高中数学人教A版本册总复习总复习 省一等奖2

湖北省部分重点中学2023上学期高二期中考试数学试题(文科)命题人：武汉中学张怡审题人：武汉市49中唐宗保一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)1.下列命题正确的是（）A.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2.如果执行如图所示的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，an，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，an的和B．为a1，a2，…，an的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数3.平行于直线且与圆相切的直线方程是（）A．或B．或C．或D．或4.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是（）A． B． C． D．与P点位置有关5.在同一坐标系下，直线ax+by=ab和圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（ab≠0，r＞0）的图象可能是（）A． B． C． D．6.在梯形ABCD中，∠ABC=π2，AD梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A．2π3B.4π3C.5π7.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B． C． D．38.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入（万元）支出（万元）根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为()A．万元B．万元C．万元D．万元9.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．1410.如图，矩形中，点在轴上，点的坐标为．且点与点在函数的图像上．若在矩形内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（）A．B．C．D．11.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值构成的集合是（）A．{t|} B．{t|≤t≤2}C．{t|2}D．{t|2}12.已知△ABC的三边分别为AB=5，BC=4，AC=3，M是AB边上一点，P是平面ABC外一点，下列四个命题正确的是（）①若PA⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的四个面都是直角三角形；②若PM⊥平面ABC，M是AB边上中点，则有PA=PB=PC；③若PC=5，PC⊥平面ABC，则△PCM面积的最小值为；④若PC=5，P在平面ABC上的射影是△ABC内切圆的圆心，则点P到平面ABC是的距离为．其中正确命题的序号是A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.与直线3x+4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为．14.已知直线kx﹣y+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A，B两点，若点M在圆C上，且有（O为坐标原点），则实数k=．15.在棱锥P﹣ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面△ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ为直径的球的表面积为．16.已知AC、BD为圆O：x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本题满分10分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2023年8月某日某省x个监测点数据统计如下：空气污染指数（单位：μg/m3）[0，50]（50，100]（100，150][（150，200]监测点个数1540y10（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）在空气污染指数分别为50～100和150～200的监测点中，用分层抽样的方法抽取5个监测点，从中任意选取2个监测点，事件A“两个都为良”发生的概率是多少？18.（本题满分12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC中点，AA1=AB=a．（Ⅰ）求证：AD⊥B1D；（Ⅱ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅲ）求三棱锥C﹣AB1D的体积．19.（本题满分12分）是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095﹣2023，日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2023年全年每天的监测值数据中随机地抽取12天的数据作为样本，监测值频数如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）：（I）求空气质量为超标的数据的平均数与方差；（II）从空气质量为二级的数据中任取2个，求这2个数据的和小于100的概率；（III）以这12天的日均值来估计2023年的空气质量情况，估计2023年（366天）大约有多少天的空气质量达到一级或二级．20.（本题满分12分）已知矩形ABCD的对角线交于点P（2，0），边AB所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点（﹣1，1）在边AD所在的直线上．（1）求矩形ABCD的外接圆的方程；（2）已知直线l：（1﹣2k）x+（1+k）y﹣5+4k=0（k∈R），求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．21.（本题满分12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，F是PB的中点．（1）求证：DF⊥AP；（2）在线段AD上是否存在点G，使GF⊥平面PBC？若存在，说明点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．22.（本题满分12分）已知圆O：x2+y2=4内一点P（0，1），过点P的直线l交圆O于A，B两点，且满足（λ为参数）．（1）若，求直线l的方程；（2）若λ=2，求直线l的方程；湖北省部分重点中学2023学年度上学期高二期中考试文科数学参考答案一、选择题(每小题5分,共60分)题号题号123456789101112答案ACDCDCDABBDB二、填空题(每小题5分,共20分)13.3x﹣4y+5=014.015.50π16.5三、解答题（共70分）17解：（Ⅰ）∵，∵15+40+y+10=100，∴y=35…（2分）∴，，频率分布直方图如图所示…（5分）（Ⅱ）在空气污染指数为50～100和150～200的监测点中分别抽取4个和1个监测点．设空气污染指数为50～100的4个监测点分别记为a，b，c，d；空气污染指数为150～200的1个监测点记为E．从中任取2个的基本事件分别为（a，b），（a，c），（a，d），（a，E），（b，c），（b，d），（b，E），（c，d），（c，E），（d，E）共10种，…（7分）其中事件A“两个都为良”包含的基本事件为（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共6种，…（9分）所以事件A“两个都为良”发生的概率是．…（10分）18（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1正三棱柱，D是BC中点∴BB1⊥AD，BC⊥AD∵BB1∩BC=B，∴AD⊥面BB1D，∴AD⊥B1D（Ⅱ）证明：取C1B1的中点E，连接A1E，ED，则四边形B1DCE为平行四边形，于是有B1D∥EC，又A1E∥AD，B1D∩AD=D，A1E∩EC=E，∴平面A1EC∥平面AB1D，A1C⊂平面A1EC，∴A1C∥平面AB1D．（Ⅲ）解：由图知，AA1=AB=a∴=S△ADCBB1=．19解：（I）空气质量为超标的数据有四个：77，79，84，88平均数为（2分）方差为（4分）（II）空气质量为二级的数据有五个：47，50，53，57，68任取两个有十种可能结果：{47，50}，{47，53}，{47，57}，{47，68}，{50，53}，{50，57}，{50，68}，{53，57}，{53，68}，{57，68}．两个数据和小于100的结果有一种：{47，50}．记“两个数据和小于100”为事件A，则即从空气质量为二级的数据中任取2个，这2个数据和小于100的概率为（8分）（III）空气质量为一级或二级的数据共8个，所以空气质量为一级或二级的频率为（10分），所以2023年的366天中空气质量达到一级或二级的天数估计为244天．（12分）20解：（1）由lAB：x﹣3y﹣6=0且AD⊥AB，点（﹣1，1）在边AD所在的直线上∴AD所在直线的方程是：y﹣1=﹣3（x+1）即3x+y+2=0由得A（0，﹣2）…（3分）∴|AP|==2，∴矩形ABCD的外接圆的方程是：（x﹣2）2+y2=8…（6分）（2）直线l的方程可化为：k（﹣2x+y+4）+x+y﹣5=0l可看作是过直线﹣2x+y+4=0和x+y﹣5=0的交点（3，2）的直线系，即l恒过定点Q（3，2）由于（3﹣2）2+22=5＜8知点在圆内，∴直线与圆恒有交点，设PQ与l的夹角为θ，则d=|PQ|sinθ=sinθ，当θ=90°时，d最大，|MN|最短，此时l的斜率为PQ斜率的负倒数﹣，∴l：y﹣2=﹣（x﹣3），即x+2y﹣7=021.证明：（1）取AB中点E，连接EF，DE∵E，F分别是AB，PB的中点，∴EF∥AP，∴AP和DF所成的角即为EF和DF所成的角，即∠DFE或其补角；由已知四边形ABCD是正方形，假设PD=DC=a，则有∴cos∠DFE==0，∴DF⊥EF，∴DF⊥AP．（2）解：G是AD的中点时，GF⊥平面PCB．证明如下：取PC中点H，连接DH，HF．∵PD=DC，∴DH⊥PC．又∵BC⊥平面PDC，∴DH⊥BC，∵DH⊥PC，DH⊥BC，PC∩BC=C，PC，BC⊂平面PBC∴DH⊥平面PCB．∵，∴HFGD，∴四边形DGFH为平行四边形，DH∥GF，∴GF⊥平面PCB．22.解：（I）当直线l的斜率不存在时，|AB|=4，不满足条件．故可设所求直线l的方