机械工程控制基础 第二章 传递函数

1第二章系统的数学模型

第二章系统的数学模型主要内容：控制系统的数学模型

1.系统微分方程的建立及非线性方程的线性化控制理论的研究对象是系统、输入、输出三者之2.传递函数的定义、性质及典型环节的传递函数3.系统传递函数方块图及简化4.相似原理间的动态关系，描述系统这种动态关系的是系统的数学模型，古典控制理论内系统的数学模型有三种21．微分方程：时域——求解困难2．传递函数：复域——求解方便，便于直接在复域中研究系统的动态特性§2-1系统的微分方程§2-2传递函数§2-3典型环节的传递函数§2-4系统传递函数方块图及其简化各章节内容3.动态结构图（传递函数方框图）补充内容拉普拉斯变换3一、线性定常系统及叠加原理§2-1系统的微分方程

1．系统、输入、输出三者关于的微分方程的标准形式：式中：——系统输出;

——系统输入41）线性系统：方程只包含变量、a．线性定常系统：an…a0

；bm…b0为常数b．线性时变系统：an…a0

；bm…b0为时间的函数2）非线性系统：方程中含有、的各阶导数各阶导数的其它函数形式2．根据系统微分方程对系统进行分类5

例，其中,a,b,c,d均为常数。

线性定常系统线性时变系统非线性系统6Xi1(t)AX01(t)Xi1(t)→X01(t)Xi2(t)AX02(t)Xi2(t)→X02(t)Xi1(t)AXi2(t)X01(t)X02(t)aXi1(t)+bXi2(t)→aX01(t)+bX02(t)3．线性系统满足叠加原理意义：对于线性系统，各个输入产生的输出是互不影响的。因此，在分析多个输入加在线性系统上而引起的总输出时，可以先分析由单个输入产生的输出，然后把这些输出叠加起来，则可求得总的输出。7力学——牛顿定律3．将各运动方程构成微分方程，消去中间变量，并化成标准形式（输出量和输入量的各导数项按降阶排列）2．从系统输入端开始，依次列写出各元件（环节）的运动方程电学——基尔霍夫定律二、微分方程的列写步骤1．分析系统的工作原理，找出输入、输出及中间变量的关系8质量——弹簧——阻尼系统my(t)f(t)ck图2-1===++00)0()0()()()()(yyyytftkytyctym.....例1：9L、C、R组成的电路如图，列出以u1为RCu2(t)i(t)Lu1(t)输入、u2为输出的运动方程解：由基尔霍夫电压定律有：消去中间变量i：写成微分方程标准形式：例2：10受到影响，此影响称负载效应。其实质是物理环节之两个或两个以上环节（或子系统）组成一个系统时，若其中一环节的存在使另一环节在相同输入下的输出间的信息反馈作用。i1(t)c2u2(t)u1(t)c1i2(t)R1R2图2-3例：由两极串联的RC电路组成的滤波网络，试写出以u1(t)为输入，u2(t)为输出的系统微分方程。三、负载效应11解：把两个RC电路当作整体来考虑消去中间变量i1、i2

得：i1(t)c2u2(t)u1(t)c1i2(t)R1R2ab121314若分开考虑：

C1i1(t)u1(t)R1==+òòdtiCuudtiCiR111111111'1C2u2(t)i2(t)u'1(t)R2==+òòdtiCuudtiCiR222122221'1此结果错误151．系统由单变量非线性函数所描述

y=f(x)y(t):输出x(t):输入四、非线性微分方程线性化16若令x=Δx,y=Δy

则y=kx——线性化方程172．非线性系统输出z(t)是两个变量x和y的函数，即 z=f(x,y)

1）确定工作点 P(x0,y0,z0)2）在工作点附近展开成泰勒级数并忽略高阶项L+D¶¶+D¶¶+==yyfxxfyxfyxfZyx00,00),(),(yx00,D¶¶+D¶¶yyfxxfyxfyx00,00),(yx00,=+),(),(00yxfyxfZ-=DD¶¶+D¶¶yyfxxfyx00,yx00,=yKxKzyXD+D=DyKxKzyX+=，2184．写成标准微分方程形式3．非线性微分方程线性化2．从系统输入端开始依次列写微分方程，注意负载效应1．分析系统工作原理，确定描述系统的变量，分析相互关系考虑非线性情况下，系统微分方程列写步骤：19

