水文学-2统计方法

水文统计简介Hydrologicstatistics水文现象具有二重性：水文现象包含着必然性(Inevitability)水文现象也包含着偶然性(Contingency)

，对水文的偶然现象（或称随机现象）所遵循的规律一般称做统计规律。1.概述物理成因分析法概率论和数理统计分析方法水文分析计算常用到数理统计的方法预测流域内未来的河道来水量（径流量），以对流域或地区水资源开发利用进行合理规划；弄清未来时期河流中可能的洪水量及其过程，以确定工程的规模。这种对未来长期的径流情势（属随机变量）的估计，只能依据其统计规律，利用数理统计的方法进行“概率预估”。所谓“概率预估”，即分析水文变量出现大过或小于某个数值的可能性为多少。2.1概率和频率的基本概念

1)概率（Probability）

为了比较某随机事件出现（或不出现)的可能性大小，必然赋予一种量化的（以数量表示)指标，这个数量指标就是事件的概率。2.水文随机变量及其分布参数

Randomvariables&distributionparameters

式中，P(A)

：一定条件下随机事件A的概率；

n

：试验中所有可能的出现的结果数；

m

：出现随机事件A的结果数。简单(古典)的随机事件的概率定义用下式表示：以上公式适合于古典概率事件，其特点是：

试验的所有可能结果是等可能的；

试验的所有可能结果总数是有限的随机事件但水文事件不一定符合这种性质。对于不是古典概型事件，只能通过多次重复试验来估计事件的概率。设事件A在n次随机试验中出现了m次，则定义：2）频率

（Frequency）为事件A在n次试验中出现的频率。注意：n

不是所有可能的结果总数，仅是随机试验的次数。皮尔逊试验：

丢币次数出现正面的次数频率

1200060190.501624000120140.5005当试验次数n不大时，事件频率有明显的不稳定性。当试验次数n

增加到充分大时，事件频率显著地出现稳定的趋势，例如：频率:

频率是通过若干次试验后才能求得的经验值，事先不能确定，当试验次数n愈大，即当n趋于无穷大时，理论上，n变成试验中所有可能的结果总数，则频率愈接近概率。概率和频率的区别：概率:

在等可能条件下，表达事件客观上出现的可能性大小，是一个理论值。

因此，当事件不能归结为古典概率型时就可以通过多次试验，把事件的频率作为事件的概率近似值。一般将这样估计而得的概率称为统计概率/经验概率。

因为各种水文要素其可能出现的总数是无限的，可见水文现象的概率不能视为古典概率。因此，通常将有限的实测水文数据当作多次重复试验结果，故可用公式（，式中n为事件A

随机试验次数）推求的频率作为概率的近似值。

总体

（Population/Totality）

在统计数学中，把某种随机变量所取数值的全体，称为总体。

水文随机变量如年径流量的总体数是无穷的，故无法取得总体。统计学中几个概念：

样本（Sample）

从总体中不带主观成分任意抽取的一部分，称为样本。样本所包含的项数，称为样本容量。

如实测的水文数据是有限的，是一样本。

它是指随机试验结果的一个数量。在水文学中，常用大写字母表示，记作X，而随机变量的可能取的值记作x，即：

X=x1,X=x2,

X=xn

随机变量的集合称之为随机系列或随机数列。

水文随机变量的表示:

离散型随机变量

Discreterandomvariable

随机变量仅取得区间内某些间断的离散值，则称为离散型随机变量。如洪峰次数，只能取0,1,2…，不能取相邻两数值之间的任何值。水文随机变量的分类:

连续型随机变量

Continuousrandomvariable

随机变量可以取得一个有限区间内的任何数值，则称为连续型随机变量。如某河流断面的流量可以取0~

极限值之间的任何实数值。

对于离散型随机变量：

随机变量的取某一可能值的机会有的大有的小，即随机变量取值都有一定的概率与之相对应，可表示为：2）随机变量的概率分布

上式中P1,P2,…Pn

表示随机变量X

取值x1,x2,…xn

所对应的概率。

x1x2x3x4……xnXP

离散型随机变量概率分布图一般将这种对应关系称作随机变量的概率分布规律，简称为分布律。可以用以下的分布图形表示：

由于它的所有可能取值有无限个，水文学上习惯研究随机变量的取值等于或大于某个值的概率，表示为：

它是x的函数，称作随机变量X

的分布函数(Distributionfunction)，记作F(x)，即

F(x)=P(Xx)

