最大似然估计法

参数估计点估计区间估计矩估计法（7.2.1）最大似然估计

(7.2.2)第七章参数估计假设一个总体服从正态分布从总体中获取了n个样本估计正态总体的

其基本思想是用样本矩估计总体矩

.

理论依据:

矩估计法是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法.是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的.大数定律

7.2.2最大似然估计法最大似然估计法是在总体的分布类型已知的条件下所使用的一种参数估计方法.

它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的.GaussFisher然而，这个方法常归功于英国统计学家费歇.

费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质.

最大似然估计法是基于最大似然原理提出的。为了说明最大似然原理,我们先看个例子。

例子：一只野兔从前方窜过，是谁击中的野兔,某同学与一位猎人一起外出打猎。忽然，若让你推测一下，你会怎样想?只听一声枪响，野兔应声倒下.为了进一步体会最大似然估计法的思想,我们再看一个例子.你会想：只一枪便击中,一般情况下猎人击中的概率比同学击中的概率大。

故这一枪极大可能是猎人打的。

你的这一想法中就已经包含了最大似然原理的基本思想.

例如：有一事件A，我们知道它发生的概率p只可能是:试让你推想一下p应取何值?p=0.1，0.3或0.6

若在一次观测中，事件A竟然发生了，你自然会认为事件A发生的概率是0.6，而非其他数值。最大似然原理：概率大的事件在一次观测中更容易发生。在一次观测中发生了的事件其概率应该大小结：最大似然估计法的一般步骤：（２）取对数（３）求导数，得驻点，最大值点（４）作结论（1）写似然函数L例：设总体X服从参数为λ的指数分布，（x1,x2,…,xn）为样本观察值，求λ的最大似然估计值。解：总体X的概率密度函数为：似然函数为：①②③取对数得，④所以θ的最大似然估计值为:练习1:

设总体X的分布律为：0<p<1,p未知

,

求参数p的最大似然估计量.解:总体X的分布律为：设(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的样本。似然函数为：解得p的最大似然估计量为：p的最大似然估计值为：解：θ的似然函数为：取对数练习2：设(X1,X2,…Xn)是来自总体X的一个样本求θ的最大似然估计量．其中

>0,求导并令其为0=0从中解得

即为θ的最大似然估计值。

即为θ的最大似然估计量。例

设总体X~N(),未知.是来自X

的样本值,试求的最大似然估计量.似然函数为解X的概率密度为于是令解得的最大似然估计量为

由上可见：同一个未知参数，会有不同的估计量，那末如何评价它们的好坏呢？这就涉及到估计量的评选标准问题。1、无偏性无偏性要求估计量的取值要以参数真值为中心左右摆动。它等同于估计量的数学期望等于待估参数的真值。一个好的估计量应满足无偏性、有效性和一致性的要求。

衡量点估计量好坏的标准证明:

讨论：对总体X～N(µ,σ2)来说，样本(X1,X2,…,Xn)中的X1与都是µ的无偏估计量吗？是θ的两个无偏估计量，若2、有效性当时依概率收敛于,则称为的一致估计量.设是参数

的估计量，为的一致估计量对于任意,有三、一致性四、小结对于一个未知参数