拉普拉斯变换Laplace

拉普拉斯变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。20一、拉氏变换和拉氏反变换的定义1.拉氏变换的定义函数在时有定义，且积分在s的某一域内收敛，则积分所确定的函数可写为称为函数的拉氏变换，记为f(t)—F(s)的原函数；

F(s)—f(t)的Laplace变换（或称为象函数）s=

+j212.拉氏反变换的定义已知，欲求原函数时，则称为拉氏反变换，记为221.单位阶跃函数2.指数函数二、典型时间函数的拉氏变换23=13.单位脉冲函数4.单位斜坡函数5.单位抛物线函数246.正弦函数25267.余弦函数278.幂函数28三、拉氏变换的重要性质1.线性性质，为常数，则292.延迟定理f(t)ttf(t-t0)t0f(t)tt030例1：1Ttf(t)TTf(t)例2：313.位移定理，则或32334.微分定理，则若34由于例：利用微分定理求355.积分定理，则例36六.复频域导数性质37七.初值定理和终值定理初值定理若L[f(t)]=F(s)由初值定理知：例：已知

，求f(0+)38六.初值定理和终值定理终值定理：例：已知：39例:e(t)R+u-+-用初值定理和终值定理验证40八.卷积定理卷积定理：设f(t)的拉氏变换为F(s),g(t)的拉氏变换为G(s)，

举例：求正弦函数和余弦函数的拉氏变换414243已知f(t)的拉氏变换为F(s),求44已知f(t)的拉氏变换为F(s),求L[f(at)]

45四、拉氏反变换的数学方法用部分分式法求拉氏反变换将化为真分式，再将因式分解1.无重根为待定系数46例：47例48Ki也可用洛必达法则求49例用洛必达法则求原函数例5051例1例25253一般多重根情况54例：55例：56§2-2传递函数

传递函数是描述系统的动态关系的另一种数学模型，是经典控制理论对线性系统进行研究、分析与综合的基本数学工具，是时域分析、频域分析及稳定性分析的基础，也是经典控制理论进行系统综合设计的基础，因此，十分重要。57定义：对于单输入、单输出线性定常系统，当输入换与输入量的拉氏变换之比。输出的初始条件为零时，其输出量的拉氏变设线性定常系统的微分方程为：)()()(0)1(1)(txbtxbtxbimmmimi+++=--L)()()(00)1(01)(0txatxatxannnn+++--L式中：a

n…a

0,b

m…b

0

均为常系数x0

(t)为系统输出量，x

i(t)为系统输入量一、定义58若输入、输出的初始条件为零，即0)0()(0=KxK

=0,1,,n－1…0)0()(i=KxK

=0,1,,m－1…对微分方程两边取拉氏变换得：())(011sXbsbsbimmmm+++=--L())(0011sXasasannnn+++--L则该系统的传递函数G(s)为：0110110)()()(asasabsbsbsXsXsGnnnnmmmmi++++++==----LL（n≥m）59传递函数方框图：G（s）Xi(s)X0(s)1）列出系统微分方程（非线性方程需线性化）2）假设全部初始条件均为零，对微分方程3）求输出量和输入量的拉氏变换之比——传递函数进行拉氏变换求传递函数的步骤：i))()(0(sXsXsG=60质量——弹簧——阻尼系统令初始条件均为零，方程两边取拉氏变换())()(2sFsYkcsms=++kcsmssFsYsG++==21)()()(∴

例1:)()()()(tftkytyctym=++...my(t)f(t)ck61L、R、C电路系统RCu2(t)i(t)Lu1(t)())()(1122sUsURCsLCs=++11)()()(212++==RCsLCssUsUsG∴例2：)()()()(1222tututuRCtuLC=++...621．传递函数和微分方程是一一对应的微分方程：在时域内描述系统的动态关系（特性）

