高中数学人教A版2第二章推理与证明 市一等奖

第二章2.2.1一、选择题(每小题5分，共20分)1．欲证不等式eq\r(3)－eq\r(5)<eq\r(6)－eq\r(8)成立，只需证()A．(eq\r(3)－eq\r(5))2<(eq\r(6)－eq\r(8))2 B．(eq\r(3)－eq\r(6))2<(eq\r(5)－eq\r(8))2C．(eq\r(3)＋eq\r(8))2<(eq\r(6)＋eq\r(5))2 D．(eq\r(3)－eq\r(5)－eq\r(6))2<(－eq\r(8))2解析：要证eq\r(3)－eq\r(5)<eq\r(6)－eq\r(8)成立，只需证eq\r(3)＋eq\r(8)<eq\r(6)＋eq\r(5)成立，只需证(eq\r(3)＋eq\r(8))2<(eq\r(6)＋eq\r(5))2成立．答案：C2．使不等式eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的条件是()A．a>b B．a<bC．a>b且ab<0 D．a>b且ab>0解析：要使eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，须使eq\f(1,a)－eq\f(1,b)<0，即eq\f(b－a,ab)<0.若a>b，则b－a<0，ab>0.若a<b，则b－a>0，ab<0.答案：D3．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A．a≤eq\f(1,2) B．ab≥eq\f(1,2)C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3解析：∵a＋b＝2≥2eq\r(ab)，∴ab≤1.∵a2＋b2＝4－2ab，∴a2＋b2≥2.答案：C4．已知p＝a＋eq\f(1,a－2)(a＞2)，q＝2－x2＋4x－2(x＞0)，则()A．p＞q B．p＜qC．p≥q D．p≤q解析：p＝a＋eq\f(1,a－2)＝(a－2)＋eq\f(1,a－2)＋2≥2eq\r(a－2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－2))))＋2＝＝2－x2＋4x－2＝2－(x－2)2＋2≤4.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．命题“函数f(x)＝x－xlnx在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xlnx取导得f′(x)＝－lnx，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－lnx>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．解析：该证明过程符合综合法的特点．答案：综合法6．如果aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)，则实数a，b应满足的条件是__________.解析：aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)⇔aeq\r(a)－aeq\r(b)>beq\r(a)－beq\r(b)⇔a(eq\r(a)－eq\r(b))>b(eq\r(a)－eq\r(b))⇔(a－b)(eq\r(a)－eq\r(b))>0⇔(eq\r(a)＋eq\r(b))(eq\r(a)－eq\r(b))2>0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．答案：a≥0，b≥0且a≠b三、解答题(每小题10分，共20分)7．在△ABC中，eq\f(AC,AB)＝eq\f(cosB,cosC)，证明：B＝C.证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(cosB,cosC).于是sinBcosC－cosBsinC＝0，因sin(B－C)＝0，因为－π<B－C<π，从而B－C＝0，所以B＝C.8．已知a>0，b>0，求证：eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).证明：方法一：(综合法)因为a>0，b>0，所以eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))－eq\r(a)－eq\r(b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(b))－\r(b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,\r(a))－\r(a)))＝eq\f(a－b,\r(b))＋eq\f(b－a,\r(a))＝(a－b)eq\a\vs4\al(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(b))－\f(1,\r(a)))))＝eq\f(\r(a)－\r(b)2\r(a)＋\r(b),\r(ab))≥0，所以eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).方法二：(分析法)要证eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b)，只需证aeq\r(a)＋beq\r(b)≥aeq\r(b)＋beq\r(a)，即证(a－b)(eq\r(a)－eq\r(b))≥0，因为a>0，b>0，所以a－b与eq\r(a)－eq\r(b)符合相同，不等式(a－b)(eq\r(a)－eq\r(b))≥0成立，所以原不等式成立．eq\x(尖子生题库) ☆☆☆(10分)已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：eq\f(b＋c－a,a)＋eq\f(a＋c－b,b)＋eq\f(a＋b－c,c)>3.证明：证法一：(分析法)要证eq\f(b＋c－a,a)＋eq\f(a＋c－b,b)＋eq\f(a＋b－c,c)>3.只需证明eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)－1＋eq\f(c,b)＋eq\f(a,b)－1＋eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)－1>3，即证eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)＋eq\f(c,b)＋eq\f(a,b)＋eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)>6，而事实上，由a，b，c是全不相等的正实数，∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2，eq\f(c,a)＋eq\f(a,c)>2，eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)>2.∴eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)＋eq\f(c,b)＋eq\f(a,b)＋eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)>6.∴eq\f(b＋c－a,a)＋eq\f(a＋c－b,b)＋eq\f(a＋b－c,c)>3得证．证法二：(综合法)∵a，b，c全不相等∴eq\f(b,a)与eq\f(a,b)，eq\f(c,a)与eq\f(a,c)，eq\f(c,b)与eq\f(b,c)全不相等．∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2，eq\f(c,a)＋eq\f(a,c)>2，eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)>2，三式相加得eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)＋eq\f(c,b)＋eq\f(a,b)＋eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)>6，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(c