表示随机变量X大于或等于值x的概率，其几何曲线称作随机变量的概率分布曲线（水文学上通常称累计频率曲线，简称频率曲线）。对于连续型随机变量：

由图中可知，X=900，相应的P(Xx)=0.15，说明大于等于900mm降雨的可能性为15%；同理，大于等于500mm降雨的可能性为60%00.20.40.60.81.0500900年降雨量(mm)某站年雨量概率分布曲线

P(Xx)3.水文中常用的概率分布曲线3.1正态分布（Normaldistribution）

(8-9)式中，：平均数；

：标准差。许多随机变量如水文测量误差、抽样误差等一般服从正态分布。f(x)

a.

单峰，只有一个众数；

b.

对于平均数对称,Cs=0；

c.

曲线二端趋于±∞，

并以x

轴为渐近线;

d.正态分布曲线的特点：数学上可以证明：正态分布的密度曲线在处出现拐点，而且：f(x)概率密度函数表达式：

3.2皮尔逊Ⅲ型分布

（PearsonTypeIIIdistribution）式中,()~

的伽玛函数,,,a

0：三个参数，与三个统计参数有一定的关系，其表达式为：可见，当以上三个参数确定后，P-III型密度函数亦完全确定。f(x)皮尔逊Ⅲ型概率密度曲线

a0M0(x)Me(x)xPxP-III型曲线的特点：一端有限另一端无限的不对称单峰正偏曲线，很多水文变量均符合P-III型分布。在水文计算中，一般要求出指定概率P

所相应的随机变量的取值xP，即求出的xP满足下列等式：按上式计算相当复杂，故实用中，采用标准化变换：取标准变量(离均系数)，即代入上式，,,a0以相应的和关系式表示，简化后得：0.031.302.473.384.160.20.021.292.403.233.940.10.001.282.333.093.720.0501010.10.01P(%)PCsP-III型曲线离均系数P值表被积函数含有参数

,Cs

，而包含在

中，制成对应关系表：可见，只要已知指定概率P

和三个统计参数，则可求出相应于P的随机变量的取值xP因此，由给定的CS

及P，从P-III型曲线离均系数值表，查出P

值，再依据均值和离差系数，由下式可求出指定概率P

所相应的随机变量的值xP

已知:

某地年平均降雨量

=1000mm,CV=0.5,CS=1.0,假定年降雨量符合P-III型分布试求：P=1%

的年降雨量。【算例】求解：

由CS=1.0及P=1%，查附表1得P=3.02引入模比系数：

另一种求解方法：由由此建立的对应数值关系[P-III型曲线模比系数KP

值表]上例的解法：由CV=0.5,CS

=1.0=2CV

，P=1%查附表2得:P-III型曲线模比系数KP值表（附表2,P266）

P(%)CV0.010.10.20.330.512510205075909599（一）

CS=CV0.051.191.161.151.141.131.121.111.091.071.041.000.970.940.920.89……………………………………1.5011.68.858.027.366.876.005.113.923.002.040.64-0.10-0.53-0.70-0.89（二）CS=1.5CV0.05（三）CS=2CV（三）CS=6CV随机变量统计参数在水文计算中起到十分重要的作用，但由于水文随机变量的总体是无限的，这就需要在总体不知道的情况下，靠抽出的样本(观测的系列)去估计总体参数。4.水文随机变量系列统计参数的估计

Statisticalparametersestimation估算方法有：

矩法；适线法；

极大似然法；

权函数法；

………4.1矩法

MethodofMomentsa.样本的算术平均值:

已知样本的随机系列：x1,x2,x3,…xn，分别求样本的三个统计参数。b.样本标准差:式中，称作模比系数c.样本的离差系数:注意：以上三个公式求到的参数是根据样本求参得到，故与相应的总体的参数是不相等的。d.样本的偏态系数:式中，根据统计学的证明可知：由矩法求到的样本平均值

