PD的中点，将△PCD沿CD折起得到四棱锥P－ABCD.图1－7(1)G为线段BC上任一点，求证：平面EFG⊥平面PAD；(2)当G为BC的中点时，求证：AP∥平面EFG.【精彩点拨】(1)转化为证EF⊥平面PAD；(2)转化为证平面PAB∥平面EFG.【规范解答】(1)在直角梯形ABCP中．∵BC∥AP，BC＝eq\f(1,2)AP，D为AP的中点，∴BC綊AD，又AB⊥AP，AB＝BC.∴四边形ABCD为正方形．∴CD⊥AP，CD⊥AD，CD⊥PD.在四棱锥P－ABCD中，∵E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD，EF⊥AD，EF⊥PD.又PD∩AD＝D，PD⊂平面PAD，AD⊂平面PAD.∴EF⊥平面PAD.又EF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD.(2)法一∵G，F分别为BC和PC的中点，∴GF∥BP，∵GF⊄平面PAB，BP⊂平面PAB，∴GF∥平面PAB.由(1)知，EF∥DC，∵AB∥DC，∴EF∥AB，∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.∵EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG.∴平面EFG∥平面PAB.∵PA⊂平面PAB，∴PA∥平面EFG.法二取AD中点H(略)，连结GH，HE.由(1)知四边形ABCD为平行四边形．又G，H分别为BC，AD的中点，∴GH∥CD.由(1)知，EF∥CD，∴EF∥GH.∴四点E，F，G，H共面．∵E，H分别为PD，AD的中点，∴EH∥PA.∵PA⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH.∴PA∥平面EFGH，即PA∥平面EFG.[再练一题]4．如图1－8(1)所示，在直角梯形ABEF中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF⊥平面ABCD，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图1－8(2)所示．(1)(2)图1－8(1)求证：BE∥平面ADF；(2)求三棱锥F－BCE的体积．【解】(1)证明：法一取DF的中点G，连结AG，EG，∵CE＝eq\f(1,2)DF，∴EG綊CD.又∵AB綊CD，∴EG綊AB，∴四边形ABEG为平行四边形，∴BE∥AG.∵BE⊄平面ADF，AG⊂平面ADF，∴BE∥平面ADF.法二由图(1)可知BC∥AD，CE∥DF，折叠之后平行关系不变．∵BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，∴BC∥平面ADF.同理CE∥平面ADF.∵BC∩CE＝C，BC，CE⊂平面BCE，∴平面BCE∥平面ADF.∵BE⊂平面BCE，∴BE∥平面ADF.(2)法一∵VF－BCE＝VB－CEF，由图(1)可知BC⊥CD，∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面DCEF.由图(1)可知DC＝CE＝1，S△CEF＝eq\f(1,2)CE×DC＝eq\f(1,2)，∴VF－BCE＝VB－CEF＝eq\f(1,3)×BC×S△CEF＝eq\f(1,6).法二由图(1)，可知CD⊥BC，CD⊥CE，∵BC∩CE＝C，∴CD⊥平面BCE.∵DF∥CE，点F到平面BCE的距离等于点D到平面BCE的距离为1，由图(1)，可知BC＝CE＝1，S△BCE＝eq\f(1,2)BC×CE＝eq\f(1,2)，∴VF－BCE＝eq\f(1,3)×CD×S△BCE＝eq\f(1,6).法三过E作EH⊥FC，垂足为H，如图所示，由图(1)，可知BC⊥CD，∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面DCEF.∵EH⊂平面DCEF，∴BC⊥EH，∴EH⊥平面BCF.由BC⊥FC，FC＝eq\r(DC2＋DF2)＝eq\r(5)，S△BCF＝eq\f(1,2)BC×CF＝eq\f(\r(5),2)，在△CEF中，由等面积法可得EH＝eq\f(1,\r(5))，∴VF－BCE＝VE－BCF＝eq\f(1,3)×EH×S△BCF＝eq\f(1,6).1．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________.【导学号：41292057】【解析】如图，设球的半径为R，∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝eq\f(1,2)R2.∵VO－ABC＝VC－AOB，而△AOB面积为定值，∴当点C到平面AOB的距离最大时，VO－ABC最大，∴当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VO－ABC最大为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)R2×R＝36，∴R＝6，∴球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.【答案】144π2．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是________．①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；②若m，n平行于同一平面，则m与n平行；③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面．【解析】①α，β可能相交，故错误；②直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；③若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；④假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故④正确．【答案】④3．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图1－9所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG.图1－9【解】(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG.又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形．所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明：连接FH，与EG交于点O，连接BD.因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG.又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.4.如图1－10，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E－ACD的体积为eq\f(\r(6),3)，求该三棱锥的侧面积．图1－10【解】(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝eq\f(\r(3),2)x，GB＝GD＝eq\f(x,2).因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝eq\f(\r(3),2)x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝eq\f(\r(2),2)x.由已知得，三棱锥E－ACD的体积V三棱锥E－ACD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·AC·GD·BE＝eq\f(\r(6),24)x3＝eq\f(\r(6),3)，故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝eq\r(6).所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为eq\r(5).故三棱锥E－ACD的侧面积为3＋2eq\r(5).5.如图1－11，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝eq\r(2)，O，M分别为AB，VA的中点．图1－11(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V－ABC的体积．【解】(1)因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB⊂/平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