2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习高效演练分层突破第二章第9讲函数模型及其应用Word版解析版

[基础题组练

]1．某电视新产品投放市场后第一个月销售

100台，第二个月销售

200台，第三个月销售400台，第四个月销售

790台，则以下函数模型中能较好地反响销量

y与投放市场的月数x之间关系的是

(

)A．y＝100x

B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2xD．y＝100log2x＋100分析：选C.依据函数模型的增添差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型

，代入数据考据即可得．应选

C.2．已知正方形ABCDP运动的行程为x，△ABP

的边长为的面积为

4，动点P从B点开始沿折线S，则函数S＝f(x)的图象是(

BCDA)

向

A点运动．设点分析：选D.依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项吻合要求．3．成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用库房搬家到北三环外重新租地建设．已知库房每个月占用费y1与库房到车站的距离成反比，而每个月车载货物的运费y2与库房到车站的距离成正比．据测算，假如在距离车站10千米处建库房，这两项花费y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项花费之和最小，库房应建在离车站()A．5千米处B．4千米处C．3千米处D．2千米处分析：选A.设库房应建在离车站x千米处．由于库房每个月占用费y1与库房到车站的距离成反比，所以令反比率系数为m(m>0)，则y1m1m＝2，所以m＝20.＝x.当x＝10时，y＝10由于每个月车载货物的运费y2与库房到车站的距离成正比，所以令正比率系数为n(n>0)，则4204xy2＝nx.当x＝10时，y2＝10n＝8，所以n＝5.所以两项花费之和为y＝y1＋y2＝x＋5≥2204x204x，仓x·＝8，当且仅当＝，即x＝5时取等号．所以要使这两项花费之和最小5x5库应建在离车站5千米处．应选A.4．某高校为提高科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年整年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增添12%，则该高校整年投入的科研经费开始超出2000万元的年份是(参照数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()A．2020年B．2021年C．2022年D．2023年分析：选B.若2018年是第一年，则第n年科研费为1300×1.12n，由1300×1.12n>2000，可得lg1.3＋nlg1.12>lg2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n≥4，即4年后，到2021年科研经费超出2000万元．应选B.5．(2019高·考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足5E1mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的m2－m1＝lg，此中星等为2E2星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1D.10－10.1分析：选A.依据题意，设太阳的星等与亮度分别为m1与E1，天狼星的星等与亮度分别为m2与E2，则由已知条件可知m1＝－26.7，m2＝－1.45，依据两颗星的星等与亮度满足m25E5EE1－m1＝lg1，把m1与m2的值分别代入上式得，－1.45－(－26.7)＝lg1，得lgE22E2＝10.1，2E2所以E1＝1010.1，应选A.E26．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的状况．加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2019年5月1日12350002019年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的行程．在这段时间内，该车每100千米均匀耗油量为升．分析：由于每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的行程为35600－35000＝600(千米)，故每100千米均匀耗油量为48÷6＝8(升)．答案：87．李冶(1192－1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，此中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．此中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，此中水池的边沿与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的近来距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是步、步．(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)分析：设圆池的半径为r步，则方田的边长为(2r＋40)步，由题意，得(2r＋40)2－3r2＝13.75×240，解得r＝10或r＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步．答案：20608．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，其他每生产1件该产品还需要增添投资1万元，年产量为x(x∈N＋)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这类产品所得的年收益为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为____________，该工厂的年产量为________件时，所得年收益最大(年收益＝年销售总收入－年总投资)．分析：当0<x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x＞20时，y＝260100－x＝160－x.x2＋32x－100，0<x≤20，故y＝(x∈N＋)．160－x，x＞20当0<x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，ymax＝156.而当x＞20时，160－x<140，故当x＝16时获得最大年收益．x2＋32x－100，0<x≤20，答案：y＝(x∈N＋)16160－x，x＞209.以以下图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，此中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的分析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值．解：(1)作PQ⊥AF于点Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，在△EDF中，EQ＝EF，所以x－441PQFD＝，所以y＝－x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．8－y22(2)设矩形BNPM的面积为S，则S(x)＝xy＝x10－x21x＝10，＝－(x－10)2＋50，所以S(x)是关于x的二次函数，且其张口向下，对称轴为2所以当x∈[4，8]时，S(x)是增添的，所以当x＝8时，矩形BNPM面积获得最大值48平方米．10．某公司对营销人员有以下规定：①年销售额x(单位：万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x(单位：万元)，x∈[8，64]时，奖金为y万元，且y＝logax，y∈[3，6]，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额超出64万元，按年销售额的10%发奖金．(1)求奖金y关于x的函数分析式；(2)若某营销人员争取奖金y∈[4，10](单位：万元)，则年销售额x(单位：万元)在什么范围内？log8＝3，解：(1)依题意，y＝logax在x∈[8，64]上为增函数，所以a解得a＝2，所以log64＝6，a0，0≤x<8，log2x，8≤x≤64，y＝110x，x>64.(2)易知x≥8，当8≤x≤64时，要使y∈[4，10]，则4≤log2x≤10，解得16≤x≤1024，所以16≤x≤64；当x>64时，要使y∈[4，10]，则40≤x≤100，所以64<x≤100.综上所述，当年销售额x∈[16，100]时，奖金y∈[4，10]．[综合题组练]1．(创新式)我们定义函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y＝{x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；比方[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某泊车场收费标准为每小时2元，即不超出1小时(包含1小时)收费2元，超出一小时，不超出2小时(包含2小时)收费4元，以此类推．若李刚泊车时间为x小时，则李刚对付费为(单位：元)()A．2[x＋1]C．2{x}