传递函数：在复域内描述系统的动态关系（特性）统与外界联系，当输入位置发生改变时，分子会改变。2．传递函数的分母只取决于系统本身的固有特性，与外界无关，因此分母反映系统固有特性，其分子反映系二、传递函数的性质和特点63例：)(tymffcK=-..my(t)ckx(t)Ck-t[])(y)(tx-()tym=...t[])(y)(tx-.由牛顿第二定律，有:643．若输入给定，则输出完全取决于传递函数4．不同物理系统（机械、电气、液压）可以能用相同数学模型描述的系统——相似系统用形式相同的传递函数来描述——相似原理5．分母阶次常高于分子阶次（n≥m）G（s）Xi(s)X0(s))()()(0sXsGsXi=465传递函数为复变函数，故有零点和极点

零点：使G(s)=0的s值极点：使G(s)

分母为零的s

值G(s)

的零极点分布决定系统响应过渡过程。三、传递函数的零点和极点G(s)

的极点分布决定系统的稳定性。66当s＝0时若输入为单位阶跃函数，则G(0)为系统的稳态输出，也是系统的放大倍数67设系统有b个实零点;c

对复零点;d个实极点;e对复极点;v

个零极点b+2c=mv+d+2e=n典型环节的产生§2-3典型环节的传递函数68比例环节一阶微分环节二阶微分环节积分环节惯性环节振荡环节延迟环节纯微分环节691．比例环节（放大环节）凡输出量与输入量成正比，不失真也不延时的)()(0tKxtxi=微分方程：KsXsXsGi==)()()(0传递函数：，K：放大系数（增益）环节称比例环节。方框图:KXi(s)X0(s)70°R1R2°u0(t)ui(t)+运算放大器ui(t)——输入电压u0(t)——输出电压R1、R2——电阻)()(120tuRRtui-=)()(120sURRsUi-=拉氏变换：已知：例：71弹簧受力如图：图2-9y(t)kf(t)ky(t)=f(t)kY(s)=F(s)ksFsYsG1)()()(==例：72时域内用一阶微分方程表示的环节微分方程：传递函数：1)()()(0+==TsKsXsXsGi方框图：Xi(s)X0(s)1+TsKK：增益；T：时间常数2．惯性环节73R、C电路如图RCu0iui图2-10例：)()()(00tututuRCi=+.74弹簧——阻尼系统，xi(t)输入位移，x0(t)输出位移x0(t)kCxi(t))]()([0txtxkfik-=)(0txCfC&=受力平衡fC=fk)]()([)(00txtxktxCi-=&)())(00tkxtkxtxCi=+&例：(75

时域内，输出量正比于输入量的微分。微分环节：传递函数：G(s)=Ts

)()(0txTtxi&=方框图：TsXi(s)X0(s)3．微分环节理想微分实际微分惯性T0运动方程式：传递函数：传递函数：76例：微分运算电路－＋77在实际的机电控制工程系统中，理想的微分环节很难实现，通常用

(其中T，K为常数)

来近似微分环节。

例3如图所示的无源微分网络

(其中K=1，T=RC)

78微分环节对系统的控制作用：（1）使输出提前（2）增加系统的阻尼（3）强化噪声79时域内，输出量正比于输入量对时间的积分。TssG1)(=传递函数：T：积分时间常数方框图：Xi(s)X0(s)Ts14．积分环节

！记忆效应

！积分输入突然除去积分停止输出维持不变例1：电容充电例2：积分运算放大器80!积分环节具有明显的滞后作用如当输入量为常值A时，输出量须经过时间T才能达到输入量在t=0时的值A。！改善系统的稳态性能81例1电容充电82有源积分网络ui(t)——输入电压u0(t)——输出电压R—电阻C—电容dttduCRtui)()(0-=已知：例2：Ru0(t)ui(t)C+83时域内，以二阶微分方程描述的环节。)()()(2)(0002txtxtxTtxTi=++&&&x微分方程：)()()12(022sXsXTssTi=++x传递函数：121)(22++=TssTsGx2222nnnsswxww++=T：振荡环节的时间常数ωn：无阻尼固有频率ξ：阻尼比5．振荡环节84m—k—c系统：R—L—C电路：kcsmssG++=21)(

11)(2++=RCsLcssG

方框图：Xi(s)X0(s)2222nnnsswxww++例：)()()()(tftkytyctym=++...)()()(000tututuRCuLCi=++...585