为总体平均数的无偏估计量，然而CV,CS

则不是总体相应参数的无偏估计量，称为有偏估计量。故需要对参数CV

,CS

进行修正，使其变成无偏估计量。无偏估计量：由统计学的定义，若

是未知数的估计量，而且，则称为的无偏估计量。

(当n较大时)求Cv

,Cs

的不偏估计量的修正计算式：用上述的无偏估算公式计算的很多同容量的样本的统计参值的均值，可望等于总体的同名参数。4.2现行水文频率计算方法～配线法

(适线法)

Curvefittingmethod

是以经验频率点据为基础，在一定的适线准则下，求出与经验点据拟合最优的频率曲线参数，这是一种较好的参数估计方法，是我国估计某些水文变量（如径流量、降雨量等）频率曲线统计参数的主要方法。有关的概念介绍：1)经验频率及经验频率曲线：【例】已知某地年降雨量的观测资料(n=12)，并由大到小排列，按计算频率。式中，P：大于或等于某一变量值x的经验频率；

m：x由大到小排列的序号，即在n次观测资料中出现大于或等于某一值x的次数。经验频率计算表：n=12其反映年降雨量(Xx)的经验频率P(Xx)和x的关系。随着样本容量n的增加，频率P就非常接近于概率，而该经验分布曲线就非常接近于总体的分布曲线。由此得到经验频率分布曲线:P(Xx)x注意：样本的每一项的经验频率用公式P=m/n进行计算，当m=n时，P=100%，说明样本的最末项为总体的最小值，这是不合理的。故必须进行修正，中国常采用下面的公式进行计算：经验频率的计算公式：这样，当m=n=12

时，该公式在水文计算中通常称为期望公式

所谓的重现期是指某一随机事件在很长时期内平均多长时间出现一次（水文学中常称为“多少年一遇”）。即在许多试验中，某一随机事件重复出现的时间间隔的平均数，即平均的重现间隔期。在水文分析中，重现期可以等效地替代频率。2)重现期

Recurrenceinterval/returnperioda.当研究洪水或暴雨问题

水文上关心的是大于等于某洪水或某暴雨量发生的频率，因此，重现期指在很长时期N年内，出现大于等于某水文变量XP事件的平均重现的间隔期T：式中，T：重现期，以年计；

P：大于等于某水文变量XP

事件的频率，频率P与重现期T关系的两种表示法：NP为N年内大于等于XP

事件出现的次数。表中12年中年降雨量大于等于990mm的次数为6次，即等于NP=1250%=6，可知该事件的重现期为：

T=12/6=2年可按下式计算重现期：【例】n=12

水文上关心的是小于xP的事件出现的频率及相应的重现期。

重现期指在很长的时期内(N年)出现小于某水文变量xP事件的平均重现间隔期。若水文变量大于等于xP的频率为P

，则小于xP事件的频率应为：1-P，在N年内小于xP事件出现的次数应为N(1-P)，因此其重现期为：b.当研究枯水问题表中年降雨量大于等于850mm的次数为11次，即等于，则小于850mm的降雨次数为1次，即等于可知该事件的重现期为：

T=12/1=12

(年)亦可按下式计算：(年)【例】n=12具体求解步骤：a

根据实测样本资料进行点绘[纵坐标为随机变量X=x，横坐标为对应的经验频率P(Xx)]，经验频率计算公式为：b

假定一组参数

，可选用矩法的估值作为的初始值,一般不求CS，假定，K为比例系数，可选K＝1.5,2,2.5,3...3)适线法（配线法）的步骤已知：经验频率分布，求：总体分布参数12d根据选定的参数，由P-III型曲线离均系数值表或P-III型曲线模比系数KP值表，求出xP

~P

的理论频率曲线，将其绘在有经验点据的同一张图上，看它们的配合好坏，若不理想，则修改有关的参数(主要调整CV及K=CS/CV

)，重复以上的步骤，重新配线；c选定线型，对于水文的随机变量，一般选P-III型;e根据配合的情况，选出一配合最佳的频率曲线作为采用曲线，则相应的参数作为总体参数的估值。PxP

适线法的实质是通过样本经验分布来推求总体分布，适线法的关键在于“最佳配合”的判别。经验点据理论频率曲线【水文学习题】11．在水文频率计算中，我国一般选配皮尔逊Ⅲ型曲线，这是因为