B．2([x]＋1)D．{2x}分析：选C.如x＝1时，对付费2元，此时2[x＋1]＝4，2([x]＋1)＝4，消除A，B；当x＝0.5时，付费为2元，此时{2x}＝1，消除D，应选C.2．一个容器装有细沙acm3，细沙沉着器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后节余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．分析：当t＝0时，y＝a；当t＝8时，y＝ae－8b＝1a，故e－8b＝1.22当容器中的沙子只有开始时的八分之一时－bt1－bt1－b－24b，，即y＝ae＝a，e＝＝(e8)3＝e88则t＝24，所以再经过16min容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案：163．某旅行景点估计2019年1月份起前x个月的旅行人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似为p(x)＝1x(x＋1)·(39－2x)(x∈N＋，且x≤12)．已知第x个月的人均花费额q(x)(单235－2x，x∈N＋，且1≤x≤6，位：元)与x的近似关系是q(x)＝160，x∈N＋且7≤x≤12.x(1)写出2019年第x个月的旅行人数f(x)(单位：万人)与x的函数关系式；(2)试问2019年第几个月的旅行花费总数最大？最大月旅行花费总数为多少元？1解：(1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37，当2≤x≤12，且x∈N＋时，f(x)＝p(x)－p(x－1)＝2x(x1)(39－2x)－1x(x－1)(41－2x)＝－3x2＋40x，经考据x＝1时也满足此式．2所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N＋，且1≤x≤12)．(2)第x(x∈N＋)个月的旅行花费总数为g(x)＝（－3x2＋40x）（35－2x），x∈N＋，且1≤x≤6，480x＋6400，x∈N＋，且7≤x≤12.①当1≤x≤6，且x∈N＋时，g′(x)＝18x2－370x＋1400，140令g′(x)＝0，解得x＝5或x＝9(舍去)．当1≤x≤5时，g′(x)≥0，当5<x≤6时，g′(x)<0，所以g(x)max＝g(5)＝3125；②当7≤x≤12，且x∈N时，g(x)＝－480x＋6400是减函数，所以g(x)max＝g(7)＝3040.＋综上，2019年5月份的旅行花费总数最大，最大月旅行花费总数为3125万元．4．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获取投资收益的范围是[10，100](单位：万元)．现准备拟定一个对科研课题组的奖励方案：资本y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增添而增添且资本不超出5万元，同时资本不超出投资收益的20%.(1)若建立函数模型y＝f(x)拟定奖励方案，请你依据题意，写出奖励函数模型应满足的条件；1(2)现有两个奖励函数模型：(ⅰ)y＝20x＋1；(ⅱ)y＝log2x－2.试分析这两个函数模型能否吻合公司要求．解：(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，则该函数模型满足的条件是：①当x∈[10，100]时，f(x)是增函数；②当x∈[10，100]时，f(x)≤5恒建立；③当x∈[10，100]时，f(x)≤x5恒建立．1(2)(a)关于函数模型(ⅰ)y＝20x＋1，它在[10，100]上是增函数，满足条件①；但当x＝80时，y＝5，所以，当x>80时，y>5，不满足条件②；故该函数模型不吻合公司要求．(b)关于函数模型(ⅱ)y＝log2x－2，它在[10，100]