时域内，输出滞后输入时间τ，但不失真地反映输入的环节微分方程：)()(0t-=txtxi方框图：e—τsXi(s)X0(s)6．延时环节86延迟环节与惯性环节的区别惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值。延迟环节从输入开始之初，在0~τ时间内没有输出，但t=τ之后，输出完全等于输入。87例1水箱进水管的延时882．惯性环节6．延时环节1．比例环节3．微分环节4．积分环节5．振荡环节892.3系统传递函数

方框图及其简化

一、系统传递函数方框图数方块图（或结构图）。它是用图形表示的系统模型。用传递函数方框将控制系统全部变量联系起来，描述各环节之间的信号传递关系的图形，称为系统传递函它不同于物理框图，着眼于信号的传递。90(2)信号引出点（线）/测量点

表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。

(1)

信号线

带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。1

方框图构成要素91(3)函数方块(环节)

函数方块具有运算功能(4)相加点（比较点、综合点）

(a)

用符号“”及相应的信号箭头表示

(b)

箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号922.系统方框图的建立：（1）建立系统的微分方程；（2）对微分方程进行Laplace变换，并画出相应的方框图；（3）按照信号的传递顺序，依次将各传递函数方框图连接起来。93例：图2.1.3的液压伺服机构94R、C电路如图RCu0iui例：95961．环节的串联Xi(s)G1(s)X(s)G2(s)X0(s)Xi(s)G(s)X0(s)图2-13)()()()()()()(00sXsXsXsXsXsXsGii==)()(2sGsG1=Õ==niisGsG1)()(二、传递函数方框图的等效变换97)()()()()()(02010sXsXsXsXsXsGii+==)()(21sGsG+=å==niisGsG1)()(Xi(s)G1(s)G2(s)X0(s)X02(s)X01(s)++图2-142．环节的并联98Xi(s)-H(s)G(s)E(s)X0(s)XB(s)（1）偏差信号：)()()(txtxtbi-=e)()()(sXsXsEBi-=（2）前向通道传递函数G(s))()()(0sEsXsG=（3）反馈通道传递函数H(s))()()(0sXsXsHB=3．反馈联接99)()()()()()()()()(00sHsGsEsXsXsXsEsXsGBBK===（5）闭环传递函数GB(s)：（4）开环传递函数GK(s)：Xi(s)-H(s)G(s)E(s)X0(s)XB(s)对正反馈：100对于单位反馈：H(s)=1G(s)Xi(s)X0(s)-+1图2-16)(1)()(sGsGsGB+=1011）分支点前移：规则：分支路上串入相同的传递函数方块XGXGXGXGGXGXG2）分支点后移：规则：分支路上串入相同传递函数的倒数的方块XGXGXXGXG1GX4．分支点移动规则1021）相加点前移GX2X1G—X2+-X1+GX1G—X21GX2-2）相加点后移X1GX2（X1—X2）G+-X1GX2G（X1—X2）G+-5．相加点移动规则103A++A+B-CB+C-A++A+B-CC+B-图2-257．相加点分离规则B+C-A+B-CA+B+A+A+B-C-C图2-266．相加点交换规则104A-BA+B-A-BA+B-A—BA—BB-分支路上补加信号-B图2-279．分支点移动到相加点后AA-BA+-BA++B+AB-A-B分支路上补加信号+B图2-288．分支点移动到相加点前10510．反馈方框化为单位反馈Xi+-HGX0Xi1H+GHX0-GHGGB+=1GHGGHGHHG+=+=111总图2-291）解除方块图中的交叉联系（结构）2）按等效规则，先环内后环外逐步使方块得到简化3）求传递函数方块图的简化及系统传递函数的求取106Ｘ0Ｘi+A+BG1+H2H1G2G3D-ＥＦ-+C图2-30解：1）相加点C前移（再相加点交换）Ｘi+A+BG1H1G2G3D-ＥＦＸ0+1G1H2-+图2-31例1：1072）内环简化3）内环简化Ｘi+A-ＥＦＸ01G1H2-C+G1G2G31-G1G2H1图2-32Ｘi+Ｆ(E)Ｘ0-G1G2G31—G1G2H1+G2G3H2图2-331084）总传递函数ＸiＸ0

含有多个局部反馈的闭环系统中，当满足下面条件时1）只有一条前向通道2）各局部反馈回路间存在公共的传递函数方块å+=][1)